高考概率专题复习

高考概率专题复习 l5 1O 5 0高/ cm 图9 180e脚之间的概率. '解析:(1)样本中男生人数为40,由分层 抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知,样本中身高在170—185 em之问的学生有l4+l3+4+3+l=35人, 样本容量为7O,所以样本中学生身高在170— C 185cm之间的频率,0?5?故由估计该 校学生身高在170—180em之间的概率P= 0.5. ?催佰华 (3)样本中女生身高在165—180121'11之间 的人数为lO,身高在170—180cm之问的人数 为4. 设A示事件"从样本中身高在165—180 cm之间的女生中任选2人,求至少有1人身高 ,,2 在170一l8ocm之间",则P(A)=l一= 了2或P(A)=警= 命题意图:本题考查频数分布图,分层抽 样,样本的频率,概率.组合,古典概型,对立事 件的概率等知识,及解决实际问题的能 力. 啐融藉瓤审誊缚两 高考概率专题复习 概率是每年高考命题的热点.下面通过简 析有关概率方面的,来分析命题方向.透 视命题信息,以便科学高效地组织好新课程的 高考复习. 一 ,明确考纲 1.五类概率基本模型 2.离散型随机变量的分布列; 3.离散型随机变量的期望,方差., 二,试题特点 在高考的考查中,基本上都是l道小题以 及1道解答题,其中小题较容易,解答题已经由 原来解答题的前3题的位置逐渐后移到后3题 的位置,对考生分析问题的能力要求有所加 强,这应引起高度重视. 溺 三,对概率的备考 I.重视教材的基础作用 教材是学习数学基础知识,形成基本技能 的"蓝本",是高考试题的重要知识载体.以课 本的例,习题为素材,深入浅出,举一反三地加 以类比,延伸和拓展,在"变式"上下功夫,力求 对教材内容融会贯通,只有这样,才能"以不变 应万变",达到事半功倍的效果. 考生还应当重视其与传统内容的有机结 合,重视概率统计的应用功能. 四,知识解析和命题趋势探讨. 在考查五类基本概率模型的基础上,离散 型随机变量分布列和数学期望,方差仍是数学 高考的大热点.2010年高考全国l9套理科试 卷中几乎都有变量分布列和数学期望相关问 题.注意今年高考的一个动向,那就是概率统 计的知识交汇问题. 五,链接高考? 1.五大概率基本模型. 例1(2010年安徽省文)甲罐中有5个红 球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3 个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球 放入乙罐,分另1】以A,A2和A3表示由甲罐取出 的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中 随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红 球的事件,则下列结论中正确的是—— (写出所有正确结论的编号). ?P(B)=?;?JP(BIA1)=音;?事 件与事件A相互独立;(,A:,A3是两两互 斥的事件}?P(B)的值不能确定,因为它与 A,A:,A,中哪一个发生有关. 解析:易见A,A,A,是两两互斥的事件. 而P(B)=P(BIA1)+|P(BIA2)+P(BI3) :×+× 4+而3×=一922":??.而×+×+而×一茶:' 评注:本题是概率的综合问题,掌握基本 概念,及条件概率的基本运算是解决问题的关 键.本题中A,A:,A是两两互斥的事件,把事 件B的概率进行转化P(B):P(BlA)+P(B fA)+P(Bl,),可知事件的概率是确定 的. 例2(2010年四川文)某种有奖销售的 饮料,瓶盖内印有"奖励一瓶"或"谢谢购买". 字样,购买一瓶若其瓶盖内印有"奖励一瓶"字 样即为中奖,中奖概率为?.甲,乙,丙三位同 擘每人购买了一瓶该饮料. (1)求三位同学都没有中奖的概率; (2)求三位同学中至少有两位没有中奖的 概率. 解:设甲,乙,丙中奖的事件分别为A,日,C, 那么JP(A)=P(B)=P(c)=寺 ? 12, (1)P(A一?B一?)=P()p(P(_c)= c=?{ 答:三位同学都有中奖的概率为125 (2)1一P(A?B?C+A?B?C+A??C +A?B?c)=l一3×()x丢一(吉)'= 25' 或P(A一?B一?一C+A?B一?C?B?+ ..c):2__5? -, 答:三位同学至少两位没有中奖l的概率为 ' . 27.. 2.概率与其它知识的综合问题 例3(2010年福建文)设平面向量a= (//1.,1),西=(2,n),其中m,n?{1,2,3, 4}.. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能 结果; (2)记"使得口上(口一6)成立的(m, n)"为事件A,求事件A发生的概率. 解析:(1)有序数组(m,)的所有可能结 果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2, 2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3, 4),(4,1),,(4,2),(4,3),(4,4)共16个.. (2)由口上(口一),得m一2,,t+l— n=0,即//,=(m—1) 由于m,nE{1,2,3,4l,故事件A包含的 基本事件为(2,1)和(3,4),共两个. 又基本事件的总数为l6.故所求的概率为 P(A)=2=吉... 评注:本题主要考查概率,平面向量等基 础知识,考查运算求解能力,应用意识 例4(2010年安徽省文)甲从正方形四 个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该 正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直 线,则所得的两条直线相互垂直的概率是() (A)3 l8(B) (c)(D) 解析:正方形四个顶点可以确定6条直线, 甲乙各自任选一条共有36个基本事件.两条直 线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线) 包括10个基本事件,所以概率等于素,选(c)? 评注:对于几何中的概率问题,关键是正 确作出几何图形,分类得出基本事件数,然后. 得所求事件包括的基本事件数,进而利用概率 公式求概率.随着课改的进一步实施,概率问 题出现了综合化的新趋势.求解概率综合问题 应特别注意将所求问题转化为纯概率问题求 解. 3.随机变量分布列和数学期望,.方差 例5(2010年天津理数)(18)某射手每 次射击击中目标的概率是?,且各次射击的结 果互不影响. (1)假设这名射手射击5次,求恰有2次击 中目标的概率; (2)假设这名射手射击5次,求有3次连续, 击中目标.另外2次未击中目标的概率; (3)假设这名射手射击3次,每次射击,击' 中目标得1分,未击中目标得0分.在3次射击 中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则 额外加1分;若3次全击中,则额外加3分.记 为射手射击3次后的总的分数,求的分布列. 解析:(1)设为射手在5次射击中击中目 标的次数,则X一.8(5,?).在5次射击中,恰 ' 有2次击中目标的概率P(X=2)=c;×(?) -一=. . . ' (z)议"弟.次射击击中目称"为事件A (i=1,2,3,4,5);'射手在5次射击中,有3次 连续击中目标,另外2次未击中目标"为事件 A,则 尸(A)=P(A1A2A3A一45)+P(alA2A3A45) +户(A,,AA=()×(?)+?× ()×+()×()'=. (3)由题意可知,的所有可能取值为0, 6 1,2,3— P(=o)=P(A.:)=(?)1; P(=1)=P(Al23)+P(1A27t3)+ P(A一A一A,)=了2×(?)+?××?+ c)×='吾; P(=2):P(AA,)-_×?×: . 27' P(=3):P(A,A23)+尸(.A:a3)= ()}+丁1×()=8; P(=6)=P(A.A:A3)=()=_.8 所以的分布列是表1. 表1 , l【 . O1236 l2488P 279272727 评注:本小题主要考查二项分布及其概率 计算公式,离散型随机变量的分布列,互斥事 件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率 知识解决实际问题的能力. 例6.(2010年江西理)某迷宫有三个通 道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门. 首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打 开一个通道.若是l号通道,则需要.l小时走出 ? 13? ,则分别需要2小3 迷宫;若是2号,3号通道 小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会 随机打开一个你未到过的通道,直至走完迷宫 为止.令表示走出迷宫所需的时间. (1)求的分布列;(2)求的数学期望. 解析:(1)必须要走到1号门才能走出迷 宫,f可能的取值为1,3,4,6. 尸(:1):了1, P(:3)=?×寺:吉, P(=4)=丁1×I一,I, P(:6)=A:(了1 ?王俊胜 × ?)×-=} 分布列为:表2 13.46 l11lP 3663 (2):l×?+3x吉+4x1+6×? = 吾(小时_ 淑毒繁 例析概率问题与其他知识的精彩交汇 概率知识与各章知识交汇的学科内综合 问题,以其新颖性,综合性而"闪亮登场".正好 体现了新高考能力立意及在知识网络交结点 处设计命题的精神.下面分类说明几何概型交 汇题的解法. 一 ,与线性规划交汇 例l在长为l的线 段上任取两点,则这两点 1 之间的距离小于?的概 率为一 解析:利用几何概型 知识,结合线性规划可求 出答案.如图1,阴影内 部各点(,),)的坐标满图1 足-yl<1 ,?(o,1),y?(o11).设影部 分的区域面积为d,可知d=?;整个正方形的 面积为D,可知D:1.则所求概率P=吾= ? 14? 三 4', 二,与三角函数交汇 ' 例2在区间[一号,詈]上随机取一个数 , 则c.的值介于0到1之间的概率为 —— 解析:当一詈??詈时,由o?COs? 1 , 得一号??一T宙或予??手 根据几何概型概率公式得所求概率为々 j J 三与函数,不等式交汇 例3已知函数)=r4-ax一6.若a, b都是从区间[0,4]任取的一个数,则1)>0 成立的概率是一 解析1)=,1+a—b>0,即a—b>l, 如图2的阴影部分' 0 A(1,0),B(4,0),C(4,3),s?=?,P