求固支圆板在线性荷载作用下的极限荷载用加权余量法和Mises屈服条件

求固支圆板在线性荷载作用下的极限荷载用加权余量法和Mises屈服条件 第 32 卷 第 1 期 2005 年 Vo l. 32 No. 1 2005 求固支圆板在线性荷载作用下的极限荷载 用加权余量法和 M ise s屈服条件 3 洪 媛 , 陈 钢 ()辽宁大学 数学系 ,辽宁 沈阳 110036 摘 要 :用加权余量法求承受线性荷载作用的固支圆板在 M ise s屈服条件下的极限荷载 . 针对 2 种不同分 布形式的线性荷载 ,分别选择不同的试函数 ,求出了基本相同的极限荷载 ,且结果较合理 . 关键词 :加权余量法 ; M ise s屈服条件 ;固支圆板 ;线性荷载 ;极限荷载 . ( ) 文章编号 : 1000 25846 20050120036 203 中图分类号 : O344. 1 文献标识码 : A 对固支圆板进行塑性极限分析时 ,常用的屈 服条件为 Tre sca屈服条件和最大弯矩极限条件. 虽然 M ise s屈服条件较上述屈服条件更接近于实 验结果 、更精确 ,但由于 M ise s屈服条件是非线性 的 ,故很少应用于固支圆板的塑性极限分析问. 至今只见到固支圆板在均布荷载和环形集中力作 图 1 固支圆板和荷载示意图 用下的 M ise s屈服条件解 , 还没有见到固支圆板 在线性荷载作用下的 M ise s屈服条件解 . 因此 ,本 式中 M 、M为板的径向 、横向弯矩 , a 为圆 板半 rθ 文应用 M ise s屈服条件分析固支圆板在线性荷载 径 . 作用下的极限荷载 . 考虑到 M ise s屈服条件的非 M ise s屈服条件为 2 2 2 线性 ,文中在数学方法上应用加权余量法进行分 ( ) - M M+M=M 2 M r θ θ rp析 . 式中 M 为塑性极限弯矩 . p 文中针对两种不同分布形式的线性荷载 ,并 板进入塑性屈服时 , 板弯矩的边界条件为为了给出的数值解更合理 ,分别选择了两种不同 ( ) ( ) M 0 =M0 =M θ r p 的试函数 ,均求出了相同的极限荷载. 文中圆板材 ( )( ) 3 Ma = 0 θ 料为理想刚塑性材料 ,有关屈服条件与加权余量 ( )M a = - M p r 法内容可参阅文献 [ 1,2 ]. )1 设试函数为 M p 2 1 线性荷载第一种分布形式下的解 ( ) ( )M = k ra - r+a - 2 r r 1 a ( )4 当外边界固支圆板承受如图 1所示的线性分 M p2 () ( )M= kr a -r + a - r θ 2 布荷载时 ,其帄衡方程为 a q( ) ( ) d 0 式中 k、k为待定系数 , 4 式满足边界条件 3 2 3 1 2 ( ( )) ( )rM - M = - 3 a r- 2 r1 θ r d r 6 a 式 . ( ) 3 作者简介 :洪 媛 1979 2,女 ,辽宁海城市人 ,辽宁大学硕士研究生 ,从事弹塑性力学研究. 收稿日期 : 2004 20 20 ( ) ( ) 将试函数 4 式分别代入帄衡方程 1 式与 3M 2 3 2 p( ) ( ) k3 a r - 4 r - ka r - r - r + 1 2 a ( )M ise s屈服条件 2 式 ,得相应余量 : q 02 3 q d 2 3 0 ( )( ) 3 a r- 2 r 14 ( ) ( ) R= rM - M+ 3 a r - 2 r =θ 1 r 6 a d r 6 a 2 2 2 R=M - M M+M- M = 4 rrθ θ p q3M 0p2 3 2 2 ( )( ( ) k3 a r - 4 r - kr a -r- r + 3 a r - 1 2 2 2 45 6 2 2 2 3 4 a 6 a ( ) ( ) kar - 2 a r+ r+ kar- 2 a r+ r- 1 2 3 )( )2 r 5 M 2 3 4 5 p 2 2 3 4 ( ( ) ) kka r - 2 a r + r + ka r - 4 a r + 3 r + 2 2 2 1 2 1 a R=M - M M+M- M = 2 r rθ θ p 2 M M M p p2 2 2 2 2p 2 2 2 4 5 6 ( ) ( ) k ar - a r+ a- 3 a r + 3 r- M ( 15 ) ( ) ( ) ( ) k+ k- k k ar- 2 a r+ r+ 2 k - k 2 p 1 2 1 2 1 2 2a a a M 消除余量 : p 2 2 3 4 2 2 3 ( ) ( ( ar- 3 a r+ 2 r+ 2 k - k ar- 2 a r+) 2 1 a a 2 2 ( )16 Rd r = 0: 2 ka + 18M - q a = 0 p 0 3 2 2 0? M 4 2 2 2 p) ( ) ( )r + a - 3 a r + 3 r - M 6 a p 2 aRd r = 0: 4 ? 0 [ 2 ] 采用加权余量法中的子域法消除余量 : 1 1 1 1 3 2 6 2 4 5 a ka + ka - kka - kM a + 3 2 1 2 1 2 1 p ( )Rd r = 0: ka+ 18M - qa= 0 7 105 30 60 15 1 2 p0 0? 1 1 a 2 2 1 ( )2 2 6 17 k M a- M = 01 p p ( Rd r = 0: k) kka + k- - 2 16 2 1 2 2 0?105 ( ) ( )由 16 、17 式消去 k: 2 1 1 3 2 ( 4 k) ( )a M= 0 - 5 k M - 8 1 2 p p 1 1 5 1 1 2 632 460 2 ( )ka + kM a - qa + qa- 1 1 p 0 0 105 12 120 120 ( ) ( )由 7 、8 式消去 k: 2 13 7 2 65 2 4 32 2 ) ( )ka - 4 q a + 4 qa- 4 ( M q a+ M = 018 + k 44M a p 0 p 1 1 p 0 0 60 10 2 2 ( )9 109M qa+ 456M = 0 p 0 p ( )在 18 式中对 k 取极值 , 得 1 ( )因在 9 式中有两个待求量 k与 q, 故还不 1 0 7 q 35M 0 p ( )19 = -k 31能直接求出极限荷载 q. 为此 , 本 文 考虑 极值 条 0 16 a 8 a ( )件 , 在 7 式中对 k取极值 , 得 1 ( )将 k 再代回 18 式 , 得 1 q11M 0p 173 497 5 2 2 2 2( )k= -10 1 3( ) () ( )qa - M qa +M = 0 20 0 p 0 p 2 a 2 a 768 960 960 M( )再将 k代回 9 式 , 得到极限荷载q满足的方程 1 0 由此式求出极限荷载 : q 0 2 2 2 2 2 2 M( ) ()( )3 qa - 87 M qa 11 + 335M = 0 0 p 0 p ( )q21 • 24. 42421762M / a • 24. 4M / a 0 p p M 由此求出极限荷载 q:0 2 线性荷载第二种分布形式下的解 M 2 2 ( )q• 24. 42891401M / a • 24. 4M / a 12 0 p p 当外边界固支圆板承受如图 2所示的线性分布 )2 设试函数为() 荷载时 ,其进入塑屈服时 ,板弯矩的边界条件仍为 3M p2 ()式; M ises屈服条件仍为 2式 ;只有帄衡方程不同 : ( ( ) )M = kr a - r+ a - 2 r r 1 a ( )13 M p( ( ) )M= kr a - r+ a - r θ 2 a ( )此式也满足边界条件 3 式. ( )( ) ( )将 13 式分别代入 1 、2 式 , 得相应余量 : q d 02 3 ( ) ( ) R= rM - M+ 3 a r - 2 r =图 2 固支圆板和荷载示意图 θ 3 r d r 6 a r 边界固支圆板在线性荷载作用下的极限荷载. 文中针 q d 0 3 ) ( ( ) ( )rM - M = - rq rd r = - r22 r θ 0? d r 3 a 对外边界固支圆板所承受的两种不同分布形式的线 )( )( )1仍设试函数为 4 式 , 则称 4 式分别代入 性荷载 ,并分别选择满足弯矩边界条件的两种不同试 2 M ( ) ( ) 帄衡方程 22 式与 M ise s屈服条件 2 式 , 得 到 函数 ,均求出极限荷载为 q= 24. 4M / a .0 p 相应余量 : )2 对于本文所研究的问题 , 可用简化的最大 q 0 d 弯矩极限条件求出其极限荷载. 如文献 [ 3 ]中的 3 )( R= rM - M+ r =θ 5 r d r 3 a 特例 :当 M = 0, b= a= 0, b = a 时 , 最大弯矩极 0 0 0 3M q p2 3 2 3 0限条件下的解为 (( ) ) )(k3a r - 4r - kr a - r-r + r 23 1 2 大2 a 3a ( )q= 24M / a27 0 p ( )R= R24 6 2M 为边缘弯矩 , a 与 a 为环板的内外半径 , 其中 0 0 按上述方法求解时 , 消除余量b 与 b为局部线性荷载的左 、右边界截面的坐标. 0 a a ) ( ) 3 由本文结果与 27 式比较看出 :本文结果 Rd r = 0, Rd r = 05 6 0?0?稍高于最大弯矩极限条件下的结果 , 显然本文结 ( )( ) 时 , 将得到与 7 式 、8 式相同的结果 , 即仍得到 果是更合理的 . ( )与 12 式相同的结果.)4 文中为了求出较合理的结果 , 选择了满足 )( ) ( ) ( ) 2仍设试函数 为 13 式 , 代入 22 、2 式 弯矩边界条件的 2 种不同试函数 , 而计算结果基 得余量 : 本一致 , 且合理 . 由此看出 :用加权余量法分析非 3M q 2 3 p03 ( )( )R= k3 a r - 4 r - kr a - - r + r r7 1 2 线性屈服条件下的塑性极限分析问题 , 具有简单 3 a a 方便与精度较高等优点. ( ) 25 ( )26 R= R 8 4:参 考 文 献 消除余量徐秉业 ,刘信声 . 结构塑性极限分析 [M ]. 北京 : 中 a a [ 1 ] 国建筑工业出版社 , 1985. Rd r = 0,Rd r = 07 8 0?0?徐次达 . 固体力学加权残值法 [M ]. 上海 : 同济大学 [ 2 ] ( )( )时 , 将得到与 16 式 、17 式相同的结果 , 即仍得 出版社 , 1987. 刘福林 ,车维毅 . 环板在边缘弯矩和局部 线性荷载 ( )到与 21 式相同的结果.[ 3 ] 共同作用下的塑性极限分析 [ A ]. 力学 [ C ]. 北 京 :北京科学技术出版社 , 1992. 3 结果分析与结束语 )1本文应用 M ises屈服条件和加权余量法分析外 A pp ly in g W e igh ted Re s idua l M e thod an d M ise s Y ie ld C on d it ion to So lve the L im it L oa d s of Bu ilt in C ircu la r P la te s Un der the A c t ion of L in ea r L oa d s HON G Yuan, CH EN Gang ()D epa rtm en t of M a them a tics, L iaon ing U n iversity, S henyang 110036, C h ina A b s tra c t: In th is p ap e r, we app ly we igh ted re sidua l m e thod and m ise s yie ld cond ition to so lve the lim it load s of bu ilt in c ircu la r p la te s unde r the ac tion of linea r load s. A cco rd ing to two d iffe ren t d istribu ting fo rm s of linea r load s, we choo se d iffe ren t tried func tion s re sp ec tive ly, ob ta in ing ba sica lly the sam e lim it load s, and the re su lt is re la tive ly ra tiona l. Ke y w o rd s: we igh ted re sidua l m e thod; m ise s yie ld cond ition; bu ilt in c ircu la r p la te; linea r load s; lim it load s. () 责任编辑 郑绥乾