福利彩票的中奖率分析

福利彩票的中奖率分析 郭照庄 ,张良勇 ,董晓芳 ( )燕山大学 理学院 ,河北 秦皇岛 066004 2 [ 摘 要 ]本文对现行的福利彩票各等级奖的中奖概率作了详细地分析 ,并用 X- 分布拟合检验法得到福利彩票中奖 号码具有随机性的结论 . 最后在摇奖机正常工作的情况下 ,对彩民应该如何更好地购买彩票提出几点建议 . 2 [ 关键词 ]彩票 ;概率 ; X- 分布拟合检验法 ;期望中奖额 () [ 文章编号 ]1004 - 7077 200605 - 0027 - 03 [ 中图分类号 ]O211 [ 文献标识码 A 1 引言 目前 ,彩票已经成为很多人生活的一部分 ,大部分彩民都抱着“中奖我幸运 ,没中献爱心” 的心理 ,拿出手中的零钱去搏一把 ,也有一些“彩迷”迷信摇奖机摇出的号码是有规律可循的 ,于是从网上下载或从报刊杂志上抄一些彩票资料 ,然后根据前几期的号码画出“走势图”来分 ,还有的找来一些算卦的书来研究 ,以期能摸出规律 ,更有甚者 ,个别媒体为了迎合人们的需 析 ,居然登出彩票的预期号码 ,误导大众. 那么在理论上究竟中大奖的概率有多大 ,摇出的中奖 要 号码是否是随机的 ? 能不能预测 ? 本文就以“37 选 7”这种福利彩票为例 ,给与解 .答2 各等级奖的理论中奖概率 211“37 选 7”游戏规则 : ) ( 号码总数为 37———37,基本号码数 7 ,特别号码数为 1 ,设等级奖数为 7. 从 01———01 37 个号码球中不重复摇出 7 个基本号码与 1 个特别号码. 投注者根据 01 ———37个号码任选 7 () ()个 作为一注 不可重复根据单注号码与中奖号码相符的个数确定中奖等级 :如 ,1 一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖 选 7 中 7选 7 中 6 + 1选 7 中 6选 7 中 5 + 1选 7 中 5选 7 中 4 + 1选 7 中 4 或选 7 中 3 + 1 () 表 1各等奖项的中奖情况 总奖金的比例为销售总额的 50 % ,一般每注 2 元 ,四 ,五 ,六 ,七等奖的奖金分别为 500 元 ,50 元 ,10 元 ,5 元. 在剩余的金额中 ,一 ,二 ,三等奖的奖金分别占 75 % ,10 % ,15 % ,如果某期没有 () 出现一等奖 ,奖金累积到下一期一等奖中. 如果某期几注同时中一二 ,三等奖 ,则这几注平分() 一 二 ,三等奖. 212 单注获奖概率分析 :[1 ] 根据给出的游戏规则 ,这类彩票可以看成古典概型中不放回摸球问题. 设一箱中有 37() () () 个同类球 ,其中7个红球基本号码和1个黄球特别号码剩余为白球. 现从箱中不放回摸, ( ) ) ( 7 个球 ,求摸出 7 个球中恰有 i 个红球 ,j 个黄球的概率. 其中 : i = 0 ,1 ,2 , K ,7, j = 0 ,1;设 A :i 表示 7 球中恰 i 有个红球 ; B 表示 7 球中恰 j 有个黄球 ;则 7 个球中恰有 i 个红球 j 个黄球的概 j 率 : [ 收稿日期 ]2005 - 10 - 05 () [ 作者简介 ] 郭照庄 1981 - ,男 ,河北廊坊人 ,燕山大学理学院硕士研究生 ,主要从事为非参数统计研究. ?27 ? 枣庄学院学报 2006 年第 5 期 i 7- i j 7- i - j i j 7- i - j CCCCCCC7 37- 7 1 37- 7- 1 7 1 29 ()() ( ) ()P A IB = P A P B | A =1×= i j i j i 7 7- i 7 CCC37 37- 7 37 () ()由上计算式 可以得出单注中 K 等奖的中奖概率 :如表 1 2 中奖级别一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖 单注中奖9. 713008 6. 799105 1. 971741 5. 915222 8. 281310 1. 380218 0. 024844 e - 008 e - 007 e - 005 e - 005 e - 004 e - 003 e - 002 概率 () 表 2单注中奖的中奖概率 7() 注 : C = 10295472 ,表中数据四舍五入 ,存在舍入误差下同.37 通过以上计算 ,可以对彩民感兴趣的单注中奖概率给与答复. 另一个问题是买一注彩票 , [2 ] 如果中了 ,那么期望的奖金额是多少 ?换句话说 ,各个奖项的奖金是如何分配的 ? () 设彩民在选购各注彩票时互不影响 , X表示注 销售量中出现 m 等奖的注数. 由初等概 m 率论知 , X服从二项分布. P表示 m 等奖单注中奖概率 ,则 m m ()( ) 2 X?B n , Pm m )( ()EX= n Pm = 1 ,2 , K ,7 3m m 从而获得四 ,五 ,六 ,七等奖的奖金分别为 500 n P,50 n P,10 n P,5 n P;进而得出四 ,五 ,六 , 4 5 6 7 ( ) 七等奖占总奖金 n 元的比例分别为 500 P,50 P,10 P,5 P;根据奖金设置情况 ,可以得出各等 4 5 6 7 ()奖占总奖金的比例 :如表 3 中奖级别一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖 占总奖金 59. 325 7. 910 11. 865 2. 957 4. 141 1. 380 12. 422 ( ) 比例 % () 表 3各等奖占总奖金比例 () 当取不同值时 即销售量不同时可以得出一到七等奖的平均中奖数 ,各等奖总奖金金,7 () ( ) 额及单注奖奖金金额等. 如表n= C437 中奖级别一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖 1 7 203 609 8526 14210 255779 平均中奖数 6107789 814372 1221558 304499 426305 142100 1278893 总奖金额 单注奖金额6107789 116339 6018 500 50 10 5 () 表 4各等奖平均中奖数 ,总奖金金额 ,单注奖金额 7 这就是说 , C= 10295472 在张彩票中可能有 1 张一等奖 ,当然这种说法并不太严密 ,因为37 在同一期彩票中 ,彩民不太可能恰巧将这互不重复的组合数全部买下 ,同时也说明多张彩票都 [3 ] 选相同的号码是不可取的. 3 关于摇奖机是否正常工作 由于一等奖奖金数额巨大 ,每一期是否产生一等奖是彩民十分关注的一个问题 ,这就要 2 求主办方在公平的前提下进行摇奖. 我们通过 X- 分布拟合检验法加以分析 : ( ) 在正式摇奖前 ,可以做 n n 值较大摇奖试验 ,号码出现次数 ,如果摇奖机正常工作 , 即号码是随机产生的 ,每个号码出现的概率为 1Π37 ,令 Y 表示每次的号码数 ,则 Y 服从均匀分 ,即布 )( ( ) P= P Y = iΠ37 = 1其中 : i = 1 ,2 , K ,37 i 假设检验 :原假设 H?Y 服从 P= P= , K , = P= 1Π37 ; 0 1 2 37 备则假设 H?Y 不服从上述分布 ; 1 ?28 ? 郭照庄 ,张良勇 ,董晓芳 福利彩票的中奖率分析 2 记 n 为 n 次试验后号码 i 的出现次数. 则在 H为真的前提下 ,根据 X 统计量[1 ] 有 : 0 37 2 ( ) n - n P i i 2 ()= X 4? n P ii = 1 2 2 [4]α () 在显著性水平= 0. 05时 ,若 X< X则接受 H ,认为摇奖机正常工作. 另外文献37 - 1,0. 05 0 关于摇奖机是否正常工作也给出了多种检验方法. 显然在正式摇奖前 ,主办方都要严格审查摇奖 (器械. 并对摇奖机做多次试验 ,以保证摇奖的公平性. 当然这种公平性与摇奖过程中公证员的公 ) 平性是不尽相同的 ,这种接受原假设的结论具有犯“采伪”错误的概率从而我们可以认为彩票. 摇奖机每次是正常工作的 ,所产生的中奖号码是随机的. 4 对彩民的几点建议 通过分析 ,我们可以认为每期的中奖号码是随机的 ,本期摇出的中奖号码不受上期影响 , 中奖号码是不可预测的 ,对那些中奖号码实在没必要做什么分析预测 ,关于如何更好的购买彩 票 ,本文提供以下几点建议 : 7 411 对于一等奖累积制的彩票 ,如果彩民有足够的钱 ,只需 2 ×C花元即可买下所有的彩37 7 票 ,当一等奖累积到 2 ×C元时 ,肯定会赚钱的 ,但这是一个相当大的数目 ,具体操作起来也十 37 分不 便. 可 以 设 想 一 下 , 选 一 注 彩 票 号 码 大 约 需 5 秒 钟 , 而 选 出 所 有 的 号 码 需 要 5 × 7 () CΠ3600 小时 ,如果每个售票点工作 8 小时 ,且 7 天为一期彩票 ,则需要每天安排 255 个售 1429937 票点 ,且均为该彩民服务 ,这实现起来几乎是不可能的. 当一等奖累积到一定程度时 ,可以提前 通知相关部门 ,预定下所有的彩票号码 ,这样肯定会赚钱. 412 对于大部分彩民来说 ,由于各彩民之间的相互独立性 ,使购买的很多注彩票号码是相 同的 ,这就远远减少了中大奖的可能性 ,彩民可以几个人联合起来 ,每期每人拿出固定的钱数 , 买互不相同的号码 ,这样中大奖的概率会更大些 ,中奖之后再平分这些奖金 ,这样更利于中奖. 413 在肯定了摇奖机摇出的中奖号码是随机的前提下 ,我认为中奖号码的随机性并不是 绝对的随机 ,这就涉及到摇奖器械的相对合格性 ,每个号码球的大小 ,质量不可能绝对合格 ,总 会有一定的误差 ,每个号码球在摇奖过程中受力情况也或多或少存在一些差异 ,这样摇出的号码球就有一定的非随机性 ,所以根据前几期的中奖号码预测下期中奖号码是无可厚非的. 但切 忌把预测当作一种职业 ,以期摸出规律 ,获得大奖. 通过本文的分析 ,彩民应保持心态平和 ,福利彩票也好 ,体育彩票也好 ,国家发行是为了公益事业而募捐资金 ,彩民购买应该是为了这些公益事业作一点贡献 ,顺便使自己在工作和生 活中长期绷紧的神经得以放松 ,不应该仅为一己之私. 参考文献 1 魏宗舒. 概率论与数理统计教程M. 北京 :高等教育出版社 ,1983 ,16 - 20. () 2 张华恩 ,奚砚涛. 彩票的概率和期望中奖额J . 零陵学院学报 ,2003 ,242:31 - 33. () 3 郑辉 ,任向华. 彩票投资的概率分析J . 生活中的统计学 ,2004 , 3:57 - 58. () 尹铁开 ,邹值民. 彩票摇奖结果公平性检验J . 数理统计与管理 ,2004 ,233:65 - 68.4 The Analysis of Probability for Welfare Lottery GUO Zhao - zhuang , ZHANG Liang - yong ,DONG Xiao - fang ()The College of Science ,Yanshan University ,Qinhuangdao 066004 ,China 2 Abstract :Probability of welfare lottery is analyzed in this paper. Based on the X- test ,we can conclude that the number of winning the lottery is random. In addition ,the writer gives some effective opinions for the people who want to buy lot2 tery. 2 Key words :welfare lottery ;probability ;X- test ;expected prize. ?29 ?