凸函数极值点的分布问题

凸函数极值点的分布问题 . . 淮北师范大学学报 自然科学版 第 卷第 期 . 年 月 凸函数极值点的分布问题 陶有德 ,任 鹏,路振国 .信阳师范学院数学与信息科学学院,河南 信阳; .河南工程学院数理科学系,河南 郑州摘 要:研究可导凸函数的极值与最值问题,刻画了凸函数极值点的分布规律,并将所得结果推广到可导严格凸函数 和一般凸函数中. 关键词:凸函数:严格凸函数;极值;最值 中图分类号: . 文献标识码: 文章编号: ? ?? 函数的极值不仅在实际问题中占有重要地位,而且也是函数性态的重要特征?.在现有文献中,对一般 可导函数的极值问题的研究已接近完善,得到了许多极值的充分条件,为求解函数的极值与最值问题带来 了极大的便利 引.但是,对于凸函数的极值问题的讨论却鲜见报道.为此,本文从凸函数的基本定义和性质 出发,研究可导凸函数的极值问题,探讨凸函数极值的充分条件,并讨论相应的最值问题,以期揭示可导凸 函数的极值点与最值点的分布规律. 预备知识 为叙述和证明本文的主要结论,需要用到以下预备知识. 定义 ’ 设函数.厂 在 ,上有定义,若 轧 勋?? , ,总有 一一 ,或 一 : 一 ,则称.厂 为 ,上的凸函数 凹函数. 定义 【 在定义 中,若 ?勉,且不等式 , 严格成立,则称 为,上的严格凸函数严格凹 函数. 由定义 ,定义 ,容易证明:若函数 为,上的凸函数,则函数一 为 ,上的凹函数.为此,下面仅 讨论凸函数及其相关问题,所得结论可以自然地推广到凹函数中去. 引理 【 设函数 在,上可导,则 为,上的凸函数的充要条件是: ,耽?,,总有 厂 一 .且当厂 为,上的严格凸函数时,不等式 严格成立. . 引理 函数.厂 为,上的凸函数的充要条件是: ,勉?,, ,总有 .二. .二. 一 一 ’ 、。 且当 .厂 为,上的严格凸函数时,不等式 严格成立. 引理 函数.厂 为 ,上的凸函数的充要条件是: , :?,’ :,总有 厂 塑. 一 一 . 且当 .厂 为,上的严格凸函数时,不等式 严格成立. 收稿日期: ? ?基金项目:国家自然科学基金资助项目 ;河南省教育厅自然科学基金资助项目作者简介:陶有德 一 ,男,河南潢川人,副教授,博士,主要从事系统工程、泛函的教学与研究 淮北师范大学学报 自然科学版 年 主要结果 首先,讨论可导凸函数的极值问题.为此,有以下定理. 定理 【’ 设函数厂 为开区间 口, 上可导的凸函数,则 ? 口, 为 的极小值点的充要条件 . 是, . 证明 必要性.设 ? 口, 是 的极小值点,则由于 在点? 口, 处可导,因此由费马定 理,有蜘. 充分性.设,则 ? 口, , ?,由引理 ,有 一.于是由函数最值的定义,.厂 在 处取得最小值.又由于 ?口, 是内点,因此 在 处取得极小 值,且 。是. 的极小伊 。 由定理 ,容易得到以下推论. 推论 设函数.厂 为开区间 , 上的可导的凸函数,若 是 的稳定点,即存在 勘 口, , 使得 ,则 在 处取得极小值, 是 的极小值点,进而 在勘处取得最小值, 是 厂 的最小值点. . 证明 由定理 的充分性,结论显然成立. 推论 设函数.厂 为开区间 口, 上的可导的凸函数,则? 口, , 在 。处不取得极大值. 证明 假设.厂 在 ? 口,处取得极大值,则由费马定理,,进而由推论, 在黝处 取得极小值,产生矛盾. 推论 设函数.厂 为开区间口,上的可导的凸函数,则 戈 ? 口,, 在 。处不取得最大值, 即.厂 在 口, 内不取得最大值. 证明 假设 在 口, 处取得最大值,则由于 ?口,是内点,因此 是 的极大值点, 这与推论 矛盾. 推论 设凸函数 厂 在闭区间【口, 上连续,在开区间 口, 内可导,则 在【口, 】的端点 口 或处取得最大值,且 在 口, 上的最大值 口,. 厂 在 口, 上连续,因此由最值性定理, 在 口, 】上取得最大值.又由推论, 在 证明 由于 . 厂 的最大值只能在 口或处取得,且 在 口,】上的最大值为 口, 内不取得最大值,因此 .口,.厂 . 定理 及其推论表明,可导凸函数 的稳定点即是 的极小值点与最小值点.与此同时,可导凸 函数. 在 口, 内部没有极大值点,从而在 口, 内不取得最大值. 其次,讨论可导严格凸函数的极值问题.为此,有以下定理. 定理 设函数.厂 为开区间 ?, 上的可导的严格凸函数,若 是 的稳定点,则 是 在 口, 上的唯一极小值点. 证明 由推论,勋是厂 的极小值点.此时, 。必是厂 在 口, 上的唯一极小值点.若不然,假设 厂 在 口, 上另有一个极小值 ,,不妨设 。 ,.则由函数极值的定义,存在 : ,当 ? ., 时,;当 ? , 时, . 现任取 ?, , ?, ,则有勋, 勋 ,从而 ? 邋 ? ., 一一注意到 耽 ,且 .厂 严格凸,因此由引理 ,有 . 一一一 产生矛盾. 推论 设函数. 为开区间 口, 上的可导的严格凸函数,且 。是 的稳定点,则 是 在 口, 上的最小值点. 证明 由推论 ,结论显然成立. 定理 及其推论表明,可导的严格凸函数.厂 的稳定点必是 在口, 上的唯一极小值点,且是最 小值点.此外,定理 提示了可导凸函数与可导的严格凸函数的区别,即可导凸函数的极小值点 如果存在