关于分段函数的求导问题

关于分段函数的求导问题 关于分段函数的求导问题 #姆穆 专题 矛努函数蚴露导雹 ◎张新燕(吉林广播电视大学长春130022) 【摘要】对分段函数,我们常见的一类问题是讨论它在 分界点的可导性.按常规的做法,分段函数在分界点处的导 数应用定义,并利用导数存在的充要条件,才能确定函数 在分段点处的导数是否存在.但在学生学习中,有不少学 生不愿也不易接受这种方法.因而常常出错,这里通过一 些实例分析加以阐述. 【关键词】分段函数;导数;计算方法 一 ,分段函数的导数 分段函数的求导,关键在于分段点处的导数,常用方 法有:?不连续则不可导:?导数或左右导数的定义;?导 数单侧极限定理:设f(x)在(0,b)内连续,o?(a,b),在(a, Xo)及(Xob)内可导Rlimf(),limf()都存在,则 —一: (o)=limf(),f-(o)=limf().— Dr吨0 导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理 可证.此处从略.下面仅作几点说明: 1.定理中若,+(o)=-厂_(.),则,()在.处可导,若不 相等,则.厂()在.处不可导. 2.定理中条件缺一则不可(即03f(2;)在粕处连续; (()在粕的某空心邻域内可导;?lim厂x),limf()都 r 存在),否则,结论并不,定成立. 3.左,右导数(‰),(2;o)与厂()的左,右极限并不 是一回事,一般来说,当_厂()在XO处左连续时有f-(o)= limf(),当,()在粕处右连续时有(‰):lira厂(). r 二,分段函数的导数实例 1.盲目地利用上"分段函数的导数在分段点处连续" 的条件 f.?0 例1设函数){,>0问.厂(o)是否存在?t 解法一按导数定义厂()在=0处的左,右导数分 别为.,(0):limfax)-(~LOA:lim:lim:0, x-'O-— ,(0):lim:limX2:0. WXrL 由于(0)=(0)=0,所以厂(0)存在,且厂(0)=0. 解法二当<0时尸()=()=2x; 当>0时()=(等1=下3:. ' . limf()=lim2x=0,limf()=lim妄,:0,且 *—u—.u—'—.I,'' limf()=limf()=0, 所以lim,()=0,且有,(0):0. 剖析解法一是正确的,解法二虽然得到的结论也和 解法一的相同,但是在最后一步中,由limf()=0,如何能— 盯 推得厂(0)=0呢?这是需要说明的. 数学孥习与研究2009.8 . 荟?.?.-I?? 2.片面地认为.分段函数的导函数在分段点处的不连 续.则函数在分段点处的导数也一定不存在 例2):{si"},?0',问,(o)是否存在?lO.=0. 解法一按导数定义,可得 1 ,'(O):IiIn.j二Q)_:lim2;一 sin~ :liJnsin不. 存在,即,(0)不存在. 解法二当?0时()=(sin})=sin一 c.s },由于厂()=/ira(sin}一}c.s})不存?,_^ 在,所以_厂(0)不存在. 剖析解法一是正确的.但是解法二缺乏理论依据,其 实,即使分段函数的导函数_厂()在f(x)的分段点粕处的极 限不存在,也并不能断定f(Xo)不存在.请看下例. 例3设):{si"}?0I问尸(0)是否存在?例3设.厂()={'问.厂()是否存在 【O.=0. 解按导数定义,得 1 厂(0):lim.2:lim—xzsin~__ :limsin:0. 这表明,(0)存在,且厂(0)=0.但是,当?0时) 的导函数为 厂()=(2sin})'=2xsin一c.s. 显然()在=0处的极限不存在,而厂(0)却存在, 且f(0)=0. 3.错误地认为.分段函数的导函数在分段点处的单侧 极限不存在.则函数在分段点处的导数也一定不存在 例4,():{co}>o,问厂(0)是否存在?【0.?0 解法一在>0时():2xcos1+sin_l_,由于 limI厂()不存在,所以此函数在=0处的导数f(0)不存在. 解法二在=0处,因为 ,(o):lim: lim— (0+Ax)~cos — 0 1- 0 :O. A f-,(0):lim:lim芝:0. hx--*O/..YXA龇 按导数的定义知,此函数厂(0)是存在的. 剖析解法一.此题不满足导数单侧极限定理的条件. 解法二是正确的,此例表明,导数在.处的单侧极限不存 在,但在处导数仍有可能存在.