时间序列数据的平稳性检验

时间序列数据的平稳性检验 本文由我笨无知贡献 文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 第五章 时间序列数据的平稳性检验 1 本章要点 平稳性的定义 平稳性的检验方法(ADF检验) 伪回归的定义 协整的定义及检验方法(AEG方法) 误差修正模型的含义及示形式 2 第一节 一、随机过程 随机过程和平稳性原理 一般称依赖于参数时间t的随机变量集合{ yt }为随 机过程。 例如，假设样本观察值y1，y2„,yt是来自无穷随机 变量序列„y-2, y-1,y0 ,y1 ,y2 „的一部分，则这个 无穷随机序列称为随机过程。 3 随机过程中有一特殊情况叫白噪音，其定义 如下:如果随机过程服从的分布不随时间改 变，且 E ( yt ) = 0 var( yt ) = E ( yt 2 ) = ζ y 2 = 常数 (对所有t) (对所有t) ( cov( yt , ys ) = E ( yt * ys ) = 0 t?s ) 那么，这一随机过程称为白噪声。 4 二、平稳性原理 如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都 是常数，并且在任何两时期的协方差值仅依赖于 该两时期间的距离或滞后，而不依赖于计算这个 协方差的实际时间，就称它为平稳的。 5 平稳随机过程的性质: 均值 方差 E ( yt ) = (对所有t) var( yt ) = E ( yt ) 2 = ζ 2 (对所有t) 协方差 γ k = E[( yt )( yt + k )] (对所有t) y 其中 γ k 即滞后k的协方差[或自(身)协方差]， t 是 和 yt + k ，也就是相隔k期的两值之间的协方差。 6 三、伪回归现象 将一个随机游走变量(即非平稳数据)对另一个 随机游走变量进行回归可能导致荒谬的结果，传 统的显著性检验将告知我们变量之间的关系是不 存在的。 有时候时间序列的高度相关仅仅是因为二者同时 随时间有向上或向下变动的趋势，并没有真正的 联系。这种情况就称为“伪回归”(Spurious Regression)。 7 第二节 平稳性检验的具体方法 一、单位根检验 (一)单位根检验的基本原理 David Dickey和Wayne Fuller的单位 根检验 (unit root test)即迪基——富勒(DF)检验， 是在对数据进行平稳性检验中比较经常用到的一 种方法。 8 DF检验的基本思想: 从考虑如下模型开始: Yt = ρYt 1 + ut (5.1) 其中 u t 即前面提到的白噪音(零均值、恒定方 差、非自相关)的随机误差项。 9 由式(5.1),我们可以得到: Yt 1 = ρYt 2 + ut 1 (5.2) (5.3) Yt 2 = ρYt 3 + ut 2 „ Yt T = ρYt T-1 + ut T (5.4) 10 依次将式(5.4)„(5.3)、(5.2)代入相邻的上式，并 整理，可得: Yt = ρTYtT + ρut1 + ρ2ut2 +„„ + ρTutT +ut 根据 (5.5) ρ 值的不同，可以分三种情况考虑: (1)若 ρ ,1，则当T??时， ρ T ?0，即对 序列的冲击将随着时间的推移其影响逐渐减弱， 此时序列是稳定的。 11 (2)若 ρ ,1，则当T??时，ρ T ??，即对序列 的冲击随着时间的推移其影响反而是逐渐增大的， 很显然，此时序列是不稳定的。 (3 ) 若 ρ =1，则当T??时， ρ T =1，即对序列 的冲击随着时间的推移其影响是不变的，很显然， 序列也是不稳定的。 12 对于式(5.1)，DF检验相当于对其系数的显著 性检验，所建立的零假设是:H0 : = 1 如果拒绝 ρ 零假设，则称Yt没有单位根，此时Yt是平稳的; 如果不能拒绝零假设，我们就说Yt具有单位根， 此时Yt被称为随机游走序列(random walk series)是不稳定的。 13 方程(5.1)也可以表达成: Yt = (ρ 1)Yt1 + ut = δYt1 + ut (5.6) 其中Yt = Yt - Yt 1 ， ?是一阶差分运算因子。 能拒绝H0，则 Yt = ut 是一个平稳序列，即 Yt 此时的零假设变为:H0: =0。注意到如果不 δ 一阶差分后是一个平稳序列，此时我们称一阶 单整过程(integrated of order 1)序列，记为 I (1)。 14 I (1)过程在金融、经济时间序列数据中是最普遍 的，而I (0)则表示平稳时间序列。 从理论与应用的角度，DF检验的检验模型有如下 的三个: Yt = (1 + δ )Yt 1 + ut 即 Yt = δ Yt 1 + ut (5.7) 5.7 (5.8) (5.9) Yt = β1 +(1+δ)Yt1 +ut 即 Yt = β1 +δYt1 +ut Y =β1 +β2t +(1+δ)Y1 +ut 即 Y =β1 +β2t +δY1 +ut t t t t 15 其中t是时间或趋势变量，在每一种形式中，建 立的零假设都是:H0: = 1 或H0: = 0 ，即存在 ρ δ 一单位根。(5.7 )和另外两个回归模型的差别 在于是否包含有常数(截距)和趋势项。如果误 差项是自相关的，就把(5.9)修改如下: Yt = β1 + β 2t + δ Yt 1 + αi ? Yt i + ε t i =1 m (5.10) 16 式(5.10)中增加了Yt 的滞后项，建立在式 (5.10)基础上的DF检验又被称为增广的DF检 验(augmented Dickey-Fuller，简记ADF)。 ADF检验统计量和DF统计量有同样的渐近分布， 使用相同的临界值。 17 (二)ADF检验模型的确定 首先，我们来看如何判断检验模型是否应该包 含常数项和时间趋势项。解决这一问的经验 做法是:考察数据图形 其次，我们来看如何判断滞后项数m。在实证 中，常用的方法有两种: 18 (1)渐进t检验。该种方法是首先选择一个较 大的m值，然后用t检验确定系数是否显著，如 果是显著的，则选择滞后项数为m;如果不显著， 则减少m直到对应的系数值是显著的。 (2)信息准则。常用的信息准则有AIC信息准 则、SC信息准则，一般而言，我们选择给出了 最小信息准则值的m值 19 二、非平稳性数据的处理 一般是通过差分处理来消除数据的不平稳性。 即对时间序列进行差分，然后对差分序列进行 回归。对于金融数据做一阶差分后，即由总量 数据变为增长率，一般会平稳。但这样会让我 们丢失总量数据的长期信息，而这些信息对分 析问题来说又是必要的。这就是通常我们所说 的时间序列检验的两难问题。 20 第三节 协整的概念和检验 一、协整的概念和原理 有时虽然两个变量都是随机游走的，但它们的某 个线形组合却可能是平稳的。在这种情况下，我 们称这两个变量是协整的。 比如:变量Xt和Yt是随机游走的，但变量 Zt=Xt+Yt可能是平稳的。在这种情况下，我们称 Xt和Yt是协整的，其中 λ 称为协整参数 (cointegrating parameter)。 21 为什么会有协整关系存在呢, 这是因为虽然很多金融、经济时间序列数据都是 不平稳 的，但它们可能受某些共同因素的影响， 从而在时间上表现出共同的趋势，即变量之间存 在一种稳定的关系，它们的变化受到这种关系的 制约，因此它们的某种线性组合可能是平稳的， 即存在协整关系。 22 假如有序列Xt和Yt，一般有如下性质存在: (1) 如果Xt~ I (0)，即Xt是平稳序列，则a+bXt也 是I (0); (2) 如果Xt~ I (1)，这表示Xt只需经过一次差分就 可变成平稳序列。那么a+bXt也是I (1); (3) 如果Xt和Yt都是I (0)，则aXt+bYt是I (0) ; 23 (4)如果Xt~ I (0)，Yt~ I (1)，则aXt+bYt是I (1)， 即I (1)具有占优势的性质。 (5)如果Xt和Yt都是I (1)，则aXt+bYt一般情况下 是I (1)，但不保证一定是I (1)。如果该线性组合是 I (0)，Xt和Yt就是协整的，a、b就是协整参数。 24 二、协整检验的具体方法 (一)EG检验和CRDW检验 假如Xt和Yt都是I (1)，如何检验它们之间是否存 在协整关系，我们可以遵循以下思路: 首先用OLS对协整回归方程 行估计。 yt = α + β xt + ε t 进 然后，检验残差 et 是否是平稳的。因为如果Xt和 Yt没有协整关系，那么它们的任一线性组合都是 非平稳的，残差 et 也将是非平稳的。 25 检验 t 是否平稳可以采用前文提到的单位根检 验，但需要注意的是，此时的临界值不能再用 (A)DF检验的临界值，而是要用恩格尔和格兰杰 (Engle and Granger)提供的临界值，故这种 协整检验又称为(扩展的)恩格尔格兰杰检验 (简记(A)EG检验)。 e 26 此外，也可以用协整回归的Durbin-Watson统计 检验(Cointegration regression Durbin-Watson test,简记CRDW)进行。CRDW检验构造的统计 量是: ?(et et 1 ) DW = 2 ?(et ) 2 对应的零假设是:DW=0 27 若 et 是随机游走的，则 (et et 1 )的数学期望为0， 所以Durbin-Watson统计量应接近于0，即不能拒 绝零假设;如果拒绝零假设，我们就可以认为变 量间存在协整关系。 上述两种方法存在如下的缺点: (1)CRDW检验对于带常数项或时间趋势加上 常数项的随机游走是不适合的，因此这一检验一 般仅作为大致判断是否存在协整的。 (2)对于EG检验，它主要有如下的缺点: 28 ?当一个系统中有两个以上的变量时，除非我们 知道该系统中存在的协整关系的个数，否则是很 难用EG法来估计和检验的。因此，一般而言， EG检验仅适用于包含两个变量、即存在单一协整 关系的系统。 ?仿真试验结果表明，即使在样本长度为100时， 协整向量的OLS估计仍然是有偏的，这将会导致 犯第二类错误的可能性增加，因此在小样本下EG 检验结论是不可靠的。 29 (二)Johansen协整检验。 (1)Johansen协整检验的基本思想 其基本思想是基于VAR模型将一个求极大似然 函数的问题转化为一个求特征根和对应的特征向 量的问题。 下面我 们简要介绍一下Johansen协整检验的基 本思想和: 30 对于如下的包含g个变量，k阶滞后项的VAR模型: yt = β 1yt-1+β 2yt-2+„„β kyt-k+ut (5.11) 假定所有的g个变量都是I(1)即一阶单整过程。其 中，yt、yt-1„yt-k为g×1列向量，β1β2„βk为g×g系 数矩阵， ut 为白噪音过程的随机误差项组成的g×1 列向量。 31 对式5.11做适当的变换，可以得到如下的以 VECM形式表示的模型: yt = Πyt-k+Γ1yt-1+Γ2yt-2+„„Γk-1yt-(k-1)+ut k (5.12) 其中 Π = (? β i) Ig，Ig为g阶单位矩阵， j=1 i Γi = (? β j) Ig j=1 32 我们所感兴趣的是 Π 系数矩阵，它可以看作 是一个代表变量间长期关系的系数矩阵。因为 在长期达到均衡时，式5.12所有的差分变量都 是零向量，ut 中随机误差项的期望值为零，因 此我们有Π yt-k =0，表示的是长期均衡时变量间 的关系。 33 对变量之间协整关系的检验可以通过计算 Π 阵的特征值按照从大到小的顺序排列， 系数矩阵的秩及特征值来判断。将 Π 系数矩 即:1 ? λ 2 ? „„ ? λ g。如果变量间不存在协整 λ 关系(即长期关系)，则的秩就为零 。 34 Johansen协整检验有两个检验统计量: ?迹检验统计量 λ trace : λ trace = -T ? ln(1- λ i )，其中r为假设的协整关系的 g 个数， i 为 Π 的第i个特征值的估计值(下同)。 λ 对应的零假设是:H0:协整关系个数小于等于r; 被择假设:H1:协整关系个数大于r。 ?最大特征值检验统计量 λ max : λ max(r,r+1)=-Tln(1-λ r+1) 对应的零假设:H0:协整关 系个数等于r;相应的被择假设:H1:协整关系个数 为r+1。 35 i=r+1 首先看λ trace ， 迹检验实际上是一个联合检验:r+1=λ r+2=„„=λ g=0， λ 因为当 λ i=0时， λ i)也为零，且在 0<λ i<1 范围内， ln(1越大， λi 越小， ln(1-λ i) 越大。如果 λ trace 大于临界 λ trace 值，则拒绝零假设，说明存在的协整个数大于r， 这时应继续检验新的零假设:协整关系个数小于等 于r+1„直至 小于临界值。 λtrace 36 再来看λ max 。当 λ max 大于临界值时，我们拒绝协 整关系个数等于r的原假设，然后继续检验新的 假设:协整关系个数为r+1，„，直到 λ max 小于 临界值 。 Johansen协整检验的临界值已由Johansen给出。 在实际应用中，上述两个检验可以同时使用，一 般 而言，两种检验给出的结果是相同的，但也可 能会给出不同的结论。 37 (2)Johansen协整检验模型形式的确定。 Johansen协整检验方程形式的确定包括两部分: 一是确定VECM模型和 是否应包含常数项 Πyt-k 和时间趋势项;二是确定滞后项数(即k值)。 对于前者，我们可以根据变量的数据图形来检验 (同ADF检验);对于后者，我们可以利用前面 ADF检验中提到的渐进t检验和信息准则法。 38 (3)如何在Eviews软件中做Johansen协整检 验 下面我们通过一个例子说明如何在Eviews软 件中做Johansen协整检验。 [例5.1]:对我国货币政策传导机制信贷渠道的 实证检验 39 利用我国的数据对信贷渠道进行实证分析，来 看变量之间是否存在长期稳定的关系，即协整 关系。我们以货币供应量M1和M2作为货币政 策的起始变量，以金融机构贷款余额(DEBT) 表示信贷量，以其作为中间变量，以GDP和 零售物价指数(CPI)作为货币政策的效果变 量。 40 1、对原始数据进行适当的处理，如季节调整、 对数化等。 2、对变量进行平稳性检验。 3、如果变量水平值是不平稳的，我们就要对 它的一阶差分进行平稳性检验 。 4、进行协整检验 ，并进行济济学意义上的分 析。 41 第四节 误差修正模型 Engle和Granger于1987年提出了误差修正模型 的完整定义并加以推广。 假设Yt和Xt之间的长期关系式为: Yt = K X β t 1 (5.13) 式中，K和 β1为估计常量。例如，Y可以是商品 的需求量，X则是价格。β1 就是Y对X的长期弹 性。 42 对式(5.13)两边取对数可得: lnYt = ln K + β1 ln Xt 或 yt = β + β1xt * 0 (5.14) 我们用小写字母表示对数，其中 β 0* =ln(K)。但 是这种均衡情况在经济体系中是很少存在的。 所以当y不处在均衡值的时候，等式两边就会 有一个差额存在，即 yt β 0 β1 xt * (5.15) 来衡量两个变量之间的偏离程度。当X、Y处于 均衡的时候，这时误差值为零。 43 由于X和Y通常处于非均衡状态，可以建立一个 包含X和Y滞后项的短期或非均衡关系，假设采 取如下形式: yt =b0 +bxt +b2xt1 +yt1 +εt 1 0 < <1 (5.16) (5.16)式是基础的形式，只包括一阶滞后项， 说明对于变量X的变化，变量Y需要一段时间进 行调整。 44 在对(5.16)进行估计的时候，其中的变量可 能是不平稳的，不能运用OLS估计，否则将出 现伪回归现象。对此，重新进行转化。两边分 别减去yt-1 :得 yt yt1 =b0 +bxt +b2xt1 (1)yt1 +εt 1 并进一步进行变化: (5.17) yt yt1 =b0 +bxt bxt1 +bxt1 +b2xt1 (1)yt1 +εt 即， 1 1 1 yt = b0 + b1xt + (b1 + b2 ) xt 1 λ yt 1 + εt (5.18) 45 并进一步进行变化: yt yt1 =b0 +bxt bxt1 +bxt1 +b2xt1 (1)yt1 +εt ，即: 1 1 1 yt = b0 + b1xt + (b1 + b2 ) xt 1 λ yt 1 + εt (5.18) 在这里 λ = (1 ) 。我们对上式进行重新整理， 得到: 46 在这里 λ = (1 ) 。我们对上式进行重新整理， 得到: yt = b0 + b1xt λ ( yt 1 β1 xt 1 ) + ε t (5.19) 其中定义新变量β1=(b1+b2)/ λ ，并进 一步进行变换得到: yt = b1xt λ ( yt 1 β 0 β1 xt 1 ) + ε t 其中定义第二个新变量β0=b0/ λ 。 (5.20) 47 根据式(5.20)，Y的当前变化决定于X的变换 以及前期的非均衡程度，也就是说前期的误差 项对当期的Y值进行调整。所以(5.20)就是 一阶误差修正模型，也是最简单的形式。 εt1 = yt1 β0 β1xt1表示系统对均衡状态的偏离 程度，可以称之为“均衡误差”。 y 在模型(5.20)中， t 1 β 0 β1 xt 1 描述了对 均衡关系偏离的一种长期调解。这样在误差修 正模型中，长期调节和短期调节的过程同样被 考虑进去。因而，误差修正模型的优点在于它 提供了解释长期关系和短期调节的途径。 48 当xt = 0 且ε t 1 > 0 的时候，后者意味着 yt 1 比 均衡值高出太多。由于λ < 0 ，那么λε t 1 < 0 ， 因此yt < 0。换句话说，如果 yt 1 高于均衡值 水平，那么在下一个时间段， yt 1 会开始下降， 误差值就会被慢慢修正，这就是所说的误差修 正模型。当 ε t 1 ，则是完全相反的情况， <0 整个机制是相同的。 49 误差修正模型包含了长期和短期的信息。长期 ε 的信息包含在 t 1 项里，因为β仍然是长期乘数， 且误差项来自x和y的回归方程。短期信息一部 分显示在均衡误差项中，即当y处于非均衡状 态时，在下一期里会由于误差项的调整慢慢向 均衡值靠拢;另一部分信息来自?Xt，解释变 量的概括。这一项表明，当x发生变化，y也会 相应的发生变化。 50 第五节 因果检验 因果关系检验主要有两种:格兰杰(Granger) 因果检验和希姆斯(Sims)检验 一、格兰杰因果检验 该理论的基本思想是:变量x和y，如果x的变 化引起了y的变化，x的变化应当发生在y的变 化之前。即如果说“x是引起y变化的原因”， 则必须满足两个条件: 51 第一，x应该有助于预测y，即在y关于y的过去 值的回归中，添加x的过去值作为独立变量应 当显著的增加回归的解释能力。 第二，y不应当有助于预测x，其原因是如果x 有助于预测y，y也有助于预测x，则很可能存 在一个或几个其他的变量，它们既是引起x变 化的原因，也是引起y变化的原因。 52 要检验这两个条件是否成立，我们需要检验一 个变量对预测另一个变量没有帮助的原假设。 首先，检验“x不是引起y变化的原因”的原假 设，对下列两个回归模型进行估计: 无假设条件回归: Y = ?α Y i =1 i m m t i + ?β i =1 m i X ti + ε t (5.21) 有假设条件回归: Y = ? i=1 α iY t i + ε t (5.22) 53 然后用各回归的残差平方和计算F统计值，检 验系数β1，β2，„，βm是否同时显著的不为0。 如果是这样，我们就拒绝“x不是引起y变化的 原因”的原假设。 54 其中F统计值的构成为: RSS R RSSUR F = (N K ) q ( RSSUR ) (5.23) 其中 RSS R 和RSSUR 分别为有限制条件回归和无 限制条件回归的残差平方和;N是观察个数;K 是无限制条件回归参数个数;q是参数限制个 数。该统计量服从F(q, N-K)分布。 55 显然，如果F统计值大于临界值，我们就拒绝 原假设，得到x是引起y变化的原因。反之，接 受原假设。 接下来，检验“y不是引起x变化的原因”的原 假设，做同样的回归估计，但是交换x与y，检 验y的滞后项是否显著的不为0。 要得到x是引起y变化的原因的结论，我们必须 拒绝原假设“x不是引起y变化的原因”，同时 接受原假设“y不是引起x变化的原因”。 56 需要注意的是，格兰杰因果检验的结果对式 (5.21)中滞后项数m是非常敏感的，m值不 同，得到的结果也有可能不同。为保证结果的 正确性，一般来说，最好多试验几个不同的m 值，以保证结果不受m选择的影响。还要注意 这个因果关系检验的一个不足之处是第三个变 量z也可能是引起y变化的原因，而且同时又与x 相关。 57 二(希姆斯检验 希姆斯检验的思想是认为未来发生的变化不能 影响现在。和格兰杰检验一样，有着比较直观 的解释。其非限制性方程如下: X t = γ 0 + ?γ i X t i + ? (δ jYt + j + δ m+ jYt j ) i =1 j =1 n m (5.24) 注意上式中X是因变量而非自变量。其中零假 设是Y不是X的原因，采用了 Yt +1 , Yt + 2 „„ ，若Y 是X 的原因，则 δ1 = δ 2 = „„ = δ j = 0不成立。希 姆斯检验方法的缺点在于m的确定，m多增加 一个，自由度就会相应减少一个。 58 实例—金融数据的平稳性检验 第六节 实例 金融数据的平稳性检验 下面我们借用Eviews来分析一下上海证券市场 A股成份指数(简记SHA)和深圳证券市场A 股成份指数(简记AZA)之间的关系，同时也 通过这个实例来回顾一下Eviews的使用。 59 步骤如下: 1、对数据进行平稳性检验 2、协整检验 3、因果检验 4、误差纠正机制ECM(error correction mechanism) 5、经济学分析 60 本章小节 本章主要介绍了经济时间序列存在的不平稳性， 并提供了DF和ADF两种检验平稳性的方法。不平 稳的序列容易导致伪回归问题，为解决伪回归问 题引出了协整检验，详细介绍了协整的概念和具 体的协整检验过程。协整描述了变量之间的长期 关系，为了进一步研究变量之间的短期均衡的存 在，介绍了误差纠正模型。在讨论变量之间的因 果关系的时候，介绍了格兰杰和希姆斯因果检验 两种方法。 61 本TXT由“文库宝”下载: