伊藤引理

伊藤引理 二元数在处的泰勒展式为:(只求到二阶) f(x,y)(0,0) 222f,f,1,f,f,f22f(x,y),f(0,0)，[x，y]，[x，2xy，y]，....，R(x,y)n22x,y,2!x,x,y,y,0x,0x,0(,)(0,0)0yxyy,,,……………………………………………………………………………………… (1) 其中，为余项。(仔细观察可以发现只需展开到二阶，因为三阶以后的R(x,y)n ,t,0项，当)时均为零。 已知股价的走势可以用伊藤过程加以刻画: …………………………………………………….(2) dx,a(x,t)dt，b(x,t)dz dzG其中，为股价，为标准布朗运动。由于衍生证券的价格是一个关于基础x 证券价格和时间t的函数，即，因此由(1)知在(0,0)处的G(x,t)G(x,t)x 泰勒展式为: 222,G,G1,G,G,G22G(x,t),G(0,0)，[x，y]，[x，2xt，t]，....，R(x,t)n22,x,t2!,x,x,t,t00xt,,0(,)(0,0)0xxtt,,,…………………………….........................................................................................(3) 取差分之后有: ,t,0当时，此项的取舍非常关键 222,G,G1,G,G,G22,G(x,t),[,x，,t]，[,x，2,x,t，,t]，....22,x,t2!,x,x,t,t00x,t,0(,)(0,0)0x,xt,t,……………………………………………………………………………………… (4) 将(2)式离散化处理得: ,x,a,t，b,z,a,t，b,,t…………………………………………..(5) ,t,0,t当时，的高阶无穷小量为零(低阶无穷小量不能认为是零)。例如: 2t2t,0lim,limt,0，当时，是t的高阶无穷小量。 tt,0t,0t 3222222 ,x,a,t，b,,t，2ab,,t 3222222,t,0当时，，均为0，而中可以把看成一个2ab,,ta,tb,,t,,t 22E(,,t),,tE(,),,t新的随机变量，其均值为， 2222,t,0D(,,t),,tD(,),,t，k方差为(k为一常数)，当时， 22,tD(,,t),0，所以其实是非随机项，且等于的期望值。因此，当,,t ,t,0时 322222222 ,x,a,t，b,,t，2ab,,t,b,t,bdt (4)有: 将上式代入 2,G,G1,G2,G(x,)t,[,x，,]t，[b,]t，.... 2,x,t2!,x00x,t,0x, 2G,G,1,G2,t,0当时，，再将(2)代入其dGxtdxdtbdt(,),，，2x,t,2!x,x,0t,0x,0中，得 22,G,G1,G,G,G1,G,G22dGx(t,)adt(bdz)dtbdt(abdt)bdz,，，，,，，，22,x,t2!,x,x,t2,x,x00x,t,0x, 这就是著名的伊藤引理。 另外，书本P212关于布莱克舒尔斯方程的求解有一个容易引起误解的地方需要 小心: sW，m s,e T Smln,TWWlnS令，即将原来的随机变量进行标准化后，新的随机变量为服,Ts 2W,12h(W),e从标准正太分布的随机变量，其密度函数为: 2, ，, E(max(S,X),0),max(S,X,0)h(S)dS,TTTT,, ，,，, ()()0(),S,XhSdS，hSdS,,TTTTT,,,, ，, ,(S,X)h(S)dS,TTT,, ，,sW，meXhWdW,(,)() ,X,mln严格讲，这里的概率密度函数不可以写成 s ，因为此时随机变量的密度函数并非h(S)S,TT 2....W,12h(W),e符合这种标准形式，所以 2, 应该用另一个函数符号来示随机变量的密ST 度函数，比如g(S)。但从下面的转换可以看T 出作者的思路还是正确的。因此还是那天的那句 话，不管你怎么进行变换，最终要乘的一定是对 应的随机变量的概率密度函数