第二节可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程 第二节 可分离变量的微分方程 教学目的:熟练掌握可分离变量的微分方程的解法 教学重点:可分离变量的微分方程的解法 教学难点:可分离变量的微分方程的解法 教学内容: 本节开始,我们讨论一阶微分方程 , (1) y,f(x,y)的一些解法. 一阶微分方程有时也写成如下的对称形式: (2) P(x,y)dx，Q(x,y)dy,0 yy在方程(2)中,变量与对称,它既可以看作是以为自变量、为未知函数的方程 xx dyP(x,y),, , (Q(x,y),0)dxQ(x,y) y也可看作是以为自变量、为未知函数的方程 x dxQ(x,y),, , (P(x,y),0)dyP(x,y) 在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程 dy,2x， dx 或 dy,2xdx.把上式两端积分就得到这个方程的通解: 2y,x，C。 但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程 dy2,2xy (3) dx 就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程(3)的右端含有未知 y函数积分 22xydx , 1 dx求不出来。为了解决这个困难，在方程(3)的两端同时乘以，使方程(3)变为 2y dy， ,2xdx2y 这样，变量与已分离在等式的两端，然后两端积分得 yx 12 ,,x，Cy 1y,,或 (4) 2x，C其中C是任意常数。 可以验证，函数(4)确实满足一阶微分方程(3)，且含有一个任意常数，所以它是方 程(3)的通解。 一般地，如果一个一阶微分方程能写成 (5) g(y)dy,f(x)dx ydx的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，dyx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程。 假定方程(5)中的函数和是连续的，设是方程的解，将它代入(5)g(y)f(x)y,,(x)中得到恒等式 , g[,(x)],(x)dx,f(x)dx. y将上式两端积分，并由引进变量，得 y,,(x) g(y)dy,f(x)dx ,,设及依次为和的原函数，于是有 G(y)F(x)g(y)f(x) (6) G(y),F(x)，C因此，方程(5)满足关系式(6)。反之，如果是由关系到式(6)所确定的隐函y,,(x)数 ，那么在的条件下，也是方程(5)的解。事实上，由隐函数的求导g(y),0y,,(x) 法可知，当时， g(y),0 2 ,F(x)f(x) ,'(x),,,,G(y)g(y) 这就表示函数满足方程(5)。所以如果已分离变量的方程(5)中和是y,,(x)g(y)f(x) 连续的，且，那么(5)式两端积分后得到的关系式(6)，就用隐式给出了方程(5)g(y),0 )式就叫做微分方程(5)的隐式解。又由于关系式(6)中含有任意常数，因此(6)的解，(6 式所确定的隐函数是方程(5)的通解，所以(6)式叫做微分方程(5)的隐式通解。 例1 求微分方程 dy,2xy (7) dx 的通解。 解 方程(7)是可分离变量的，分离变量后得 dy ,2xdxy dy两端积分 ,2xdx,,,y 2lny,x，C,得 1 22，xCCx11y,,e,,ee从而 。 C1又因为仍是任意常数，把它记作C便得到方程(7)的通解 ,e 2xy,Ce。 例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减 少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M t,0M成正比。已知时铀的含量为，求在衰变过程中含量随时间变化的规律。 M(t)0 dM解 铀的衰变速度就是对时间的导数。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得tM(t)dt 到微分方程如下 dM,,,M, (8) dt ,其中是常数，叫做衰变系数。前的负号是指由于当增加时M单调减少，即t,(,,0) 3 dM,0的缘故。 dt 由题易知，初始条件为 M,M 0t,0 方程(8)是可以分离变量的，分离后得 dM,,,dt. M dM，，,,,dt.两端积分 ,,MlnCM,0以表示任意常数，因为，得 lnM,,,t，lnC, ,,t即 M,Ce.是方程(8)的通解。以初始条件代入上式，解得 oM,Ce,C 0 t,,M,Me.故得 0由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。 例3 有高1cm 的半球形容器，水从它的底部小可用下列公式计算: Q 2孔流出，小孔横截面面积为1cm(图12-1)。开 始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容 h器里水面的高度(水面与孔 口中心间的距 离)随时间变化的规律。 t 解 由水力学知道，水从孔口流出的流量(即通 V过孔口横截面的水的体积对时间的变化率)t dVQSgh,,0.622 dt Sg其中0.62 为流量系数，为孔口横截面面积，为重力加速度，现在孔口横截面面积 2，故 S,1cm dV,0.622,gh dt 4 dVghdt,0.622或 (9) 内，水面高度由降至，则又 另一方面，设在微小时间间隔hhdhdh，,(0)[,]ttdt， 可得到 2 (10) dVrdh,,,,其中是时刻的水面半径(图12—3)，右端置负号是由于dh,0，而dV,0的缘故。又因 rt 222 rhhh,,,,,100(100)200 2所以(10)式变成 。 (11) dVhhdh,,,,(200) 比较(9)和(11)两式，得 20.622(200),ghdthhdh,,,, (12) 这就是未知函数应满足得微分方程。 hht,() 此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数还应满足下列初始条件: hht,() h|100,。 (13) t,0 方程(13)是可分离变量的。分离变量后得 13,22dthhdh,,,(200) 0.622g 两端积分，得 13,22thhdh,,,(200), ,0.622g 35,,,400222thhC,,,，即 (14) ,,350.622g,, C其中是任意常数。 5 把初始条件(13)代入(14)式，得 35,,,400222 0100100C,,，,，，,,350.622g,,因此 ,,40000020000014,,5 C,,,，，10,,35150.6220.622gg,, 把所得的C值代入(14)式并化简，就得 35,5322。 thh,，,，(710103) 4.652g 6