求映射的个数问题分类导析

求映射的个数问分类导析 王 勇 ( )襄樊市第一中学 , 湖北 441000 ( ) 中图分类号 :O122 - 42 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 200117 - 0020 - 02 求映射的个数问题在前几年经常被选入各级各 提示 :映射 f 是有方向性的 , 本题从集合 B 到 m 类竞赛试题中 , 随着当今高考试题变知识立意为能 A 的映射的个数应为 n 个 . 2 特殊映射的个数问题 力立意 , 这类题目现在频频出现在全国各省市高考 ( ) 2 . 1 满射 、单射 、双射 亦称一一映射的个数问题 模拟试题中 , 多以选择题或填空题的形式出现 , 充当 高中数学教材中只给出了映射的定义 , 而满射 、 “小题把关”的重要角色 . 这类问题极富思考性和挑 战 性 , 学生 求 解 起 来 颇 感 困 难 , 考 试 时 经 常 弃 而 不 单射 、双射的定义未作介绍 , 怎样命题才能让学生上 答 ,令人惋惜 ! 下面笔者从全国部分省市高考模拟 手求解呢 ? 命题者往往在题设中给出有关定义让学 试卷中精选出八道典型例题并予以分类导析 , 旨在 探索题型规律 , 解题方法 . 生阅读理解 , 现场考查学生的自学能力和信息迁移 1 一般映射的个数问题 ( ) 2000 年湖北黄冈市高考模拟题我们 例 2 能力 , 提供新颖情境让广大考生公平竞争 , 体现了命 求一般映 射 的 个 数 问 题 主 要 依 据 是 映 射 的 定 称映射 f : A ?B 为一个“满射”, 如果集合 B 中任意 题者的“匠心.” 一个元素都有原象的话 , 已知集合 A 中含有 4 个元 义 ,在 f : A ?B 中 , 集合 A 中的元素在 B 中必有唯 素 , B 中含有 3 个元素 , 则这样不同满射的个数为 一的象 , 而 B 中的元素在 A 中不一定有原象 . 因此 , ( ) ( ) 2000 年南京市高考模拟题设集合 A 例 1 () () ( ) () A24 . B81 . C64 . D36 . 建立从 A 到 B 的映射 , 其实质就是给 A 中的每一 ( = { a, a, ?, a} , B = { b, b, ?, b} m , n ? 1 2 n 1 2 m :由题意可知 , A 中必有两个元素的象 与解 ) N , 那么由集合 A 到集合 B , 可以构造的映射的个 个元素找象 . 是 B 中的一个元素 , 而 A 中的另两个元素与 B 中的 ( ) 数是 另两个元素分别对应 , 因此 , 从 A 到 B 可确定的满 m n () () AP. BP. n m 2 3 () 射个数为 CP?= 36 , 故应选 D. 4 3 n m ( ) () Cm . Dn . 思考题 1 :若将例 2 改为已知 A 中含有 5 个元 分析 与 解 : 映 射 的 特 点 是 : 象 存 在 , 象 唯 一 . 因 素 , B 中含有 3 个元素 , 则这样不同满射的个数为多 ( ) 此 ,元素 ak = 1 , 2 , ?, n 的象在集合{ b, b, ?, k 1 2 少呢 ? b} 中有 m 种选取 , 所以由集合 A 到 B 的映射 m n 提示 : 由例 2 的分析可知 , 应把 A 中 5 个元素 ( ) 个数是m ×m ×?×m = m . 故应选 C. n个 分三部分 , 共有两种情况 :一种是 2 个 , 2 个 , 1 个 , 有 2 2 1 1 CC?C?C 5 35 4思考题 :上题 中 由 集 合 B 到 A , 可 以 构 造 的 映 种方法 ; 另一种是 1 个 , 1 个 , 3 个 , 有 2 2 射的个数是多少 ? 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) } , 故有以下情况满足 f x - f y= f z :1 - 0 - 1CC?C?C5 3 5 4 3 3 种方法 , 所以满射个数为 : ?P+ P?= 3 3 2 2 ( ) = 1 , 0 - 1 = - 1 , 1 - 1 = 0 , - 1 - - 1= 0 , - 1 - 0 = 150 . ( ) () - 1 , 0 - - 1= 1 , 0 - 0 = 0. 共有 7 种 . 故应选 A. 思考题 2 :已知集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4} , B = { 1 , 2} , ( 2000 年 天 津 南 开 大 学 附 中 高 考 模 拟 例 6 ( ) 则映射 f : A ?B 中可以构成函数的个数为 ) 题设集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5} , B = { 6 , 7 , 8} , 从 A 到 () () ( ) () A16 . B14 . C12 . D8 . ) ) ) ) ( ( ( ( B 的映射 f 中 , 满足 f 1?f 2?f 3?f 4? 提示 :函数是一种特殊的映射 , 特殊在 A , B 都 ( ) ) ( 5的映射的个数是 f 是非空数集且 f : A ?B 是满射 . 本题就是求 A 到 B () () ( ) () A3 . B6 . C12 . D21 . 的满射的个数问题 , 仿思考题 1 的解法可求出构成 )( 分析与解 :因为 B 中只有 3 个元素 , 所以 f 1 () 函数的个数为 14 . 故应选 B. ) ) ) ) ( ( ( ( ?f 2?f 3?f 4?f 5中的 4 个不等号 , 至多 有( ) 1998 年北京海淀区高考模拟题我们 3 例 ( 两个取不等号 , 没有不等号的映射 即只与 B 中 称映射 : f : A ?B 为一个“单射”, 如果集合 A 中不 1) f 有 C 同一个元素对应= 3 个 ; 有一个不等号的映 3 同的元素在集合 B 中有不同的象的话 . 已知集合 A 1 2 ( ) 射 即与 B 中两个元素对应f 有 CC?= 12 个 ; 有 4 3 = { 0 , 1 , 2 , 3} , B = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . f 是 A 到 B 的 单 ( ) 两个不等号的映射 即与 B 中三个元素 对 应f 有 射 , 则这样的单射 f 的个数是 . 2 3 CC?= 6 个. 所以共有 3 + 12 + 6 = 21 个符合要求 4 3 分析与解 :根据所给单射的定义 , 本题等价于 4 () . 故应选 D. 的映射个不同的元素去占 5 个不同的位置 , 共有多少种不 ( 2000 年湖北省八所重点高中联合调研 例 7 4 同占法的问题 , 故所求的单射的个数为 P= 120 . 5 ) 题设集合 A = { a , b , c , d } , B = { 1 , 2 , 3} , 从 A 到 ( ) 2000 年北京东城区高考模拟题我们 例 4 ( ) ( ) ( ) ( ) B 建立映射 f , 使 f a+ f b+ f c+ f d= 8 , 则 称映射 : f : A ?B 为 一 个“一 一 映 射”, 如 果 对 于 A 满足条件的映射 f 共有 个 . 中不同的元素 , 在 B 中都有不同的元素与之对应 , 分析与解 : ? 8 = 2 + 2 + 2 + 2 = 3 + 2 + 2 + 1 = 3 而且 , 对于 B 中 的 任 何 一 个 元 素 都 有 原 象 存 在 的 1 2 2 + 3 + 1 + 1 , 则共有 1 + CC?+ C= 19 个符合要求 4 3 4 话 . 已知集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4} , B = { a , b , c , d} , 设集 的映射. 合 A 到 B 的不同映射的个数为 m , 从集合 A 到 B ( ) 例 82000 年重庆市高考模拟题设集合 M m ( ) 的不同的一一映射的个数为 n , 那么 等于 = { - 1 , 0 , 1} , N = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6} , 映射 f : M ?N , 使 n 32 16 ( ) ( ) 对任意 x ?M , 都有 x + f x + x f x 为奇数 , 这样 () () ( )()A4 . B8 . C D ..3 3 ( ) 的映射 f 的个数为 4 分析与解 :由例 1 的分析可知 m = 4= 256 , 由 () () ( ) () A122. B15 . C50 . D27 . 4 本题所给出的“一一映射的定义可”知 n = P= 24 . 4 ( ) 分析与解 : 由题意 , 当 x = - 1 时 , x + f x + m 32 () 所以 , = . 故应选 D.( ) x f x = - 1 为奇数 , 因此 M 中的元素 - 1 有 5 个 n 3 2 . 2 附加约束条件的映射的个数问题 ( ) ( ) ( ) 象 ;当 x = 0 时 , x + f x + x f x = f x , 只 需 这类问题灵活性和技巧性都很强 , 没有固定的 ( ) f x 为奇数即可 , 因此 M 中的元素 0 有 2 个象 ; 当 ( ) ( ) ( ) x = 1 时 , x + f x + x f x = 1 + 2 f x 为奇数 , 因 解题模式可套 , 解题时应认真审视约束条件 , 常借助 此 M 中的元素 1 有 5 个象 . 综上 , 符合条件的映射 分类讨论的思想方法和排列组合的有关知识使问题 ( ) 的个数为 5 ×2 ×5 = 50 个 . 故应选 C. ( ) 2000 年湖北襄樊市高考模拟题已知 例 5 得以圆满解决 . 通过对以上八道典型例题的分析和解答 , 可以 集合 M = { x , y , z } , N = { 1 , 0 , - 1} , 由 M 到 N 的 看出 , 求映射的个数问题是考查学生数学能力和数 ( ) ( ) ( ) 映射 f 满足 f x - f y = f z , 那么这样的映射 ( ) 的个数是 学素养的极好素材 , 同时也是学生将来学习高等数 () () ( ) () A7 . B5 . C3 . D1 . 学必不可少的重要基础知识 , 应引起引广大教师和 ( ) ( ) ( ) 分析与 解 : 因 为 f x , f y , f z ?{ 1 , 0 , 同学们的足够重视 . 可以预见 , 这类题型在未来的高 考数学试卷中一定会占有一席之地.