浅谈求函数最值问题的方法

浅谈求函数最值问题的 摘要：本文介绍了八种求函数最值问题的方法,并结合高考试题及数学竞赛题来进行研究。 关键词：最大值；最小值；方法 0.引言 最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广 泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查 的知识点之一，也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中，它经常与三角函 数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系，并以一些基础 题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活，综合性强，能力 要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能， 灵活选择合理的解题方法。本文现拟对求函数最值问题的方法作一个综述，以便 于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。 其中，本文大致按八个方面分类选谈求函数最值问题的方法，它们分别是： 判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复 数法和导数法。 1.判别式法 x 若函数yfx,()可化成一个系数含有的关于的二次方程: y 2ayxbyx()()，，,cy()0 。在ay()0,时,由于为实数,则有xy, 2,,,,byaycy()4()()0,由此可以求出所在的范围,确定函数的最值。 y 33例1.1 (1987,江苏省数学竞赛) 已知pq，,2,其中是实数,则pq,pq，的最大值为______。 3322解:设pq，,2()()2pqpqpq，，,,spq,，,由得, 2 ()[()3]2pqpqpq，，,, 3()3()2pqpqpq，,，, 1212222 是方程的两个实根. ？？,,pqs()xsxs,，,,()0pq,3s3s 4222 ？,,,,,ss()03s 3整理化简, 得s,8,故. 即的最大值为2 s,2pq， 22例1.2 (1993,全国高中数学联赛) 实数4545xxyy,，,满足,设xy, 1122，sxy,，,则的值为_______。 ssmaxmin 4422解:由题意知, ,故 xys,,1()(1)xys,,55 4222222又xys，,xy, 是方程的两个实根. ？tsts,，,,(1)05 43932222 ？,,,,,,，,,ssss4(1)405255 10101010解得ss,,，即 ,,sminmax13,3133 118？，, ss5maxmin 2.函数的单调性法 当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在 整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整 个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上 是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。 例2.1 求函数22的最小值和最大值。 fxxxxx()81448,,,,, 2,80xx,,解：先求定义域，由68,,x 得 ,214480xx,,,, 68,x又fxxxx()86,,,,x,6,8 ， ,,,，，xx，,6 故当xxxx，,68,xx,6,8fx()，且增加时，增大，而减小.于是是随着,, fx()6,8的增大而减小，即在区间上是减函数，所以 ,, , fxf()(8)0,,fxf()(6)23,,minmax x,13例2.2 求函数，的最大值和最小值。 y,,,x22xx,，252 3x,11，，解：x,,2 ， x,1？y,,,,242，，x,，14，，x,，1x,1 141，，令t,,1，.当时，有 ftt(),，,,,tt112,,2，，t2 444 ,,,()(1)tt,0 ftfttt()()()(),,,，,212121tttt2112 14117，，,1在上是减函数，因此 ftf()(1)5,, ， ？,，ftt()ftf()(),,minmax,,2，，t22 21y, ， ？,yminmax517 3.均值不等式法 aaa，，，...12nnnaaa,,..., 均值不等式:设是个正数,则有,其中,aaa...12n12n2 等号成立的条件是aaa,,,...。 12n 运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值； “等”是等号成立的条件。 例3.1（1990,全国高中数学联赛) 设n为自然数, ab,为实数,且满足 11ab，,2，,则的最小值是______。 nn，，ab11 ab，nn2解:？,ab10ab,>.由均值不等式得, ab,,()1 2 nnnn111111，，，，，，baba故 ，,,,1 nnnnnnnn11(1)(1)1，，，，，，，ababbaba 11当且仅当ab,,1，时,上式取等号.故的最小值是 1nn，，ab11 ,1例 3.2 (1997,全国高中数学联赛)设azxyz,，，lglg[()1]， ,1,1bxxyz,，，lglg(1)，，lg[()1]xyzabc,,cy,lg，,记中最大数为M,则M的最小 ,,,111axyzbyzxcxzy,，,，,，lg(),lg(),lg[()] 值为______。 ,,,111设xyzyzxxzy，，，,,()中的最小数为,则M= lgAA 解: 由已知条件得 ，由已知条件知, xyzR,,,,于是 211,,,,11 Axyzxzy,，，()[()],，，，[()]()yzyzxx ,，,224 所以, ,且当时, ,故的最小值为,从而M的最小值为xyz,,,1A,2A,2A2 lg2 注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。 ,,例3.3 (1994,全国高中数学联赛) 设0,,,,,则的最大值sin(1cos)，22 是_______。 ,解: 由0,,,,,有 sin0,2 ,,,,2又 sin(1cos)2sincos，,2222 ,,,222,22sincoscos 222 ,,,2222sincoscos，，433222,,2() 93 ,,22其中当,,2cot2arc2sincos,时,上式等号成立,即时成立,故22 43,sin(1cos)，,的最大值为 92 4.换元法 用换元法求函数最值,就是根据函数达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。 ab满足，,1，其中为不相等的正常数，求的最小xy，ab,xy,xy 值。 例4.1 正数 aubv解：令,,,,,,0uv xuvyuv，， 2auvbuv()()，，avbu则 ,，，abab2,，ab xy，,，,，，，ab，，uvuv 2avbu当且仅当,avbu,xyab，,，，即时上式取等号.故 ，，，，minuv 22例4.2（第九届“希望杯”全国数学邀请赛）实数12,，,xy适合条件，xy, 22则函数232xxyy，，的值域是_______。 ,,，，解：由已知可设，,,12,,k，其中，, xkyk,,cos,sin,,,,,22，， 3222222222则 sxxyy,，，232,，，2cos3sincos2kkksin,,,, ,，,2sin2kk2 ,k,2s,7当，sin21,,，即时，；当k,1，sin21,,,，？,,,,1xy,max4 ,即 ,,,,4 2211，，22,7232xxyy，，xy,,,,时，.故的值域是 s,min,,222，，2 5.几何法 某些二元函数最值问题具有图形背景,这时我们可以将所给函数表达式化为 具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。根据函数所表示的几何意义,我们可以将函数分为以下几种: 5.1可视为直线斜率的函数的最值 211,，x例5.1.1 求函数fx,的最小值。 ，，x，2 y，1222解:令xyy，,,10,则fxgxy,,,且，于是问题转1,,xy，，，，，，x，2 化为: 22当点Pxy,xyy，,,10在上半个单位圆上运动时,，，，， 与的连线的斜率的最值(如图).显然,当点与点A,,2,1Pxy,B1,0APP，，，，，， 1重合时,直线的斜率最小,此时.当直线与上半个单位圆K,APAPAB3求22相切时,直线的斜率最大. xyy，,,10AP，， 设,则直线的方程为 KK,yKx，,，12AP，，AP 22直线与上半个单位圆相切 xyy，,,10AP，， 21K,4？,,d1 解得 K,0(舍去)或 K,OP223K，,1，， 14综上可得,直线的斜率的最值为: ， KK,,KK,,APminABmaxAP33 14 ， ？,fxfx,，，，，，，，，，，，，minmax33 5.2可视为距离的函数的最值 例5.2.1 (1992,全国高中数学联赛)函数 4242fxxxxxx,,,，,,，36131的最大值是_______。 ，， 解：将函数式变形,得 222222 fxxxxx,,，,,,，,(3)(2)(0)(1) ，， 可知函数yfx,的几何意义是： ，， 22在抛物线yx,上的点分别到点A3,2和点B0,1Pxx,，，，，，， 的距离之差,现求其最大值. 由知，当在的延长线上处时，fx取得最大值AB PAPBAB,,PABP'，， 22？,,,，,,fxAB302110，， ，，，，，，max，， 5.3可视为曲线截距的函数的最值 例5.3.1 (1990,高考理工科试题)求函数vuuuu,，，sincossincos的最大值。 22解: 令xy，,1cos,sinuxuy,,vxyxy,，，,则,且.则问题转化为: 22vxy，,1在单位圆上运动时,求双曲线族 (视为常xy,xyxyv，，,,0，， 数)在v轴上的截距的最大值. y 当点 当时,由方程得 v,,1xyxyv，，,,0 ,，xv,，yv , y,x,y，1x，1 由此可知:当x,,时, ;当时, x,,1y,,1y,,此双曲线族有公共的渐进线x,,1和,有公共的中心 ？y,,1O'1,1,,，， 22由此不难得出,当双曲线族xy，,1与单位圆切于点xyxyv，，,,02211T(,)，2vv 时,纵截距取得极大值 ，而,故所求纵截距的极，,212222 大值就是最大值. 1因此,所求函数，2v的最大值为 2 6.构造方差法 nXXX,,,设个数据的平均数为,则其方差为 X12n 22212，， sXXXXXX,,，,，，, ...，，，，，，n12，，n 112，，222 ,，，，,，，，XXXXXX...... ，，，，1212nn,,nn，， 2显然s,0XXXX,,,,...（当且仅当时取等号）。应用这一，可12n简捷、巧妙地解决一些试题的最值问题。这种方法适用的范围很广，可以用来求 函数的最值，也可以用来求某一字母的最值以及求某一代数式的最值。 例6.1（1998，新加坡数学奥林匹克竞赛试题）求函数yxx,，，,1sin1sin 的最大值。 解：1sin,1sin，,xx的方差是 2221111，，22sxxxx,，，,,，，,1sin1sin1sin1sin,,,(2)0y ，，，，，，,,2222，， 2y,4.故 y,2max 例6.2（加拿大第七届中学生数学竞赛试题）确定最大的实数，使得实数z 解得满足： xy, , xyz，，,5xyyzzx，，,3 2解：由已知得 , , xyz，,,5xyzxyzzzz,,，,,,,,，33553，，，， 111122，，，，222sxyxy,，,，,，,xyxy2的方差 xy,，，，，，，,,,,2222，，，， 112，，2 ,,,,，,52530zzz，，，，,,22，， 2？,,,310130zz 1313解得 .故的最大值为 z,,,1z33 注：对于例1，我们也可以用构造方差法来求解，解题过程如下： 3322解法2：不妨设pq，,2pqk，,，则由已知,即 pqpqpq，，,,2，，，， 12,,22得 ？,,pqk kkpq,,32，，,,3k,, 又的方差是 pq, 111122，，，，222,，,pqpq2spqpq,，,，，，，，，，,,,,22，，22，， 1122，，22,,,,kk()0 ,,223k，， 8322即08,,kk,002,,k02,，,pq,由此判定,解得,即,亦即.34kk,,k 故pq，的最大值为 2 7.复数法 用复数的方法解函数的最值,就是运用复数的模以及绝对不等式的性质来解 题。 zzzzzz,,,,，121212 22例7.1 求函数yxx,，，,，11216的最小值。 ，，复数的模的不等式 ： 解: 令 zxizxi,，,,，,12412 22则 yxx,，，,，11216 ,，,，zzzz,，,12513i，，1212 其中,当且仅当时,上述不等式取等号. zz,,,,0，，12 122由两个复数相等的条件可求得, x, 当时,函数 y,13 ？,,,,xmin545 例7.2 已知是不全为零的非负实数,求 xyz,, 222222xyxyyzyzzxzx，，，，，，，， u, xyz，， 的最小值。 yzx333解: 设zxyizyzizzxi,，，,，，,，，,, 123222222 222222则 xyxyyzyzzxzx，，，，，，，， 33,，，zzz,，，zzz,，，，，，xyzxyzi，，，，12312322,，，,，，33xyzxyz ，， ？,u3argargargzzz,,xyz,,,0,当且仅当,即时,等号成立. 123 8.导数法 设函数fx在ab,上连续，在ab,上可导，则fx在ab,上的最大值和，，，，，，,,,, 最小值为fxab,fafb在内的各极值与，中的最大值与最小值。 ，，，，，，，， 要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最 值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。 例8.1 求函数32fxxxx,,，,362x,,1,1,的最大值和最小值。 ，，,, 2解: fxxx'366,,，fx'0,,令,方程无解. ，，，， 22 函数在上是增函数. fxxx'366,,，,,，,3130x？fxx,,1,1，，，，，，,,故当时, ，当时, x,,1x,1fxf,,,,112fxf,,12，，，，，，，，minmax ,,n,,例8.2 求数列的最大项。 ,,n，10000,,,, 10000,xx解: 设,则 fx',fx,，，，，2x，10000210000xx，，， 1令,则得 fx'0,xf,,10000,10000，，，，200 x1又limlim0,,fx , f1,，，，，xx,,,,，10000x10001 1将limfx,及加以比较,得的最大值为 f10000f1fxf10000,，，，，，，，，，，x,,200 ,,1n,, 数列的最大项为第10000项,这一项的值为 ？,,n，10000200,,,, 以上就是本文整理出的有关于求函数最值问题的八种解法。当然解函数最 值问题的方法不止这些,例如:二次函数法,反函数法,配方法等等。这里只是对求最值问题的方法作部分的归纳,具体的方法还有待读者去进一步的发现和总结。 由于最值问题的解题方法的灵活多样性,所以教师在对最值问题的教学活动中, 应重视思想方法的渗透,把建构和发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任 务。