在周长为 2p (常数) 的一切三角形中,等边三角形面积最大。 证明一:设三角形的三边长为x, y, z, 则面积为 Sp(px)(py)(pz)=---为简化计算,取目标函数:
uf(x,y,z)2lnSlnpln(px)ln(py)ln(pz)===+-+-+-
而约束条件为 f=++-=(x,y,z)xyz2p0
取
F(x,y,z,)f(x,y,z)(x,y,z)l=+lf
=+-+-+-+l++-lnpln(px)ln(py)ln(pz)(xyz2p)
骣2p-1琪禳?F(px)0=--+l=3x骣琪x镲0-1琪镲?F(py)0=--+l=2p琪yy=令, 得到唯一驻点: 睚琪0琪-13?F(pz)0=--+l=琪镲z琪z桫0镲2p琪?Fxyz2p0=-=++îþl琪桫3
ppp12 \==Sp()()()pmax33333
证明二:
设三角形的三个边长分别是X,Y,Z.面积是.由海伦公式,有 ,
= ,P(P,X)(P,Y)(P,Z)
已知X+Y+Z=2p或Z=2P-X-Y,将它代入(8)式之中,有
= ,P(P,X)(P,Y)(X,Y,P)
因为三角形的每边长是正数而且小于半周长p,所以的定义域 ,
2, D=,,,, 已知的稳定点与的稳定点相,X,Y|0,X,P,0,Y,P,X,Y,PP同. 为计算简便,求
2,==(P-X)(P-Y)(X+Y-P)的稳定点.解方程组, ,P
',,,,,(,)(,,),(,)(,),(,)(2,2,),0xypyxyppxpypypxy,,,x ,',,,x,y,,(p,x)(x,y,p),(p,x)(p,y),(p,x)(2p,2y,x),0,y,
2p2p,,在区域D内有唯一稳定点求二阶偏导数. ,,,33,,
"", , ,,,x,y,2(x,y),3p,(x,y),,2(p,y)xyxx
" ,(x,y),,2(p,x)yy"
2"""222,, 在稳定点,(x,y),,(x,y),(x,y),4x,4xy,4y,8px,8py,5pxyxxyy
22p2pp2,,,?=, A=-从而,稳定 ,,,0p,0,,3333,,
2p2p2p2p,,,,点是函数极大点。由
意,在稳定点必取到最大值. 故,,,,,,,,,3333,,,,
2P2P2P当X=,Y=时,Z=2P-X-Y=即三角形三边长的和为定数时,等边三角333
形的面积最大.