★韩信点兵和不定方程

★韩信点兵和不定方程 韩信点兵和不定方程 和书的作者不详，但后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。在中国还流传着这么一首歌诀: 三人同行七十稀，王树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。 它的意思是说:将某数(正整数)除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。所得结果就是某数的最小正整数值。 用这首歌诀来计算上面的“韩信点兵”问题，我们便得到以下的算式: 1×70+2×21+2×15=142， 142,105=37， 即这群士兵共有37名。 今有物不知其数，三三数之《孙子算经》上还有一道极其有名的“物不知数”问题:“ 余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。”用上面的歌诀来算，便得到算式: 2×70+3×21+2×15=233， 233,105×2=23， 即所求物品最少是23件。 上面的“韩信点兵”问题，我们可以表示成方程或方程组。 设士兵共有m名。m除以3，5，7所得的商分别为x，y,z，那么由题意，有 这是一个“未知数的个数(这里有m，x，y，z共4个)多于方程的个数(这里有3个)”的方程组。它可以合并成一个方程(将3个方程相加) 3x+5y+7z+5=3m。 这个方程中含有2个或2个以上的未知数。我们把这样的方程叫做不定方程，把前面这样的方程组叫做不定方程组。这个不定方程组还可以写成 3x+1=5y+2=7z+2=m 的形式。上面所例举的方程或方程组都有无限多个正整数解(这是因为方程或方程组本身没有m答案

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