大题双曲线求方程、离心率[宝典]

大题双曲线求方程、离心率[宝典] 双曲线 一( 方程 (10 四川)(20)(本小题满分12分) 1已知定点A(,1，0)，F(2，0)，定直线l:x,，不在x轴上的动点P与点F的距离是它2 到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC 分别交l于点M、N (?)求E的方程; (?)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. 122解:(1)设P(x,y)，则 (2)2||xyx,，,,2 2y2化简得x,=1(y?0)………………………………………………………………4分3 (2)?当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y,k(x,2)(k?0) 2y2与双曲线x,=1联立消去y得 3 2222(3,k)x，4kx,(4k，3),0 2由题意知3,k?0且?,0 设B(x,y),C(x,y)， 1122 2,4kxx，,12,2,k,3则 ,243k，,xx,122,k,3, 22yy,k(x,2)(x,2),k[xx,2(x，x)，4] 12121212 22438kk，2, ,k(，4) 22kk,,33 2,9k , 2k,3 因为x、x?,1 12 y1所以直线AB的方程为y,(x，1) x，11 13y1因此M点的坐标为(,) 22(1)x，1 ,,,,,,,,,33y33y12,同理可得 FM,,(,)FN,,(,)22(1)x，22(1)x，12 ,,,,,,,,,39yy212因此 FMFN ,,，()22(1)(1)xx，，12 2,81k 24k,3 , ，22434kk，94(1)，，22kk,,33 ,0 ?当直线BC与x轴垂直时，起方程为x,2，则B(2,3),C(2,,3) ,,,,,1333AB的方程为y,x，1,因此M点的坐标为(,)， FM,,(,)2222 ,,,,33同理可得 FN,,,(,)22 ,,,,,,,,,3332因此,0 FMFN ,,，，,()()222 ,,,,,,,,, 综上FMFN ,0，即FM?FN 故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分 (10 重庆)(20)(本小题满分12分，(I)小问5分，(II)小问7分) 5F5,0e,已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。，，2 (I) 求双曲线C的方程及其渐近线方程; Mxy,Nxy,lxxyy:44，,(II) 如题(20)图，已知过点的直线与过点，，，，1122111 xx,lxxyy:44，,(其中)的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与2222 ,OGH两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。 (09 北京)19((本小题共14分) 22xy33Cab:1(0,0),,,,已知双曲线的离心率为，右准线方程为x,22ab3 C(I)求双曲线的方程; 22llC(?)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交Pxyxy(,)(0),Oxy:2，,0000 ，AOB于不同的两点，证明的大小为定值。 AB, (09 陕西)21((本小题满分14分) 22yx已知双曲线C的方程为 ,,,,1(0,0),ab22ab 525离心率顶点到渐近线的距离为 .e,,52 (?)求双曲线C的方程; (?)如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于 ,,,,,,,,1第一，二象限.若,,,,求?AOB面积的取值范围. APPB,[,2],3 25解答一(?)由题意知，双曲线C的顶点到渐近线axby,,0的距离为，(,)Oa5 abab2525? ,,,,即2255cab， ,ab25,a,2,,,,c5,,2b,1,,,c5y,2,,,,x1.由 得 ?双曲线C的方程为,,a24,c,5,222,,cab,， , ,, (?)由(?)知双曲线C的两条渐近线方程为 yx,,2.设AmmBnnmn(,2),(,2),0,0.,,, ,,,,,,,,mnmn,，,,2()APPB,,(,),由得P点的坐标为 11，，,, 22y(1)，,n2,,x1,mn,.将P点坐标代入化简得 44, ,114,,,？,,,？2,tan()2,tan,sin,sin2.设?AOB ,,,,,2225 又 ,||5||5OAmOBn,,4， 111 ,,？,,,，，SOAOBmn||||sin22()1. AOB,22 111,,,,，，,S()()1,[,2],记 ,23 189由 ,,,,,,得又S(1)=2,S(SS'()01,),(2),334 18,,1当时，?AOB的面积取得最小值2，当时，?AOB的面积取得最大值??,,3.3 8AOB面积的取值范围是 [2,].3 解答二(?)同解答一 (?)设直线AB的方程为由题意知ykxm,，,||2,0.km,, ykxm,，mm2 由{ 得A点的坐标为 (,),yx,222,,kk ykxm,，,mm2 由{ 得B点的坐标为(,). yx,,222，，kk ,,,,,,,,mm121,,,，APPB,, 由得P点的坐标为 ((),()),，,，，,，122122kkkk,, 222ym4(1)，,2 将P点坐标代入 ,,,x1.得244,k,设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m). 111SSSOQXAOQxmxAxB,,,，,, |||||||8|() AOBAOQBOQ222 211411mmm，,,，， , =m()()1.2,，,222242kkk,以下同解答一. 二(离心率 (10 全国2)(21)(本小题满分12分) 22xy,,100ab,，, 己知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点，且，，22ab BD的中点为( M1,3，， (?)求C的离心率; (?)设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明:过A、B、D三点的圆与DFBF ,17 x轴相切( 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考】 (11 江西) 20.(本小题满分13分) 22xy,,1(a,0,b,0)P(x,y)(x,,a)M,N是双曲线:上一点，分别是双曲E00022ab 1线的左、右定点，直线PM,PN的斜率之积为. E5(1)求双曲线的离心率; OA,B(2)过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原E C,点，为双曲线上的一点，满足，求的值. OC,,OA，OB 22xy解:(1)已知双曲线E:，在双曲线上，M，N分别为，，,,1a,0,b,0，，Px,y0022ab 双曲线E的左右顶点，所以，，直线PM，PN斜率之积为，，，，M,a,0Na,0 222yyyx5y100000 K,K,,,,,,,1PMPN2222x，ax,a5aax,a000 221630xyc22222200而，比较得,,1b,a,c,a，b,a,e,,22555aba (2)设过右焦点且斜率为1的直线L:，交双曲线E于A，B两点，则不妨设y,x,c ，又，点C在双曲线E上:，，，，Ax,y,Bx,y，，OC,,OA，OB,,x，x,,y，y11221212 222222222，，，，，，，，,x，x,5,y，y,a,,x,5y，2,xx,10,yy，x,5y,a121211121222*(1) 2224x,10cx，5c，a,0又 联立直线L和双曲线E方程消去y得: 222225c，a5c5c，a22yy,xx,cx，x，c,,，c，，xx,由韦达定理得:，代12121212442 771222222,a，,a,,a，a,a,,,0，或,,-4入(1)式得:22