用Mises屈服条件求内边界固支环板的极限荷载

用Mises屈服条件求内边界固支环板的极限荷载 2003 年 2 月 ENGINEERING MECHANICS Feb. 2003 文章编号:1000-4750(2003)01-162-04 用Mises 屈服条件求内边界固支环板的极限荷载 刘福林 (辽宁大学数学系力学教研室，沈阳 110036) 要:对于环板的塑性极限，通常应用最大弯矩极限条件。本文应用 Mises 屈服条件分析内边界固 摘 支环板在线性荷载与均布荷载共同作用下的极限荷载。考虑到 Mises 屈服条件的非线性，文中采用加权余 量法进行分析。根据环板屈服时弯矩的边界条件和平衡方程，选取合适的试函数，并用加权余量法中的子 域法进行求解。针对线性荷载的不同分布形式，给出极限荷载的计算与数值结果，画出极限荷载的影 响曲线，并与最大弯矩极限条件的数值结果进行了比较，说明本文结果是合理的。 关键词:Mises 屈服条件;内边界固支环板;线性荷载;均布荷载;极限荷载 中图分类号:O344.1 文献标识码:A 1引言 对环板进行塑性极限分析时，通常选用最大弯 [1] 矩极限条件。如果选用 Tresca 屈服条件或 Mises 屈服条件，则计算很困难。特别是由于 Mises 屈服 条件是非线性的，故很少应用于环板的塑性极限分 析问题。尤其是对于内边界固支环板的塑性极限分 析问题，迄今尚末见到 Mises 屈服条件的应用例子， 图 1 环板和荷载示意图 连单独承受均布荷载或线性荷载的例子也未见到， Fig.1 Annular plate and load type one 更未见到上述两种荷载共同作用的例子。 环板的平衡方程为考虑到 Mises 屈服条件的非线性及荷载的复杂 d (RM ) R 性，本文在分析上采用加权余量法和极值条 M0 dR 件，求出了承受线性荷载与均布荷载共同作用的内 q 2 2 3 3 0)R 3aa4a] [2R 3(a 2a a R 边界固支环板在 Mises 屈服条件下极限荷载所满足 0 0 0 0 0 6(a a ) 0 的方程式，并由此求出近似值及画出极限荷载的影 式中 M 、 M 为板内径向与横向弯矩。由平衡条R 0 响曲线。文中环板的材料是理想刚塑性的。 件可求出环板支承处环形支反力 R 为0 R (5a 4a)(a a )q/(6a) 2在线性荷载的第一种分布形式下0 0 0 0 0 将 R代入平衡方程，并为了求解的方便将其化为无 0 的解 量纲形式。无量纲形式的平衡方程为设作用于内边界固支环板上的线性荷载与均 (r m) m p(5 4 )(1 ) r ,r 0布荷载如图 1 所示，图中 a、a 为环板的内、外半 0 (1) p 3 2 2 3 [2r 3(1 2 )r 3 4 ] 径，R、M 为内边界支承处的环形支反力与反力 0 0 1 矩， q为均布荷载集度及线性荷载的最大集度，R 0 式中各量均为无量纲量: 为有量纲的径向坐标，r 为无量纲的径向坐标。 ——————————————— 2 7 3 12 m M / M , m M / M , p q a /(6M ) r R p 0 0 p 0 p k 6 p (11) 2 (2) 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) a/ a, r R / a 1, (r m) d (rM ) / dr 0 r ,r r 将 k 代入(9)式，经整理得 2 式中 为塑性极限弯矩。M p 12(7 3 )G2 4 [ 7(1 ) Gk 2 pMises 屈服条件为 1(1 )(1 ) 2 2 m m m m 1 (3) 2 r r 0 0 72(7 3 ) G 24G ]k 1 3 2 2环板屈服时的边界条件为(1 )(1 )(1 ) (1 ) m(1) 0m( ) M / M 1, r 2 r 0 p 7 )(7 3 )(1 ) 3 )G 42(8 288(7 (4) [ ] pm( ) m(1) 1 2 40 0 1 (1 ) (1 ) 下面用加权余量法的子域法来分析此非线性12(7 3 )G 24G 4 [ 7(1 ) ] 0 问题。根据边界条件(4)式，设试函数为 2 6 3(1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1 (12) m kr(r )(r 1) (r 1) r 1 (5) 1 在(12)式中对 k取极值，由此可求出 k: 1 1 m k r(r )(r 1) 1 0 2 3(7 3 ) 7 6 4 k (13) (1 ) 1 3式中 k、 k 为待定系数。显然，试函数已满足边 (1 )(1 ) 4G 1 2 (1 )(1 ) 界条件(4)式。 将试函数(5)式分别代入平衡方程(1)再将 k代回(12)式，经整理就可得到环板屈服时无 1 式与 Mises 量纲极限荷载 p 所满足的方程式为 2 屈服条件(3)式，得余量: 3 )G 216(7 54(7 3 ) G 2 p [R (r m) m p(5 4 )(1 ) 2 42 21 r ,r 0 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) p 3 2 2 3 49 2 8 [2r 3(1 2 )r 3 4 ] 315(7 3 )(1 ) ] p [ (1 ) (14) 1 8G 3 2 3 2 k[4r 3(1 )r 2 r ] k [r (1 )r 216G (6) 12 70 700] 0 2 6 1 (1 ) (1 ) r] (2r 1) p(5 4 )(1 ) 1 3在线性荷载的第二种分布形式下p 3 2 2 3 [2r 3(1 2 )r 3 4 ] 1 的解1 2 2 R m m m m 1 2 r r 0 0 设作用于内边界固支环板上的线性荷载与均 2 2 6 5 (k k kk )[r 2(1 )r 1 2 12 布荷载如图 2 所示，图中各量如图 1 中的说明。此 2 4 3 2 2 (1 4 )r 2 (1 )r r ] 时，内边界支承处的环形支反力为:3 2 (7) (k 2k )[r (1 )r r] R (4a 5a)(a a )q/(6a) 1 2 0 0 0 0 0 4 3 2 (2k k )[r (2 )r (1 2 )r r ] 1 2 1 1 2 (r 2r 1) (r 1) 21 (1 ) [2] 用加权余量法中的子域法消除余量: 1 3 Rdr 0 : k (1 )(1 ) 1 2 (8) 2 6 p(7 3 )(1 ) 12 0 1 2 2 4R dr 0 : 2G(k k kk ) 7k(1 ) 2 1 2 1 2 1 图 2 环板和荷载示意图 (9) 3 Fig.2 Annular plate and Load type two 7k (8 7 )(1 ) 70(1 ) 0 2 于是，环板无量纲形式的平衡方程为 式中2 5 6 7(r m) m p(4 5 )(1 ) r ,r 0 G 2 7 7 7 7 2 (10) (15) p 2 3 2 3 由(8)式，得 [3(2 )r 2r 6 5 ] 1 式中各无量纲量 m、 m、 p 、 、 r 及 (r m) r 0 r ,r 164 工程力学 2q a 2 如(2)式的说明。 0 (22) p 26M (7 3 )(1 ) 除平衡方程不同外，Mises 屈服条件和边界条 p 两者随 变化的值及其比较如表 1，由表 1 画出极 件仍如(3)、(4)式。因边界条件相同，故仍选取(5) 限荷载影响曲线如图 3 中的曲线?。 式为试函数。将试函数(5)式分别代入此问题的平衡 2 方程(15)式与 Mises 屈服条件(3)式，得余量: 表 1 图 1 所示荷载作用下的极限荷载( a q / 6M ) 0 p R (r m) m p(4 5 )(1 ) 3 r ,r 0 2 Table 1 Ultimate load ( ) under the load pattern givena q/ 6M 0 p p 2 3 2 3 [3(2 )r 2r 6 5 ] in Fig.1 1 3 2 3 2 k[4r 3(1 )r 2 r] k [r (1 )r (16) 12 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 r] (2r 1 ) p(4 5 )(1 ) 最大弯矩极限 1 0.338 0.411 0.517 0.678 0.914 1.421 2.442 5.319 20.619 条件解p 2 3 2 3 [3(2 )r 2r 6 5 ] 1 本文 Mises 屈 1 0.371 0.446 0.555 0.720 0.991 1.480 2.519 5.430 20.834 2 2 服条件解 R m mm m 1 R(17) 4 r r 0 0 2 4.2 对于内边界固支环板在图 2 所示的荷载作 消除余量: 1 用下，本文 Mises 屈服条件解为(21)式;而最大弯 3 Rdr 0 : k (1 )(1 ) 3 2 [3] (18) 矩极限条件解为: 2 2 6 p(5 3 )(1 ) 12 0 q a 2 0 p (23) 1 2 2 2 46M (5 3 )(1 ) pR dr 0 : 2G(k k k k ) 7k (1 ) 4 1 2 1 2 1 (19) 两者随 变化的值及其比较如表 2，由表 2 画出3 7k (8 7 )(1 ) 70(1 ) 0 2 极 由(18)、(19)式消去 k ，得 限荷载影响曲线如图 3 中的曲线?。 2 12(5 3 )G24G 42 2Gk [ p 7(1 ) ]k 1 1 3(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 2 3 ) G 7 )(5 3 )(1 ) 72(5 42(8 2 p [ 2 2( 1 (1 ) (1 ) 8 7 288(5 3 )G 288G ] p [ 84 2 4 2 61 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 70(1 )] 0 20) 在(20)式中对 k取极值，由此求出 k。再将 k 1 1 1 代回(20)式，经整理可得到此环板屈服时无量纲极 限荷载 p 所满足的方程式为 2 54(5 3 ) G 216(5 3 )G 2 p [ 2 22 4(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 49 - - - - - 最大弯矩极限条件解 2 8 315(5 3 )(1 ) ] p [ (1 ) (21) 8G ——— 本文 Mises 屈服条件解 216G 曲线?:对应于图 1 所示的荷载 70 700] 0 2 6(1 ) (1 ) 曲线?:对应于图 2 所示的荷载 式中 G 如(10)式。 图 3 极限荷载影响曲线 Fig.3 Inflnence curve of ultimate load 4结果分析与结束语 4.3 由表 1、表 2 及图 3 看出:本文 Mises 屈服 4.1 对于内边界固支环板在图 1 所示的荷载作 条件解均稍高于最大弯矩极限条件解，极限荷载影 用下，本文 Mises 屈服条件解为(14)式;而用最大 响曲线的变化是合理的，这些说明本文方法及给出 [3] 弯矩极限条件求解时，其解为:的(14)式，(21)式是合理的，数值结果与变 化曲线是理想的。structures [M]. Beijing: Chinese Architecture Industry 2 表 2 图 2 所示荷载作用下的极限荷载( a q / 6M ) Press, 1985. 0 p 2[2] 徐次达. 固体力学加权残值法[M]. 上海:同济大学 Table 2 Ultimate load ( ) under the load pattern givena q/ 6M 0 p 出版社，1987. in Fig.2 Xu Cida. Method of weighted residuals in solid mechanics[M]. Shanghai: Tongji University Press, 1987. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 [3] 宋继侠, 刘福林. 环板在局部均布和线性荷载共同 最大弯矩 0.466 0.558 0.692 0.896 1.231 1.838 3.130 6.757 25.974 作用下的塑性极限分析[J]. 兵工学报, 1996, 17(2): 极限条件解 188-192. 本文 Mises 0.511 0.606 0.743 0.953 1.295 1.915 3.228 6.898 26.246 Song Jixia, Liu Fulin. A plastic limit analysis of an annular 屈服条件解 plate under combined action of localized uniform and 参考文献: linearly varying loads [J]. Acta Armamentarii, [1] 徐秉业，刘信声. 结构塑性极限分析[M]. 北京:中 1996,17(2):188-192. 国建筑工业出版社，1985. Xu Bingye, Liu Xinsheng. Plastic limit analysis of EVALUATION OF ULTIMATE LOAD OF INNER-EDGE-CLAMPED ANNULAR PLATES BASED ON MISES YIELD CRITERION LIU Fu-lin (Mathematic Deportmentin Liaoning University, Shenyang 110036) Abstract: For ultimate strength analysis of annular plates, the maximum bending moment is usually considered as a criterion. In this paper, the ultimate load of inner-edge-clamped, annular plates is evaluated based on the von Mises yield condition. The weighted residual method is employed to deal with the non-linearity resulting from the Mises yield condition. With reference to the boundary conditions and the equilibrium equations of moment, an appropriate trial function is chosen and the subdomain method is used to find the solution. Formulas and numerical results of the ultimate load are given for two typical linearly varying loads. The influence curve diagram for the ultimate load is plotted. Comparison is made with the results based on the maximum bending moment. The present approach is shown to be reasonable. Key words: Mises yield condition; annular plate with clamped inner boundary; linear load; uniform load; ultimate load