刚体滚动中静摩擦力方向的直观判断及作功问题

刚体滚动中静摩擦力方向的直观判断及作功问 王 权 ()潍坊教育学院机电与信息工程系 ,山东 青州 262500 摘要 :本文以常见的力学现象为例 ,从理论上阐述判断静摩擦力方向的方法及作功问题的方法 。 关键词 :静摩擦力 ;运动趋势 ;瞬时平动 () 中图分类号 :O311. 2文献标识码 :B文章编号 :1009 - 2080 200504 - 0027 - 02 方法能容易判断静摩擦力方向 , 不再赘述 。 1 纯滚动中静摩擦力方向的直观判断 相对静止的两个物体之间有相对滑动趋势时 , 则在两个 上述方法和通常应用一般计算方法来确定静摩擦力的方 ( ) ( ) 物体的接触面 点上就存在着阻碍相对滑动 趋 势 的 静 摩 擦 向结果是一致的 。事实上 , 在图 2 略中 , 设 P 点的静摩擦力 力 , 其方向与滑动趋势方向相反 。 f 方向沿 X 轴正方向 , 则 : ? 在刚体滚动中 , 物体间相对滑动趋势不象平动那样直观 , ) (4F + f = m x ( ) 静摩擦力方向不易给出 。在图 1 略中 , 质量为 m , 半径为 R ? ()θ5 Fr - f R = J c? ? ? 的匀质实心圆柱体 , 受一水平外力 F作用 , 在水平面上作纯滚 θ() 6 x = R动 。作用在圆柱体 P 点处的静摩擦力方向由于相对滑动趋 2 R 势不明显 , 难以直接判定 。为了能比较直观地确定滚动中静 ( ) ()解之可得 f = - F 7 r 3 R 2 摩擦力方向 , 可以应用下述方法 : 先隔离研究的滚动体 , 再设 R 显然 , 当 r > 时 , 静摩擦力 f 方向沿 X 轴正方向 ; 又当 r 2 ? 想 P 点不受静摩擦力作用 , 然后找出在外力 F作用下 , 圆柱体 R R = 时 , 静摩擦力 f = 0 ; 当 0 < r < 时 , 则静摩擦力 f 沿 X 轴( ) P 点的切向加速度的方向 。此即相对滑动趋势, 则 P 点所 2 2 受到的静摩擦力方向同该切向加速度方向相反 。 负方向 。 ? 2 刚体作纯滚动时静摩擦力作的功 ( ) 在图 1 略中 , 设 P 点不受静摩擦力 , 圆柱体在 F的作用 在平动中 , 置于光滑水平面上处于相对静止的两个物体 ,下 ,可看成质心的平动和绕质心的转动 , 则 P 点的切向加速 ? ( ) ? ? ? 以力 F作用在物体 A 上 , 它们以同一加速度运动 图 4 , 略, 则 ααα度应是平动加速度和转动的切向加速度的矢量和 , 即 τ c P静摩擦力 f = - f。′而 f 对 B 作正功 , 物体 B 动能增加 ; f对′ A 作? ? ? 负功 , 使其动能减小 。将 A 和 B 作为一个系统 , 静摩擦力的 合αα( ) ( ) α= = 图 2 , 略。为了判别的方向 , 由图 2 略可得 : c τP 功为零 , 即静摩擦力不作功 , 但是它实现了系统内各物体能 量? ? α()F = m 1 c的传递 。 ? ? ε()Fr? = J对于纯滚动 , 例如一均匀实心圆柱体在固定的斜面上作 2 c ( ) 纯滚动 图 5 , 略。圆柱体上的 P 点和斜面所受的静摩擦力 α τ 1 2 ε式中 J = mR ,= 故有, c 分别为 f 和 f。′由于斜面固定不动 , 故 f对斜面作功′为零 , 将 圆2 R r2 柱体和斜面作为一个系统时 , 静摩擦力对它们所作功的代 数 αα()= 3 τ c R 和为零 , 故 f 对圆柱体作功亦为零 。这明圆柱体和斜面 之( ) 利用 3我们可以得到各种情形下的 P 点的切向加速度 间没有能量的“传递”。这样便产生了一个问题 : 在惯性参 照? 系中 , 静止的圆柱体从斜面下滚过程中 , 静摩擦力不作功 , 而α, 从而方便地确定静摩擦力的方向 。例如 : P 以质心为参照系时 , 重力 、正压力均通过质心 , 它们对刚体 转 ? ? R () αα αα 1当 r > 时 ,> , 则沿τ方向 , 所以静摩擦力τ c P 动能量变化是没有贡献 , 而圆柱体转动只与静摩擦力有关 , 其2 转动能量的变化必与摩擦力矩有关 , 这样就同静摩擦力不 ( ) 的方向沿 X 轴正方向 。如图 3 略所示 。 ? R αα α() 2当 r = = 0 , 这表明 P 点处无相对滑 时 ,= ,τ c P 2 动趋势 , P 点受到的静摩擦力为零 。 作功相矛盾了 。R αα () 时 ,< , 静摩擦力沿 X 轴的负方向 。 3当 0 < r < τ c 2 事实上 , 圆柱体在纯滚动中 , 静摩擦力不作功 。但是 , 由 对于 r = 0 , r < 0 以及只受力矩作用的纯滚动情况 , 应用上述 ? ? 1 υυP 处的速度为零 , 即在质心坐标中有 := + 于在接触点 P c θf = mglsin3 ? ? ? υ(υυ) = 0 : 质心平动 速 度 ,: P 点 绕 轴 转 动 的 切 线 速 度。 转 c 转 圆柱体在 t 时刻的平动功率为 : ? ? dA 1 1 2 υ显然使圆柱体转动的静摩擦力其瞬时功率为 : f ?> 0 。 转 ( θθ)υθυN= = mgsin- mgsin= mgsin 1 c c3 3 dt ? 正是由于 f 的瞬时功率作用才使刚体相应地获得转动动 2 2 θ()所以 9 能的变化 。圆柱体下滚过程中 , f 不断地作用导致功率对时 E A= ?Ndt = mglsin= 总1 1 3 3间的积累 , 结果使刚体获得总转动能量的改变 。而在圆柱体 圆柱体在 t 时刻的转动功率为 : ? ? dA 21 υ下滚的平动部分里 , 静摩擦力的瞬时功率 f ?< 0 。该功率对 c θυN= = mgsin 2 转dt 3 时间累积结果 , 使刚体的总平动动能减少 。 1 1? ? ? ? θ 所以 E A= ?Ndt = mglsin= 总2 2 3 3 υυ就整个刚体而言 , 每一时刻都存在 : f ?+ f ?= 0 , 对 转 c () () ( ) 由 8, 9, 10三式可知 , 圆柱体沿斜面作无滑动的滚 时间累积结果也为零 。 静摩擦力不能使圆柱体的总动能发动 , 当其质心下降 h 时 , 其能量关系为 : 生变化 , 它却起着使 2 1 圆柱体平动动能减少 , 转动动能增加的作用 。它只能将刚体 E= mgh = A+ A= E+ E总 1 2 总 总3 3 的一种形式的动能转换成它所具有的另一种形式的动能 。 即 E= E+ E 总 平动 转动 为了清楚地说明问题 , 我们进行一些计算 。结果表明 , 圆柱体在平动中能量的减少恰恰就是其绕过 设圆柱体开始静止 , 然后沿斜面滚动 , 其质心下降高度为 质心转轴的转动能量的总量 。静摩擦力的作用只是将平动动 h , 沿斜面移动距离为 l 。 能转换成转动动能 , 静摩擦力不能使圆柱体的总能量发生任 在斜面光滑时 , 圆柱体只有平动 , 其动能为 : 何变化 。静摩擦力在滚动中对刚体不作功 , 但在能量转换中 却起着重要作用 。 θ)(E= E= mglsin= mgh 8 k 总 ?) ( 在纯滚动情形下 , 其静摩擦力 f 计算略为 : the Intuitionistic Judgment of Static Friction Force′s Direction and the Question of Work Done During Rigid Body Rolling Wang Quan ( The Mechanical Electronics and Information Engineering Department of )Weifang Educational College ,Qingzhou Shandong 262500 Abstract : From the common mechanical phenomenon , present a theoretical method on how to judge the direction of static friction force . Meanwhile , give a method to prove the work done by static friction force during rigid body rolling. Key words : static friction force ; movement tendency ; instantaneous plane motion ( )Translator :Mr . Yang Fugang