高中数学教师说课稿范例--函数的最大值与最小值

高中数学教师说课稿范例--函数的最大值与最小值 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课 函数的最大值和最小值 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛教案 ?3.8 函数的最大值和最小值(第1课时) 二,,六年十月 E-mail:lcyz_yjl@163.com 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 3.8 函数的最大值和最小值,第1课时, 江西省临川第一中学 游建龙 人教版全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修?) 【教材分析】 1(本节教材的地位与作用 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值” ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问(这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义( 2(教学重点 会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值( 3(教学难点 高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法( 4(教学关键 本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点( 【教学目标】 根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标: 1(知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系( (2)进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值( (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤( 2(过程和方法目标 (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值( (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处( (3)会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值( 3(情感和价值目标 (1)认识事物之间的的区别和联系( (2)培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题( (3)提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神( 【教法选择】 根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果， 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 而认识则是起源于主客体之间的相互作用( 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输(为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学( 【学法指导】 对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题,教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用( 【教学过程】 本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈回授”四个环节进行组织( 教学教 学 内 容 设 计 意 图 环节 以实例引发思考，1(问题情境:在日常生活、生产和科研中，常常会遇到 有利于学生感受到数学求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问 来源于现实生活，培养题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值( 学生用数学的意识，同如图,有一长80cm,宽60cm 时营造出宽松、和谐、 的矩形不锈钢薄板,用此薄板折 积极主动的课堂氛围， 成一个长方体无盖容器,要分别 在新旧知识的矛盾冲突一 、中，激发起学生的探究过矩形四个顶点处各挖去一个 创 热情( 全等的小正方形，按加工要求, 设实际问题中，函数 长方体的高不小于10cm且不大于 和自变量x范围的设置，情 20cm(设长方体的高为xcm,体积 都紧扣本节课的核心:3为Vcm(问x为多大时,V最大? 境确定闭区间上的连续函，并求这个最大值( 数的最(大)值( 铺 解:由长方体的高为xcm， 通过运用几何画板垫 演示,增强直观性,帮助可知其底面两边长分别是 导学生迅速准确地发现相 (80,2x)cm，(60,2x)cm,(10?x?20). 关的数量关系(提出问所以体积V与高x有以下函数关系 入 题后,引导学生发现,求V=(80,2x)(60,2x)x 所列函数的最大值是以 =4(40,x)(30,x)x. 前学习过的方法不能解 决的,由此引出新课,使 2(引出课题:分析函数关系可以看出，以前学过的方法学生深感继续学习新知 识的必要性,为进一步的在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的 研究作好铺垫. 方法，来求某些函数的最值( 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 教学教 学 内 容 设 计 意 图 环节 1(我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a， 通过对已有相关知b]上必有最大值与最小值( 识的回顾和深入分析，问题1:如果是在开区间(a，b)上情况如何, 自然地提出问题:闭区问题2:如果[a，b]上不连续一定还成立吗, 间上的连续函数最大值 fxxx(),(1,2).,,x (0?x<1),和最小值在何处取得, f(x)=如何能求得最大值和最0 (x=1).yy小值,以问题制造悬 念，引领着学生来到新2知识的生成场景中( 1 对取得最大值最小1值的两种可能位置的结 论，在高中阶段不作证 明，为使学生形成更深o12x刻的印象，更好地进行xo1 发现，教学中通过改变 区间位置，引导学生观2(如图为连续函数f(x)的图象: 二察各种区间内图象上最、 合大值最小值取得的位 置，形成感性认识，进作 而上升到理性的高度( 学 为新知的发现奠定 基础后，提出教学目标，习 ，让学生带着问题走进课 探 堂，既明确了学习目的，在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别又激发起学生的求知热是什么,分别在何处取得, 索 情( yy新 学生在合作交流的 探究氛围中思考、质疑、知 倾听、表述，体验到成 功的喜悦，学会学习、aaxxObbO学会合作( yy在整个新知形成过 程中，教师的身份始终 是启发者、鼓励者和指 导者，以提高学生抽象 a概括、分析归纳及语言axxObOb表述等基本的数学思维 能力(深化对概念意义 的理解:极值反映函数3(以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的 的一种局部性质，最值关键是什么, 则反映函数的一种整体归纳:设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)性质( 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求f (x)在(a,b)内的极值; (2)将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值( 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 教学教 学 内 容 设 计 意 图 环节 探索出最大值和最求[a，b]上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤: 小值存在的可能位置(1)求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值; 后，求法边呼之欲出，(2)将f(x)的各极值与f(a)、 f(b)比较，其中最大的一个这时可以让学生给出求是最大值，最小的一个是最小值( 解步骤，既锻炼了他们 的表达能力，更培养了42例1 求函数y= x,2 x，5在区间[,2，2]上的最大他们的数学思维能力( 值与最小值( 3 解: y′=4 x,4x， 3令y′=0，有4 x,4x=0，解得: 解决例1的方法并x=,1,0,1 不唯一，还可以通过换 元转化为学生熟知的二当x变化时，y′，y的变化情况如下表: 次函数问题;而这里利 用新学的导数法求解，x (-2,-1) (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 ,2 ,1 这种方法更具一般性， 0 0 0 y′ — ， , ， 是本节课学习的重点( ? ? ? ? 二y 13 4 5 4 13 、 合从上表可知，最大值是13，最小值是4( “问起于疑，疑源于 思”，数学最积极的成分作 思考:求函数f(x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往是问题，提出问题并解比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤, 决问题是数学教学的灵学 魂(思考题的目的是优设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b] 习化导数法求最大、最小上的最大值与最小值的步骤可以改为: ，值的解题过程，使得问(1)求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函探 题的解决更简单明快，数值; 更易于操作(这一环节索 (2)将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)旨在培养学生的探究意比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值( 识及创新精神，提高学新 生分析和解决问题的能解法2: 3知力( y′=4 x,4x 3令y′=0，有4x,4x=0，解得: 对例题1用简化后 x=,1,0,1( 的方法求解，便于学生 x=,1时，y=4, 将它与第一种解法形成 对照，更容易被学生所x=0时，y=5, 接受( x=1时，y=4( 又 x=,2时，y=13， 课堂练习的目的在x=2时，y=13( 于及时巩固重点内容，?所求最大值是13，最小值是4( 使学生在课堂上就能掌 握(同时强调的书课堂练习: 写和准确的运算，培养求下列函数在所给区间上的最大值与最小值: 学生严谨认真的数学学3(1)y=x,x,x?[0,2] 习习惯(对学生完成联32(2)y=x，x,x，x?[,2,1] 系情况进行评价，使所 有学生都体验到成功或 得到鼓励，并据此调控 教学( 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 教学教 学 内 容 设 计 意 图 环节 例题2的解决与本例2如图,有一长80cm,宽60cm 三课的引例前后呼应，继的矩形不锈钢薄板,用此薄板折 、续巩固用导数法求闭区成一个长方体无盖容器,要分别 指 间上连续函数的最值，过矩形四个顶点处各挖去一个 导 同时也让学生体会到现全等的小正方形，按加工要求, 应 实生活中蕴含着大量的长方体的高不小于10不大于 cm用数学信息，培养他们用20设长方体的高为xcm,体积 cm,，3数学的意识和能力( 鼓为Vcm(问x为多大时,V最大? 并求这个最大值( 励 创 分析:建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x新 为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决( 四课堂小结: 通过课堂小结，深化、1(在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 [a,b]上必有最大归对知识理解，完善认识值与最小值; 纳结构，领悟思想方法， 小 强化情感体验，提高认结2(求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤; ， 识能力(课外作业有利反3(利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为于教师发现教学中的不馈零的点的判定. 足，及时反馈调节( 回 授 作业布置:P 1、2、3 139 【教学设计说明】 本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在,存在于哪里,怎么求,”为线索展开( 1(由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念( 2(关于教学过程，对于本节课的重点:求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握(对于难点:求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性( 3(在教学手段上，制作多媒体辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受;课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率( 4(关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中( 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 课题:?5.4平面向量的坐标运算,第一课时, 教材:人教版全日制普通高级中学教科书,必修,第一册,下, 授课教师: 单位: 教材分析与教法设计 (1)在巩固平面向量基本定理的基础上理解平 1、理解平面向量的坐标面向量的坐标概念; 概念 (2)会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标. 知 识 目 (1)能正确理解向量加、减法的坐标运算法则; 标 2、掌握平面向量的坐标(2)能熟练进行向量的坐标运算; 运算 (3)掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点 坐标、终点坐标之间的关系. 教 学 目 1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜标 能 想的能力; 力 2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力; 要 3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能 求 力. 情 设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源 感 于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物 态 观主义观点. 度 重点 平面向量的坐标运算. 难点 理解向量坐标的意义. 方法 引导发现、合作探究. 教具 多媒体课件、实物投影仪、三角尺. 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 教学过程 环节 具体内容及形式 双边活动 设计意图 复习回顾: 复 习向量定义，引出x 1、单位向量都相等; ( 假 ) 通过提问的轴y轴正方向上的复 方式让学生对命单位向量i和j. 判 2、坐标平面上的x轴和y轴都是题作出判断; y 习 向量. ( 假 ) 断 j o 回 教师从学生x i 题 活动出发，进行 顾 评价、拓展，为 3、如果e 、e 是同一平面内的通过第3小题12 新课的讲解作铺两个不共线的向量，那么对于这一复习平面向量基本 垫. 平面内的任一向量a,有且只有一定理, 为下一步将 对实数x,y，使a = x e + y e. 基底特殊化引出新12 ( 真 ) 课做准备. 创 学生体会数激发学生的学设 通过学生熟知的足球学与现实生活的习兴趣，提高学习问 运动来创设问题情境，引联系，并通过教效率，在知识的迁题 入新课，并且建立数学与师引导，体会特移中进行创造性的情 其它学科的联系. 殊化的思想. 学习，达到传授知境 识与培养学生能力 融为一体的目的. 问题一:平面直角坐标系内，每个点可以用经历前两个 一对实数来表示，向量可以吗, 环节的铺垫后， 师 解决途径:以向量i、j为基底，利用平面教师引导学生恰设置探究式教生 向量基本定理构造平行四边形，如图: 当的选取基底， 学，让学生经历知 完成基底特殊化识的形成、发展、共 y 的过程. 应用的过程，从而同 达到对知识的深刻 理解与灵活应用，探 a 教师通过多充分体会数学探索究 媒体课件演示， 的乐趣. 使学生直观理解 j 及 o 平面向量的坐标 x i 应 概念,明确求向量 坐标的思路. 用 结论:若a = xi+ yj，则a =(x,y)叫做向 量的坐标表示. 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 应用一、初步运用定义求特殊向量的坐标. 学生独立完 i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0) 成，进一步体会 特殊化思想. ? 应用二: (课本P例1). 111 例1、 用基底i、j分别表示向量a、b、c、 平 d，并求它们的坐标. 面 师生共同探 究，教师板书过以向量b为例y 4 向 程.教师重点以讲解本题，可以让b a 3 向量b为例讲解学生体会向量的坐量 2 本题，引导学生标与点的坐标一 1 利用平面向量的样，有正负之分. j的 O 坐标表示求出向 0 1 2 3 4 x 量b的坐标，并 i坐 提醒学生注意坐 d c 标符号. 标 表 变式探究: 将例1中向量d的方向取反向得到向量学生观察出在学生掌握课示 e，分析b、e两向量的关系后进行探究. 向量b、e两向量本例题的基础上进 大小相等，方向行挖掘、引申，探 相同，应该是相究新知，使得前后探究一:相等向量的坐标有关系吗, 等向量. 知识衔接自然. 结论:相等向量的坐标也相等，体现向量与教师提问: 其坐标的对应关系. 向量在坐标平面 内任意平移而坐 标不变，那么将 其起点放在什么在教学中渗透 位置更有利于研类比和特殊化的数探究二:将表示向量的有向线段的起点放在究呢, 学思想，形成新的坐标原点后有何结论呢, 知识结构体系，为 教师利用多下一步突破教学难结论:此时向量坐标就由这条有向线段的终媒体课件进行动点做准备. 点坐标唯一确定了. 画演示，学生直 接参与探究的过 程，从亲身体验 中获得深刻的认 识. 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 问题二:若已知a =(1,3),b =(5,1)，如 让学生经历主 何求a ， b 、a , b的坐标呢,(由特殊对具体的两动观察、大胆猜想、 到一般，探究向量加减的坐标运算法则) 个向量，教师启积极验证，顺利得 发引导学生分析出向量的坐标运算 法则:若a =(x,y),b =(x,y),则: 规律，通过猜想、法则，突出重点.同1 12 2师 a ， b = (x，x ,y，y ), 验证得出向量的时培养学生的观察1212 生 a , b = (x,x ,y,y ) 坐标运算法则. 能力、推理能力、1212 逻辑思维能力. 共 同 应用三:课本P例2 及P练习1. 例2以学生 112114 回答为主，教师 探 板书过程;练习让学生熟练运究 探究三:例一中向量a的坐标与它对应的有学生笔答，通过算法则的应用，体 向线段的起点、终点坐标有何关系, 实物投影反馈. 会向量坐标运算的及 (从具体例子寻找规律) 优势:思路明确， y 应 过程简捷;强调步 A 骤书写，发现问题用 a 教师利用多及时解释说明. b 媒体课件演示引 B 导学生把任意向 c ? 量用起点在原点 的向量来表示. O x 寻找各知识点的 平 由图可知，a = c , b 联系，挖掘问题 面 结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有实质. 体现了向量坐 向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 标的意义，通过提向 出矛盾、回顾旧知、量 推理验证，对难点 探究四:一个向量平移后坐标不变，但起点层层突破. 的 坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾 坐 呢, 标 借助探究二的探究思路，利用向量坐标表示 运 的推导过程来组织教学. 算 结论:向量的坐标与表示它的有向线段的起 点、终点的具体位置没有关系，只与其相对 位置有关系. 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 熟练向量的坐 应用四:课本P练习2. 标与表示它的有向114 学生口答，线段的起点坐标、 应用五:以表格形式对练习2 引申训练 教师进行评价、终点坐标之间的关 拓展. 系. 起点A 终点B 向量AB 例三是对本节 ( 2，3 ) ( 1，1 ) 内容综合训练，培 ( 3 , ,4 ) ( ,2 , 7 ) 养学生善于思考和 教师倡导学严谨的学习态度， 生积极思考，从并对新知识进行深应用六:课本P例三. 113 不同角度解决本层次的理解和应变式训练:将例三中平行四边形ABCD这一 题，体会难易差用. 条件去掉，改为求点D，使这四个点构成平 别. 行四边形.(教学中可根据时间情况进行讲 解或作为课后思考题) 帮助学生把所归 在教师提问学知识纳入知识体纳 强调本节课的重点内容，为下节课的学习做的基础上，让学系，形成良好的认总 简要铺垫. 生自己进行归纳知结构，有益于学结 总结，教师加以生对知识的巩固、 补充. 理解和掌握. 作业 课本第114页第1、2、3题 板书设计 方案一: ?5(4平面向量的坐标运算(一) 一、平面向量的坐标表示 二、平面向量的坐标运算 三、例题 1、定义 1、向量的坐标运算法则 例1 2、特殊向量的坐标表示 2、向量AB的坐标与点A、例2 3、相等向量的坐标也相等 点B的坐标的关系 例3 4、向量OA的坐标表示 方案二: 一、平面向量的坐标表示 三、例题 1、定义 例1 2、特殊向量的坐标表示 例2 3、相等向量的坐标也相等 例3 4、向量OA的坐标表示 二、平面向量的坐标运算 1、坐标运算法则 2、向量AB的坐标与A、B的坐标的关系 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 教学环节流程安排 复 习 回 向 向 量 量 顾 跟跟 的 的 踪踪坐 坐 练练 标 标 情 习 习 表 运境 示 算 归设 纳置 总 结 探究及应用 巩 固 提 高 教案的设计说明: 第三届全国高中青年数学教师优秀课参赛说课教案 函数的最大值和最小值 1、设计初衷: 本节课内容难度不高，但知识点比较繁多，而且各知识点之间的衔接不够紧凑，对初学者来说容易产生杂乱无章的感觉.教师作为教学活动的设计者，在教学设计中应力求突出知识间的联系，指引学生理清众多的思绪，主动参与到思考、观察、猜想、验证、应用的教学活动中去，从而顺利地突破重、难点. 2、呈现方式: 根据教学大纲要求结合本节课具体的教学目标和学生的认知特点，我设计了“复习回顾——创设问题情境——合作探究和指导应用——归纳小结——布置作业”五个教学环节. 3、新课程观的体现: 本节课主要采用的是“引导发现、合作探究”的教学方法，以学生熟知的足球运动为情境引入新课，以问题为载体，以师生合作探究为主线，以思维训练为核心，以能力发展为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生经历知识的形成、发展和应用的过程，在和谐、愉悦的氛围中获取知识，掌握方法.整个教学中既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用. 4、可能出现的问题: 探究式教学需要留给学生充足的时间和空间，为学生提供活动的机会，学生情况不同，反馈给教师的信息也不同，因而在时间和内容上都不是固定的，需要教师在设计时富有一定的弹性，在实施时设计方案跟着学生转变，具有一定的开放性和灵活性.