1曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方【共享精品-doc】

1曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方【共享精品-doc】 习题1.10 处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，写出微分方程. 1.曲线在点(x,y) ,yyx,yx，，，， 解 设曲线为，过其上点，，切线斜率为 x,y 由题知 3 ,yxx,,，， 3,y,x即所求曲线满足的微分方程为. 2.下列所列函数是否是所给微分方程的解. 2,xy,2y,y,5x (1) 222,,,x,y,x,10x,10x2y,2,5x,10x 解 因，故，，即， y,10xx,y,2y 2,y,5x 因此是的解. xy,2y ,,(2) y，y,0,y,3sinx,4cosx ,,, 解 因，， y,3cosx，4sinxy,,3sinx，4cosx,, 故 y，y,,3sinx，4cosx，3sinx,4cosx,0 ,, 因此 是的解。 y，y,0y,3sinx,4cosx 2x,,,y,2y，y,0,y,xe(3). x2x2x,y,2xe，xe,，，2x，x,e 解 因， x2x2x,,，，y,2，2x,e，，，，，2x，x,e,2，4x，x,e ， 2x2x2xx,,,y,2y，y,，，，，2，4x，x,e,22x，x,e，xe,2e,0 故， 2x,,,y,xe 不是的解. y,2y，y,0 ,x,x12,,,y,(,，,)y，,,y,0,y,Ce，Ce(4). 121212 22,x,x,x,x111212,,, 解 因，，故 y,,ce，,cey,,ce，,ce11221122 ,,22xx12,,,yyy,,,,,，，，， . ,，,,cece12121122 ,x,x112,,,，，y,,，,y，,,y,0从而 是的解。 y,ce，ce121212 22,(x,2y)y,2x,y,x,xy，y,C (5) . 22,,x,xy，y,c 解 的两边同时对求导，得 . x2x,y,xy，2yy,0 , 整理得 ，， . x,2y,y,2x,y 22,x,xy，y,c 从而 是的解. ，，x,2yy,2x,y 3.求下列微分方程的通解或特解 22,2xy,ylny,0(1). 11ddyx, 解 分离变量得 ，两边积分，得 22yyxln2 11ddyx,， 22,,yyxln2 11dy,,因此就是微分方程的一个通解. 2,yyxln2 dyy(2) xy,lndxx dyduyy,ux,u，x, 解 令， 则 ， ,uxdxdx dudxdu,因此变量分离，得 ， u，x,ulnuu(lnu,1)xdx 两边积分，得 lnlnu,1,lnx，cc，(这里是任意常数) 11 整理得 c1 lnu,,e,x，1 ycx，1ccx，11y,x,e令，有 ，于是 ， 将代入上式，得 . u,,e,cu,elnu,c,x，1x cx，1y,x,e因也是一个解， 故原方程得通解为 ，其中为任意常数. y,0cdy,2x(3) ，,2yedx ,2xqxe(),px()2, 解 令， pxxpxx()d()d,,2x,,y,e(x，c)yeqxexc(()d)通解为，即 . ,，, ,,,(4). y,y,2x,0 ,,,, 解 令， 则 . y,py,p dx,dx,,,,,因此， ，即 p,e,2x,edx，cp,p,2x,0,,,,, xpxce,,，，,21，，. 2xx,，，y,,2x，1，c,e于是 ，两边积分,得 ，其中和c是任c，，y,,x，1，c,e，c11 2x意常数.从而原方程得通解为 . ，，y,,x，1，c,e，c1 3,,(5) . y,,021，x 3,,, 解 由 知，， y,3arctanx，cy,,0121，x y,3arctanxdx，cx，ccc 两边积分，得 其中和为任意常数 1212, 故原方程得通解为 y,3arctanxdx，cx，c. 12, ,,,(6) y,y,6y,0 2 解 特征方程为 ，解得 ，. ,,,2,,3,,,,6,012 ,2x3xy,ce，ce依次原方程的通解为 ，其中c和c是任意常数. 1212,,,(7) y,3y,0 2 解 特征方程为，解得，. ,,0,,3,,3,,012 3xy,c，cecc 原方程的通解为 ，其中和是任意常数. 1212 2x,,,3y，2y,y,3e(8) 12 解 特征方程为 ，解得,,,1，. ,,3,，2,,1,0123 1x,x3cc 相应齐次方程的通解为 y,ce，ce，其中和是任意常数. 1212 2xy,Ae 由于不是特征根，故特解为. ,,2 112x2x2x 将它代入原方程得，，从而 ，于是特解为 ,. ye15Ae,3eA,55 1x1,x2x3,，， 从而原方程的通解为 ycecee. 125 ,,,(9) xy，y,0 dpdx,,,,,,, 解 令，则 ，于是 . 变量分离，得. y,py,px,y，p,0px 两边积分，得 ，这里为任意常数. 两边同时取指数，得 clnp,,lnx，c11 cc1cc2211,,e,c，令，则 ，即 . 两边积分，得 pe,,py,,,y,clnx，c223xxx c其中和是任意常数，故原方程得通解为 . cy,clnx，c3223 2,,yy,1(10) , 解 令，则 y,p ddddppyp,,yp,,,, ddddxyxy因此原方程为 dp2yp,1 dy即 2dy2dpp,2 y 2dy2d2y2pc,,，,因此于是，即，也即， ,,dxpc,,,，,,,，cyydxy2,，cy dy两边积分，得. ,,，xc1,2,，cy (以下可以略)，即 lnlntctc,，112,,,，,,，cxc() 1tctccc,， 2其中. tc,,，y 4.求下列微分方程满足初始条件的特解. dy(1) ， ，3y,8y,4x,odx dy 解 移项，得 ，因此 ,,3y，8dx ,3dx3dx,,,, y,e,8,edx，c,,,,, 884,3x即 ， 由知，，得 . 因此，原方程满足初始条yce,，,y,4，c,4c,x,o333 件的特解为 84,3x. y,，,e33 3x,,,y,e,0,y,1,y,,1(2) x,0x,0 13x3x,,,y,e 解 移项，得 ， 两边积分，得 ， yec,，13 14143x,, 由知，，，因此 ， y,,1，c,,1c,,y,e,11x,03333 14813xyexc 两边积分，得 ， 由知，，， ,,，y,1，c,1c,222x,09399 因此，原方程满足初始条件的特解为 1483x. y,e,x，939 ,,,,(3) y,3y，2y,0,y,y,2x,0x,0 x2x2y,ce，ce 解 特征方程为，解得，，故通解为 ，,,1,,2,,3,，2,01212 x2x,,y,ce，2ce且 ，由，，联立方程组，得 c，c,0，c，2c,2 y,0y,2121212x,0x,0 x2xy,,2e，2e解得 c,,2，c,2. 因此，原方程满足初始条件的特解为 . 12 习题1.12 1.求下列函数的单调区间. 22yxx,,ln(1) 2x1,,,y,2x,,2x,，， 解 fx的定义域，. ，，，，,,,00,,,,:2xx,, ,, 令，则 ，，则因在和内，，在和x,,1x,1y,0y,0,,,,10,1,1,0，，，，，，12 ,内，. y,01,，,，， 22y,x,lnx 因此函数在区间和内都单调减少，在区间和内,,,,1,1,01,，,，，，，，， 都单调增加. 2x(2) y,21，x 解 ，，的定义域，，，因 fx,,,，, 2221，x,2x,2x21,x2x，1x,1，，，，，，，，,y,,,, 22221，x1，x，，1，x ,,,，， 故由知， ，. 因在内，在和内，. x,,1x,1,1,1y,0y,0y,0,,,,11,，,，，，，12 2x 因此函数在区间,,上单调增加，在区间和内都单调减少. ,1,1y,,,,,11,，,，，，，21，x nx,yxenx,,,(0,0)(3). n,1,xn,xn,1,x[0,)，,,，，y,nxe,xe,n,xxe，， 解 的定义域，因，故由，fxn,0 n,x,,y,xe，，，，和知，在内，，在内，. 因此函数在区间,,内0,nn,，,0,ny,0y,0x,0 ，单调增加，在区间,内单调减少. n,，, 2.证明题 1(1)当时， x,0ln(1)，,x1，x 1 证 原题不对，题目可以改为 当时，. x,1ln(1)，,x1，x 112，x1,fx,，,,0，，fx,ln1，x,令，则因，而 ，，，，221，x11，，xx，，，，1，x 11，故. 因此 2ln2ln4ln1,,,efxxf,，,,,,,ln1(1)ln20，，，，12，x 1当时，. x,1ln(1)，,x1，x 2x(2)xxxx,，,,,ln(1)(0). 2 ，，，，，，，，，， 证 先证x,ln1，x x,0，为此令fx,x,ln1，x， 则f0,0， 1x,，因此在内单调增加. 于是当时，，，，,fx0,，,fxx,,,,,10(0)x,0，，11，，xx 有 fxxxf,,，,,ln1(0)0，，，，. 22xxln1ln1再证，， ，，，为此令，，，，，则 ，，，x,0g0,0，x,x,gx,，x,x，22 21x,gxxx,,，,,,10(0) ，，11，，xx 因此，当时，，，，，，即，，，原不等式成立 gx,g0gx,0x,0 2xln1，， 综上所述，当时，. x,，x,x,x,02 2x(3)当时， . cos1x,,x,02 2x,cos1，，，，，， 证 令，则，， f0,0fx,,sinx，xfx,x,，2 ,，，，，，，当时，有. 于是，当时， ，从而，当时，，fx,0fx,f0x,0x,sinxx,0x,0 ，，即，原不等式成立. fx,0 3 (4) 证明有且只有一个实根. xx，，,200720080 32, 证 设，则，因此单调增，fxxx,，，20072008fxx,，,320070fx，，，，，， 3于是至多只有一个根. xx，，,200720080 另一方面，因f(2)8401420080,,,,，,，f(0)20080,,，在[2,0],上fx，，连续，故由介值性定理知，在内至少有一个，使得. [2,0],xfx,0，，3.求下列函数的最大值和最小值. 2fxxx()45,,，(1)， x,,[3,10] ,,，，，，，，，， 解 ，令，得驻点 ，因，，fx,2x,4fx,0f2,1f,3,26x,2 2fxxx()45,,，，，，，，，,,f10,65，故函数在,3,10有最大值f10,65，最小值f2,1. 21233(2)， fxxx()(1),,,x,,[2,2] 12,,21233,,,,,,，，fxxxx12 解 ，若fx,0，则 ，，，，33 1422,,,,223 33322xxx,,,1,xx,,1,，，，，xx,,1, x,1矛盾，因此无驻点，只有不可导点x,0，x,,1，. 312 1111 3333，，，，，，，，，，因f0,1，f,1,1，f1,1，f,2,4,3，f2,4,3， 而 1133431,, 11 33故函数在得最大值为，最小值为. ，，，，，，,,，，，，,2,2f0,f,1,f1,1f,2,f2,4,3 32yxxx,,，，6930的凹凸区间和拐点. 4.求曲线 2,,,,,y,3x,12x，9 解 ，， 令，得，因在区间，，内,,,2y,0y,6x,12x,2,,,,，而在区间内，所以是凹区间，是凸区间，因，，，，，，2,，,,,,22,，,y,0y,0 ，故是曲线的拐点. ，，，，y2,322,32 DD5.求图形的面积和图形绕轴旋转一周的旋转体的体积. x 2y,xy,x(,)由曲线与所围. D: 2y,xy,x 解 因和的交点坐标为，，和，，，故 0,01,1 2 ，，D,{x,y0,x,1,x,y,x} 的面积为 11111,,223，，dS,x,xx,x,x, . ,,,0236,,0 D绕轴旋转一周的体积为 x 1224d，，V,,x,xx,, . ,015 (,)由曲线与轴所围( yx,sinx0,,x,D:，， ,,D 解 的面积为 S,sinxdx,,cosx,2,00 2,,,,2Dsind1cos2d，，V,xx,,xx, 绕轴旋转一周的体积为. x,,,0022 2LLxxx,,,,100025,0406. 某企业的利润和销售价格之间的关系为，问销售价格x 在什么范围变化时，企业的利润是增加的,又售价为多少时企业利润最大? 2,,，，Lx,1000x,25x，，，， 解 利润 ，，因 Lx,1000,50x 故由Lx,00,x,40 ,,，，，，,,,,知，在0,20内Lx,0，而在20,40内Lx,0，故当时，企业的x,200,x,20 ,,,,，，，，利润是增加的，而Lx,,50，故L20,,50,0，当时，企业的利润为最大，x,20最大利润为元。 100 7.某单位准备举行一次音乐会(若票价为每人8元，听众将有300人，票价每降低1元，听众将增加60人(问能使门票收入为最大的票价是多少, R 解 设为门票收入，票价降低元， x 2，，，，，，Rx,8,x,300，60x,,60x，180x，2400 ， 3,,,, 因，故得，又，因此 ，，，，，，Rx,,120x，180Rx,0x,Rx,,120,02 3,,,,R,,120,0 ,,2,, 3因此能使门票收入为最大的票价是为元. 86.5,,2