中国人民公安大学

中国人民公安大学 课程： 高等数学 教师：李排昌、王云鹤 石瑞民、熊允发等 性质： 考试 单位：理科基础部 学时： 52 学生：侦查、治安等 学期：第一学期 教材：《高等数学》 教 务 处 制 序号：1 授课时间 第七周1 授课学时 2 第一章 函数、极限与连续 教学内容 ?1.1函数 使学生理解函数的概念、定义和性质，掌握初等函数的概念。 教学目的 与要求 初等函数 教学重点 与难点 多媒体课件和面授讲解相结合 教学方法 与手段 P41 1.2.3.4.5.6； 思考题与 《高等数学》同济大学。 参考 函数的几种简单性质,基本初等函数和初等函数。 课后小结 讲授 内 容 与 课 堂 组 织 一、 变量与区间 变量：在某一过程中可以取不同的值的量；变量的 每一个值都是一个数，所有这些数所构成的数集， 称为这个变量的变域。 在微积分中常常用到 ,的邻域： x0 （x,,,x，,),{xx,x,,,,,0},和的去心邻x0000 域， ,称为邻域的中心、称为邻域的半径。 x0 二、 函数的概念 1. 函数的定义: 设有两个变量x和y,变量x的变域为D,如果对于D中的每一个值x,按照某一种确定的对应关系,都可以确定变量y的一个相应值,我们就说变量y是变量x的一个函数,记为 y=f(x), x ,D x称为自变量，y称为因变量。 例：已知y=f（x）的定义域为[0，2]，求f（x-a）a>0的定义域。 解 y=f（x-a）的定义域为 axa,,，2。 2．函数的图形 ?1.1图6 3、反函数，复合函数 （1） 反函数 定义：设给定一个函数y=f（x）。如果对于值域R中的每一个y的值，都可以由关系y=f（x）确定惟一的一个x的值，则得到定义在R上的以y为自xy,,()称为yfx,()的反函变量、x为因变量的函数数。 ?1.1例4 （2） 复合函数 定义 已知函数y=f（u）和u=v（x），则称y=f[v（x）]为复合函数。X为自变量，y为因变量，u为中间变量 三、 函数的几种简单性质 1、奇偶性 ?1.1例5例6 2、周期性 ?1.1例7例8 3、有界性 四、 初等函数 1、基本初等函数 ?常函数y=C ?幂函数 n，（n为任一给定的实y,x 数） x（a>0为一常数） y,a ?对数函数( a>0为一常数） yx,loga?指数函数 ?三角函数 sinx cosx tanx ctnx ?反三角函数 arcsinx arccosx arctanx arccotx 2、初等函数 定义：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复 合所构成的一切函数，统称为 教案序号：02 授课时间 第七周2 授课学时 2 第一章 函数、极限与连续 教学内容 ?1.2极限 使学生掌握数列极限和函数极限的定义和性质； 教学目的 求一些简单函数的极限。 与要求 各种类型极限的定义 教学重点 与难点 多媒体课件和面授讲解相结合 教学方法 与手段 P41 7.8. 思考题与 《高等数学》同济大学 参考书 数列及函数的极限 课后小结 讲授 内 容 与 课 堂 组 织 一、 极限问题 引入极限概念的两个几何原型. 1. 面积问题. 2. 曲线的切线斜率. 二、 极限 1、数列的极限 定义1：给了一个数列 如当n无yyyy: ,,,nn12 限时，趋近于某一个定数A，我们就说数列yynn 当 时以A为极限，或称A是数列的极限（值） yn,,n 记为 y,A或y,A（n,,） nnlimn,, 如果一个数列有极限，我们就称这个数列收敛， 否则称它发散，或者称它无极限。 ?1.2例3 2、函数的极限 定义2：如果当x无限增大时，f（x）趋于定数 A，就说函数f（x）当 时以A为极限，记 x,，, 为fxA(),fxAx(),,，,（） 或 limx,，, ?1.2例5 附近有定义（但在 x0 可以没有定义）。如果当x趋近（但始终不xx00 定义3：设函数f（x）在 等于）时，f（x）趋近于定数A，就说函数 x0 f（x）当时以A为极限，记为 x,x0 或 fxAxx()(),,fxA(),0limxx,0 ?1.2例6例7例8。 右极限：如果当x从右侧（即大于部分）接xx00 近于时，f（x）趋近于定数A，就说函数f以Ax0 为右极限，记为 或 fxAxx()(),,，fxA(),0limxx,，0 左极限：如果当x从左侧（即小于部分）接xx00 近于时，f（x）趋近于定数A，就说函数f以Ax0 为右极限，记为 或 fxAxx()(),,,fxA(),0limxx,,0 例 对于函数 2,,0,,1xx ,(),yfx, ,,0sixx, 我们有 f(x),cosx,1 limlimx,0,x,0, 2f(x),x,0 limlimx,0，x,0， 定理1：极限存在的f(x),A或f(x),A(x,x)0limx,x0 必要和充分条件是：左极限f(x)和右极限 limx,0, f(x)都存在，并且二者相等。 limx,0, 教案序号：03 授课时间 第八周1 授课学时 2 第一章 函数、极限与连续 教学内容 ?1.2（续） 一般变量的极限、极限的性质 使学生掌握一般变量极限的定义，以及极限的性质,熟练掌握两教学目的 个重要的极限. 与要求 两个重要的极限 教学重点 与难点 多媒体课件和面授讲解相结合 教学方法 与手段 P42 9.10.11 思考题与 《高等数学》同济大学。 参考书 一般变量的极限, 两个重要的极限 课后小结 讲授 内 容 与 课 堂 组 织 一、 一般变量的极限 定义：如果变量Y趋近于定数A，就说变量Y以A 为极限，记为 LimY=A或Y?A 定理 任何变量的极限只能有一个。 二、 极限的性质 1、极限的四则运算 (1)LimY=A,LimZ=B,则 Lim(Y,Z),A,B (2)Lim(Y,Z),A,B,LimY,LimZ YAlimY(3)当limZ,B,0时，lim,, ZBlimZ ?1.2例10 -例15 32(，),xhx例 求的极限 limhh,0 解 将三次方式展开，然后约去分子、分母中的公 因子h，就可以利用极限四则运算法则： 2233xh，3xh，h222,(3x，3xh，h),3x limlimh00h,h, 2.两个重要的极限 （1）定理 定理 （限定定理）如果在变化过程中，三个变量 Y,Y,Y总有关系Y,Y,Y，且limY,limY,A则 12313123 limY,A2 ?1.2例16例17 定理 （单调有界准则）如果 是单调（增加或yn 减少）有界数列，则 一定存在。 ynlim,,n （2）两个极限 xsin ?,1 limxn,0 1n?(1，),e limn,,n ?1.2例18-例23 3.无穷小量和无穷大量 定义：已知函数f（x），若，则称在 f(x),0limx,x0(或x,,) fx()（或）为无穷小量。 xx,x,,0 定义：已知函数f（x），若，则称在 f(x),,limx,x0(或x,,) fx()（或）为无穷大量。 xx,x,,0 ?1.2例24-例25 例 当x?π/2时，f（x）=tanx 为无穷大量； 当x?0时，f（x）=tanx为无穷小量。 例 因为x3，5,,所以当x?0时，3+5x是比lim2xx,0 2x高阶的无穷小 教案序号：04 授课时间 第八周2 授课学时 2 第一章 函数、极限与连续 教学内容 ?1.3 函数的连续性 使学生理解连续的概念，掌握初等函数的连续性，了解闭区间 教学目的 上连续函数的性质 与要求 初等函数的连续性 教学重点 闭区间上连续函数的性质 与难点 多媒体课件和面授讲解相结合 教学方法 与手段 P41 12.13.14 思考题与 《高等数学》同济大学。 参考书 连续性概念； 初等函数的连续性； 闭区间上连续函数的性质。 课后小结 讲授 内 容 与 课 堂 组 织 一、 连续与间断的概念 1、连续函数 定义：如果当时，f（x）的极限存在且等x,x0 于它在点处的函数值，即 x,x0 或，我们就说 fxfx()(),fxxfx()()，,,00limlimxx,,,xx00 函数f（x）在点处是连续的；否则就说函x,x0 数f（x）在点处是间断的。 x,x0 定义：如果函数f（x）在区间（a，b）或[a，b] 上每一点都连续，我们就说f（x）在区间（a，b） 或[a，b]上是连续的。函数f（x）在区间[a，b] 的端点连续，指右极限f(x)存在且等于f（x），lim，x,a 左极限f(x)存在且等于f（b）。 lim,x,b x,e,(x,0) 例 适当选取a，使得函数是连f(x),,a，x,(x,0), 续函数。 解 显然，当x >0,x<0使，f（x）是连续的。只 需考察x=0处的连续性。因为它是分段定义的函 数，我们分别考察x=0处的左、右极限： x0f(x),e,e,1,f(x),(a，x),a limlimlimlim，,，，x,0x,0x,0x,0 因此，取a=1，则f(x),f(x),f(0),1 limlim，，x,0x,0 f（x）在x=0也连续，于是f（x）处处连续。 连续的条件是：第一，极限 x,x0 2.函数的间断点 存在；第二，函数f（x）在点处有x,xf(x)0lim 函数f（x）在x,x0 定义；第三，极限正好等于。任何f(x)f(x)0limx,x0 一条不满足，函数f（x）在点处就是间断x,x0 的，称为f（x）的间断点。 x0 ?1.3例2例3例4 3.连续函数的性质 （1）两个连续函数的和（或差）仍是连续函数。 （2）两个连续函数的乘积仍是连续函数。 （3）两个连续函数的商（假定除数不为零）仍是 连续函数。 （4）有反函数的连续函数的反函数仍是连续函数。 （5）两个连续函数的复合函数仍是连续函数。 二、初等函数的连续性 定理：所有的初等函数，在其有定义的地方都是 连续的。 ?1.3例5 三、 闭区间上连续函数的性质 定理：（最大最小值定理）闭区间[a，b]上的连续 函数f（x）一定有最大值和最小值，即[a，b]上 ，（这时f(x),f(x),f(x),f(x)f(x)121一切点x，都有 就称为f（x）在[a，b]上的最小值，就称f(x)2为f（x）在[a，b]上的最大值。） 定理：（介值定理）设f（x）在闭区间[a，b]上连续，m和M分别为f（x）在[a，b]上的最大和最小值。则对于m和M之间的任一实数（即 m0,f(b)<0，则（ab）内必有一点 ,,使得f(,),0?1.3例6 教案序号：5 授课时间 第九周 1 授课学时 2 第二章 导数与微分 ?2.1 导数概念 教学内容 理解导数概念，可导的充要条件；利用导数几何意义求切线（法 线）方程；判断函数在一点处是否可导和连续；利用导数定义教学目的 求导。 与要求 重点导数的概念；左，右导数的概念：导数的几何意义；函 数可导与连续的关系。 教学重点 本节难点：导数概念的理解；可导的充要条件；利用导数几何 与难点 意义求切线（法线）方程；判断函数在一点处是否可导和连续； 利用导； 传统教学手段与多媒体相结合。 教学方法 与手段 习题二 1、2、3、4、5 思考题与 同济大学《高等数学》。 参考书 导数的定义； 导数的几何意义； 可导性与连续的关系：若函数f (x)在点X可导，则它在点x 处必连续。而若函数在该点连续却不一定可导。 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 一、两个引例 首先讨论两个在历史上与导数概念的形成密切相关 的问题。 1、变速直线运动的速度 设动点在时刻t在某一直线上的位置坐标为s，于是该动点的运动规律可由函数s= s (t) 确定。我们要求在某一t时刻的瞬时速度v（t）。 00 在时间段[t,t+t]内，动点经过的路程为00, ,s.于是即为该时间段内动点的,,，,,ssttst()()00,t 平均速度。它并不是t时刻的瞬时速度v（t），但是00 ,s如果时间间隔较短，则有。显然，时间间隔vt(),,t0,t ,s越短，平均速度与瞬时速度v（t）的近似程度就0,t,t ,s越好。也就是说，当t无限缩短时，平均速度就会,,t无限接近于瞬时速度v（t），即 0 sttst()()，,,,s00 vt()limlim,,000,,,,tt,,tt 这样，该极限值就是t时刻的瞬时速度v（t）。 00 2、曲线的切线 设有曲线C及C上一点M，在点M外另取C上一点N做割线MN。当N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN的极限位置为MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线。 设割线MN与X轴的夹角为,切线MT与X轴的夹角为。曲线方程为y=f (x),点M的坐标为(x，y)，点00, N的坐标为。于是，割线MN的斜率为(,)xxyy，,，,00 fxxfx()(，,,）,y00。 ,tan,,,,xx 当点N沿曲线C趋向点M时，就有，割线,,,x0,,,的斜率就会无限接近切线的斜率,又由极限的tan,tan, fxxfx()(，,,）,y00定义，有即为切线,tanlimlim,,,k,,,,xx00,,xx 的斜率。 二、导数的定义 上面所讨论的两个问题，一个是物理问题，一个是 几何问题。但是当我们抛开它们的具体意义而只考虑其fxxfx()(，,,）,y00 limlim,。00,,,,xx中的数量关系时，就会发现本质上完全相同的一个极限,,xx 即因变量的改变量与自变量的改变量之比，当自,y,x变量的改变量趋于0时的极限。这就是导数。 ,x 1、定义：设函数y = f (x)在点x的某个邻域内0有定义，当自变量x在x处取得增量0 时，相应的函数y取得增量,,（点xx+x仍在该邻域内）0 ,,，,,,,,yfxxfxyxxx()();如果与之比当时的极限存在，则称函数y=f(x)000 ,在点x处可导，并称这个极限为函数在点yfx,(),x处的导数，记作y即00x=x0 00fxxfx()(，,,）,ydydfx()x=x0,,00y,,limlim,。也可记做f(x),。xxxx,,000,,,,xx,,xxdxdx 在x点处的导数，称为x点的导数值。 00 2、区间可导和导函数 (1) 如果函数y = f (x) 在某个开区间（a,b）内 每一点x处均可导，则称函数y = f (x)在区间（a,b） 内可导。 (2) 若函数y=f(x)在某一范围内每一点均可导， 则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函 数y =f (x)的导函数，记做dydfx()导函数往,,yfx,(),,。dxdx往简称为导数。 3、左右导数 fxxfx()()，,,,y称左极限00为函数f limlim,。,,,,,,xx00,,xx (x)在x点的左导数，记做。 ,0fx(),0 fxxfx()()，,,,y00称右极限为函数f limlim,。，，,,,,xx00,,xx (x)在x点的右导数，记做 ,0fx()，0 4、可导的充要条件 函数y = f (x)在点x处可导的充要条件是左右0 导数都存在且相等。 2,,f(x),f(3)f(x),x，求。 fxc(), 例2、求的导数。 三、求导举例 n， 例3、求fxxnZ()(),,的导数。 例1、设函数 fxxaa()log(0,1),,, 例4、求的导数。 a x例5、求fxaaa()(0,1),,,的导数。 fxx()sin, 例6、求的导数。 fxx()||, 例7、讨论的可导性。 四、导数的几何意义 函数y = f (x)在处的导数在几何上表示曲,fx()x0 线y = f (x)在处的切线的斜率，即点Mxy(,)00 ,α为切线与x轴正向的夹角。 ,fx()tan,, 根据点斜式直线方程，可得处的切线方程点Mxy(,)00为： ,yyfxxx,,,()()000 相应点处的法线方程为： 1yyxx,,,,() 00,fx()02 (1,1),yx, 例8、求曲线在点处的切线方程和法线方程。 五、函数的可导性与连续性的关系 x可导性与连续的关系：若函数f (x)在点可导，则 xx它在点处必连续。而若函数在该点连续却不一定可 导。 教案序号：6 授课时间 第九周 2 授课学时 2 ?2.2 导数基本

公式

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与运算法则 教学内容 熟练掌握函数的四则运算求导法；复合函数的求导法则；隐函 教学目的 数的导数以及十四个基本初等函数的导数公式。。 与要求 本节重点：函数的四则运算求导法；反函数的求导法则；四个 教学重点 反三角函数的求导公式；复合函数的求导法则；隐函数的导数。 本节难点：函数的积、函数的商的求导法则；复合函数的求导 与难点 计算；隐函数的导数。 启发式和讨论法及其多媒体教学法。 教学方法 与手段 习题二6、7、8、9、10、11 思考题与 同济大学《高等数学》。 参考书 函数和、差、积、商的求导法则； 反函数的导数； 复合函数的求导法则； 课后小结 隐函数的导数。 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 一、函数和、差、积、商的求导法则 设函数u = u (x)、v = v (x)在点x可导，则它 们的和、差、积、商 在点x也可导，并且有 ,,,()uvuv,,, ,,,()uvuvuv,， ,,uuvuv,,(), 2vv 可推广到有限个函数，如 ,,,, ()uvwuvwuvwuvw,，，32y'yxxx,,，,2537例1、，求。 ,,3,,,fxxx()4cossin,，,fxf() ()例2、，求。 23 xy'例3、yexx,，(sincos)，求。 yx,tany'例4、，求。 二、反函数的导数 反函数的求导法则：设函数y = f (x)在点x处有不等 于0的导数,1,并且其反函数在相应点处连,fx()xfy,() 11,1,1续，则存在且有,[()]'()fyfx,,或。 ,[()]fy,1,fxfy'()[()] y,arcsinx例1、求的导数。 y,arctanx例2、求的导数。 三、 复合函数的求导法则 uyfu,()复合函数的求导法则：设在点可导， xux,,()yfx,[()],在点可导，则可导，而且 dydydu,,fux'()'(), dxdudx 30,yy,(1，2x)例1、设，求。 y,cosnx,y例2、设，求。 ,y,lntanxy例3、设，求。 当我们比较熟练后，就可以省略设中间变量的步骤了。 3x,例4、设y，求。 y,e 2x,y例5、设y,sin，求。 21，x 23,y，求。 y,1,2x讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 x,y例7、设ye,lncos()，求。 1sin例6、设,y 例8、设x，求。 ye, ,yfx,(sin2)y例9、设，求。 四、隐函数的导数： （一）隐函数 1．显函数：形如y=f(x) 的函数叫显函数 ，如 ,. yx,sinyx,ln 2．隐函数：由方程表示的函数叫隐函数。 fxy(,)0, 223如： xyxy，,，,,1 , 10 3. 隐函数的显化：将一个隐函数化成显函数，叫 隐函数的显化，如 33 10 , 1xyyx，,,,, 但是，有的隐函数的显化很困难，甚至是不可能的。 4．隐函数求导法则； 0 方程两边对xfxy(,)0,1 '0求导，解的。 y2 xy'例1、 求由所确定的隐函数的导数 。yxeeln0,，,y 22例2、求曲线在（2，2）处的切线方程。 3(1)yxx,， （二） 取对数求导法：对于某些特殊的函数。用取 对数求导法更简便。 1. 幂指函数。如 x' 求 ，显然这个函数既yx,y不是幂函数，也不是指数函数，而是幂指函数。 （1）两边取自然对数： lnlnyxx, 11'（2）两边对x 求导数： yxxx,，,，ln1lnyx ''x（3）解出 ： yyynxxnx,，,，(12)(12) 幂指函数一般形式为： vx() yux,() 2、多个因子的乘积、商的形式：如 2(31)(2)xx，,3 yx,,(1)(21)x, 五、初等函数的导数 教案序号：7 授课时间 第十周1 授课学时 2 ?2.3高阶导数 教学内容 ?2.4函数的微分 掌握函数的高阶导数、函数的微分定义及计算。 教学目的 与要求 重点：高阶导数、函数的微分定义、计算 教学重点 难点：函数的微分定义 与难点 启发式和讨论法及其多媒体教学法。 教学方法 与手段 近似值； 求的近似值 arctan1.031.05 练习：求(1.025),(0.8004), 思考题与 同济大学《高等数学》。 参考书 高阶导数的定义、微分的定义、可微的充要条件（可微与可导 关系）、微分在近似计算中的应用。 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 ?2.3高阶导数 1、高阶导数的定义 二阶导数：函数y = f (x)的导数仍是x的函,,yfx,() 数，函数的导数叫做函数y = f (x)的二阶导数，,,yfx,() 22dyddydy记作，也可理解为 ,,,,,,y或()()yy,,,。22dxdxdxdx依此类推，二阶导数的导数称为f(x)的三阶导数，记,,y 为三阶导数的导数称为f(x)的四阶导数，记为,,,,,,y；y 44，，，，〃〃〃〃〃〃，(n-1)阶导数的导数称为f (x)的nyfx或,，， nn，，，，阶导，记为 yfx或。，， 2、高阶导数的计算 由于高阶导数是在上一阶导数的基础上再次求导。故 求高阶导数时，可逐阶求导，具体方法与前面所学的一阶 导数的计算相同。 例1、yaxb,，y''，求。 Sx,sin,S''例2、，求。 xn例3、求指数函数y,e的阶导数。 ?2.4函数的微分 一、微分的定义：前面我们学习了导数，导数即函数 ,y的变化率，它表示函数相对于自变量变化的快慢程limx,0,x 度。 在微分学中，很多情形下要研究函数的增量y，特 别是当自变量的增量很小时，首先，看下面例子 x 例1 . 设一正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 从变化到, (如图) 求薄片面积的改变量. xxx，00 定义：设函数在某区间内有定义，及在这yfx,()xxx，00 区间内，如果函数的增量 可yfxxfx,，,()()00 以表示为 其中A是不依赖于的常数， xyAxox,，() 而是比高阶的无穷小，则称函数在点xox()yfx,()x0 是可微的，而叫函数y=f(x)在点相应于自变量xAx0 增量的微分，记作 xdyAx,, 3例2．设，求x=1处的微分。 yx, 在点处可微的充分且必要条件是函fx()x0 数f(x)在点处可导，且(函数在一点处可,dyfxx|().,xxx,0二、 可微的充要条件（可微与可导关系）0 0 微分与可导是等价的) 定理：函数 一般地，把自变量增量称为自变量的微分记作dx，x 即，则函数y=f(x)的微分又可以记作：，,dyfxdx,()dxx, dy于是即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等,,fx()dx 于该函数的导数。因此，导数又称为“微商” 例3：求2y在x=1，时的增量及微分dy x,0.1yx, 三、基本初等函数的微分公式和微分运算法则 由微分定义，若要求函数的微分只需计算,dyfxdx,() 函数的导数，再乘以自变量的微分dx, 因此根据导数公式及求导的运算法则，即可得到微分的基本公式和运算法 则，归纳

总结

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如下： 基本初等函数的微分公式 1、函数的和、差、积、商的微分法则 2、复合函数的微分法则 例4．设y=cos求dy x, 四.微分在近似计算中的应用. 在工程问题中，常会遇到一些复杂的计算公式，如果 直接用这些公式进行计算，往往费时费力，而利用微分则 可把一些复杂性的计算公式 用简单的近似公式来代替。 由微分定义 当很小时 ,yfxxx,，()()x0 越小，近似程度越好。 ,yfxxdy,,()xo 上式还可表示为 令 ,fxxfxfxx()(()，,，000 则有： xxx，,0 ,fxfxfxx()()(),，00 特别地当 时： ,fxffx()(0)(0),，x,00 3例1.计算的近似值 1.02 0 例2.计算 ,sin6015 练习：求近似值； 求的近似值 arctan1.031.05 (1.025),(0.8004), 教案序号：8 授课时间 第十周2 授课学时 2 第二章导数与微分总

复习

预应力混凝土预制梁农业生态学考研国际私法笔记专题二标点符号数据的收集与整理

教学内容 掌握函数导数与微分的概念以及各种函数导数、微分的求法。 教学目的 与要求 导数的四则运算、复合函数求导、隐函数求导、函数的微分。 教学重点 与难点 启发式和讨论法及其多媒体教学法。 教学方法 与手段 1、课外补充题；2、习题二 11，12，13，16 思考题与 同济大学《高等数学》。 参考书 导数的四则运算、复合函数求导、隐函数求导、函数的微分 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 121.将一个物体以初速度垂直上抛，经过秒后，物体上升高度为（），求：vtht=vtgt, 002（）物体从时刻到时刻所经过的距离及平均速度1ttthv，,, ；00 （）物体在时刻的瞬时速度；2(t)tv00 （）物体经过多长时间到达最高点；3 （）写出（）的定义域4th. fxgx()(),,,2.(0),(0),(0)(0)lim.已知且，求fagbfg,,,x,0x3、求下列函数的导数: x2,,,yxy（）（）；1lg132lntan （）；22arcsin2x,，,yxy（）；（）；31sin 4e 12)x，x1cos（,,,yxy（）；5ecos4 6 （）；,x1cos1sin32xx,1 8ln（）；y,3,y（）；72 x，122222xaxx11,，（）（）；（）9ln10arctanarctan.yxaxxay,，，，，,，2211，,xx4 ln(,)2.设曲线，该曲线上的点处的切线平行于直线，yxxPxyyx,,00 求点的坐标和过点的切线方程和法线方程。PP 25.4(0)在曲线上求一点使过点的切线在两个坐标轴上的截距相等。yxxPP,,, 讨论下列分段函数在分段点处的连续性和可导性；6. xx,,,,,xx21,1,,1,0fxfx,,； （）； ,,(1) ()2(),xx,xx,e,0,,,1 , 7.()设函数可导，求下列函数的导数；fx 33(1) () 2()fxfx； （）； fx(ln)2（）；34ln (). （）fx xdy8.求下列函数的导数；dx 27(1)cos() 2230 xyxyyxx,，,,,； （）； yxx（）；；3eln1 (4) lnecos yyyxx，,，, 14 xxx，,2(3)35（）516. yxy,，,（）； （）xx(1)， 2,,y(0)y,ln(1，x)9设,求. ,,10.求下列函数的二阶导数：y 1x(1) 2eyy,,；（）； ax，x244（）；（）；3ecos 4sincosyxyxx,,， （）；5lnsin6arctanyxyx,, （）； 2ln（）xy，.（）；7ln8yxyy,，, （） 11 .求下列函数的 n阶导数： 1,x2(1) sin 2.yxy,,； （）1，x 12.d求下列函数的微分：y 12(1) 22tan yxyx,，, ； （） ； x xcosx2(3) 4arctaneyy,,；（） ； 1,x x22（）5esin6arcsin()yyxy,,， ； （） ； x2x52x（）781.yxy,，, ； （） 4 教案序号：9 授课时间 第十一周 1 授课学时 2 第三章 中值定理与导数的应用 教学内容 ?3.1 中值定理 使学生掌握罗尔定理 拉格朗日中值定理的条件 结论 几何意教学目的 义及应用，柯西中值定理 与要求 罗尔定理 拉格朗日中值定理的应用 教学重点 与难点 教学方法 多媒体课件和面授讲解相结合 与手段 P98 1.2.3 思考题与 《高等数学》同济大学 参考书 罗尔定理 拉格朗日中值定理的条件 结论 几何意义及应用，柯 西中值定理 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 一．罗尔定理： 定理：如果函数f（x）满足： （1）在闭区间[a,b]上连续。 （2）在开区间（a,b）内可导。 （3）f(a)=f(b)。 则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得,f()0,, 几何意义：在每点都有切线的一段曲线上，若两端点的 高度相同，则在该曲线上存在一条水平切线。 注：（1）ξ点不一定唯一。 （2）定理的条件是充分的，但非必要的。 例1：不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程,fx()0,有几个实根，并指出它们所 在的区间。 二：拉格朗日中值定理： 定理：如果f(x)满足： （1）在闭区 间[a,b]上连续。 （2）在开区间（a,b）内可导。 则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得 fbfa()(),,,f(),ba, 注：若拉格朗日中值定理满足f(a)=f(b),即为罗尔定理。 ,fxxfxfx()()(),，,,,, 如果令x=a,?x=b-a,则 有 其中ξ介于x 与x+?x之间 ,,x(0,,,1)若ξ=x+则上式为 ,fxxfxfxxx()()()(01)，,,,，,,,,,, 函数在某区间的增量等于此区间内某点的导数乘以自 变量的增量 例2 证明:当 x>0 时， x,ln(1，x),x1，x ,f(x),0, 推论1 设函数f(x)在（a,b）内可导，且 则f(x)在区间（a,b）内是一个常数。 推论2 设函数f(x)和g(x)在（a,b）内可导，且 ,,f(x),g(x),则f(x)和g(x)相差一个常数 fxgxc()(),，c,即 [1,1],例3：证明（1）在上恒有 ,arcsinarccosxx，,2 x（2）对任何实数恒有 ,arctancotxarcx，,2 三．柯西中值定理 fx()()x 定理 如果函数与 F满足： （1） 在闭区间[a,b]上连续 （2） 在开区间(a,b)内可导 ,Fx()在（a,b）内的每一点处均不为零。 ,,则在（a,b）内至少存在一点使得（3） ,ffbfa()()(),,,,FFbFa()()(),, 注：三个中值定理的关系： Fxx(),fafb()(),柯西中值定理,,,,,,,,,拉格朗日定理 罗尔定理 教案序号：10 授课时间 第十一周 2 授课学时 2 ?3.2 洛必塔法则 教学内容 使学生掌握洛必塔法则的适用条件 利用洛必塔法则计算教学目的 未定式的极限 与要求 洛必塔法则应用时的注意事项, 未定式的计算方法 教学重点 与难点 多媒体课件和面授讲解相结合 教学方法 与手段 P98 4 思考题与 《高等数学》同济大学 参考书 掌握洛必塔法则的适用条件 ； 利用洛必塔法则计算未定式的极限。 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 一、洛必塔法则 定理 如果： （1）lim()0fx,lim()0gx,,； xx,xx,00 (2) 与在的某个空心邻域内 ,fx()gx()gx()0,x0 fx() （3）（或）； lim,A,xx,0gx() ,fxfx()() 则 （或） limlim,,A,xxxx,,00,gxgx()() 0 注：上述定理对于时的未定型， x,,0 , 时的未定型均成立。 x,,xx,0, 二、洛必塔法则应用 0,1. 和未定型 0, 3xx,，54 例1、求 lim32x,1221xxx,,， 1cos，x 例2、求 lim2x,,tanx fx'()0, 注：（1）若仍为或型可继续对此极限limxx,00,gx'() 式应用洛必塔法则，由此类推可多次连续使用此法则。 ()nfx'()fx"()fx()==……==…… limlimlim()nxx,xx,xx,00gx'()gx"()0gx()（2）求导过程中要注意化简，也可使用其它求极限的 方法， 如等价无穷小代换等 xx,sin lim30x,x n例3、求x例4、求(n为正整数，λ>0 ) limx,x,，,e （3）每次使用法则前，必须检验是否满足定理条 0,件（即是否为或型未定式）,若不是则不能应用洛0, 必塔法则。 xx,sin例5、 求 limx,，,xx，sin tanxx, 例6、求lim 2x,0xxsin ''f(x)f(x)注（4）当lim不存在时（不是），lim,''g(x)g(x) 仍可能存在（如例5） ,,02．其它未定型：0， ,1,0,,,,,, 0,方法：通过适当变换，化为型。 或0, 0例7、求lim（型） xtanx，x,00 注：写成两个函数之比的形式。 21例8、求（型） ,,,,lim()21x,xx,,11 0,注：通分化为型或型。 0, sinx例9、求limx ，x0, 教案序号：11 授课时间 第十二周 1 授课学时 2 ?3.3 函数的单调性、极值 教学内容 使学生掌握单调性判定定理的条件及结论 求函数单调区间的教学目的 方法 与要求 求函数单调区间的方法 利用判定定理证明不等式 教学重点 与难点 多媒体课件和面授讲解相结合 教学方法 与手段 P99 5.6.7 .8 思考题与 《高等数学》同济大学 参考书 掌握单调性判定定理的条件及结论； 求函数单调区间的方法。 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 1、单调性的概念。 ab,,,fx()若 在上有定义。 xx,xx,fxfx()(),对 121212,, [a,b], 当时，恒有 成立，则称f(x)在[a,b]上的单调增加。 xx,xx,fxfx()(),对 121212,, [a,b]. 当时，恒有 成立，则称f(x)在[a,b]上的单调减少。 2、 判定定理。 定理 设f(x)在[a,b] 上连续，在[a,b]内可导。 '（1），若在[a,b]内 fx()0,,则f(x) 在[a,b]上单调增加。 'fx()0,(2 ), 若在[a,b]内 ,则f(x) 在[a,b]上单调减少。 3yx,例1，计算函数的单调性。 ,fx()注：?当在某区间内仅在个别点处的导数为0 或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区间仍是单增（或单减）的。 x例2 讨论fxex()1,,,的单调性。 注：?当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在 ,,fx()0,fx()且连续,那么只要用的点（驻点）和不存在 ,fx()的点来划分f(x)的定义域，就能保证在各个部分区间上单调。 （单调区间的分界点为驻点和不可导点） 3、 求函数单调区间的步骤： ,fx()（写成乘积形式）。 （1） 确定f(x)的定义域。 ,,fx()0,fx()（3） 求的点和不存在的点，并以这些（2） 求 点为分界点，将定义域分成若干个部分区间。 ,fx()（4） 确定在各部分区间的符号，据判定定理判 定出f(x)的单调性。 例4、 讨论函数 233fxxx(),,2 的单调性。 例5 、 证明： 当x>0时，x>ln(1+x) 教案序号：12 授课时间 第十二周 2 授课学时 2 ?3.4 极值的应用 教学内容 使学生掌握极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极教学目的 值的方法, 曲线的凹凸性与拐点的定义及求法。利用函数的性与要求 质作图。 极值和最值的关系,极值点和驻点 不可导点之间的关系, 求极教学重点 值和最值的方法，求曲线的凹凸性与拐点的定义及求法。 与难点 多媒体课件和面授讲解相结合 教学方法 与手段 P99 9.10.11.12.13 思考题与 《高等数学》同济大学 参考书 极值和最值的关系,极值点和驻点 ； 不可导点之间的关系, 求极值和最值的方法。 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 一、极值及其求法： 1、极值的定义: 定义:设y=f(x)在x某一邻域内有定义,如果对于0 该邻域内异于x的任意点x都有: 0 (1) f(x)< f(x),则称f(x)为f(x)的极大值, x000称为f(x)的极大值点; (2) f(x)> f(x),则称为f(x)为f(x)的极小值, 00 x称为f(x)的极小值点; 0 极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点。 注: (1) 极值是局部概念,极值不一定是最值; (2) 极值不唯一,极大值不一定比极小值大。 2、极值存在的必要条件和充分条件: （1）必要条件 定理 若函数f(x)在x 可导,且在x处取得极值,则00 ,fx()0,0 注：极值点是驻点或不可导点，反之不成立。 （2）极值存在的第一充分条件 定理：设函数 f (x)在点x的某一邻域内可导且0 ,fx()0,0 ,,fx()0,fx()0,00若x< x时，;当x>x时，,则f (x)00 在点x处取得极小值f (x)； 00 时，;当x>x时，，则f (x)fx'()0,fx'()0,00 在点x处取得极大值f (x)； 00 若x< x ,fx()若x从x0的左侧变化到右侧时，不变号，则0 f (x)在x处无极值。 0 注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点 23x 例1、 求yx,,(25)的极值点与极值 （3）第二充分条件 定理：设f (x)在点x 的某邻域内一阶可导，在0 ,,,fx()0,fx()0,x=x00处二阶可导，且,， 0 ,,fx()0, 若0,则f(x)在点x取得极大值； 0 ,,fx()0,x 若00,则f(x)在取得极小值。 32例2、求f(x)=x-3x-9x+5的极值. 二、最大值与最小值 1、设f(x)在(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上必有最值 求最值的方法： ?求f’(x) ?求出f(x)在[a,b]内的所有驻点和不可导点 (i=1,2,…n) xi ?求f(a),f(b),f(xi),其中最大（小）的即为f(x) 在[a,b]上的最大（小）值。 42例3、求y=x-8x+2在[-1,3]上的最值 2、f(x)在某区间内可导且只有一个驻点，根据实际问题的性质知f(x)的最大（小）值一定存在，则在驻点处取得最值。 例4、从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后沿虚线把四边折起来做成一个 无盖的盒子，问要截去多大的小方块，可使盒子的容积 最大？ 例5、一张1.4米高的图片，挂在墙上，它的底边 高于观察者的眼睛1.8米，问观察者应站在据墙多远处看图才清楚，（即视角最大）？ 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 三、曲线的凹凸性及判别法 1、凹凸性定义 若曲线fx()(,)ab在区间内曲线段总位于其上任一 (,)ab点处切线的上方，则称曲线在内是凹的（上凹）；若曲线总位于其上任一点处切线的下方，则称曲线在 (,)ab内是凸的（下凹）。 2、判定定理 fx()(,)ab定理：设在[a,b]上连续，在内具有一阶和 二阶导数，则有 fx''()0,fx()(,)ab(,)ab（1）若在内 ，则在上的 图形是凹的； (,)abfx''()0,fx()(,)ab（2）若在内 ，则在上的图形是凸的。 fxx()arctan,例1、 讨论的凹凸性 3、拐点及其求法。 拐点：凹弧与凸弧的分界点（x0,f(x0)）称为拐点。 注：拐点是fx''()0,fx''()的点或不存在的点，反之 不成立。 求曲线凹向与拐点的步骤： （1）求定义域； （2）求f''(x)（写成乘积形式）； fx''()0,fx''()的点和不存在的点； （4）用上述点将定义域分成若干小区间，考查每个 （3）求 f"(x)小区间上的符号，并判断凹凸性； 0f"(x)（5）若在点x两侧异号，则（x0,f(x0)）是拐点，否则不是。 32yxxx,，,，231214例2、求曲线的拐点。 43yxx,,，341例3、讨论曲线的拐点。 四、函数图形的描绘 （1）确定yfx,()的定义域； （2）求出fxfx'(),''()等零的点和不存在的点，确定 增减区间及极值点、凹凸区间及拐点； （3）确定渐近线； （4）确定特殊点及作图。 例7 、画出函数32的图形。 yxxx,,,，1 教案序号：13 第十三周1 授课 2 授课时间 学时 第四章 不定积分 教学内容 ?4.1 不定积分概念及性质 掌握原函数,不定积分的定义.熟练掌握不定积分的性质和 教学目的 不定积分的公式.能够运用性质和公式求简单的不定积分. 与要求 教学重点 不定积分的定义,性质和公式. 与难点 板书和多媒体课件 教学方法 与手段 思考题与 习题四 1(1)—(5) 2 (1)—(12) 同济大学《高等数学》。 参考书 本次课堂教学讲授了不定积分概念,性质和公式。要求学生 回去后认真思考和练习. 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 第四章 不定积分 ?4.1 不定积分的概念及性质 1、定义1 ：设f(x) 定义在(a,b),如果存在Fx()使得 ,Fxfx()(),dFxfxdx()(),或 则F(x)就是f(x)的一个原函数。 ,Fxx()sin,fxx()cos,(sin)cosxx,如:是的一个原函数.既。 定义2:如果f(x)在(a,b)有原函数F(x),则所有原函数的一般表达式F(x)+c是f(x)的不定积分,记作 fxdxFxc()(),，, 例题1 :求cosx的原函数。因为 因为 ,cossinxdxxc,，(sin)cosxx,，所以 , 2、不定积分性质 ,(())()fxdxfx,, ,fxdxfxc()(),， , fxgxdxfxgxdx()()()(),,,,, cfxdxcfxdx()(),,, 3、基本公式 1nn，1xdxxC,，cdxcxc,，,(1),n，1 (2) x1axdxxc,，lnadxC,，,,(3)xlna (4) xxedxec,，sincosxdxxc,,，,, (6) 1dxtgxc,，cossinxdxxc,，2,cosx,(7)(5) (8) 11dxxc,，arcsindxctgxc,,，,22,(9)1,xsinx (10) ,11dxxc,，arccosdxarctgxc,，,22,1,x(11)1，x (12) secsecxtgxdxxc,，,(13) 15332432(25344xxxdxxxxxc,,，,,,，，,例1232 322sin2coscos2sinxxxdxxxxC，,,,，,，,例23 22sin1cos1xx,2tgxdxdxdxdxtgxxc,,,,,,，1222,,,, 例3coscoscosxxx xxx(3)3eexxx3(3)edxedxcc,,，,，,,例 4 ln31ln3e， 只靠积分性质和积分公式所能解决的积分问题是十分有限的 因此必需 寻找一些手段和方法.其中有四种方法 (1)“十” 项 “－”项法（2）局部带整体（3）换元法（4）分步积分法 下节课待讲 2x2dx思考题 2cosdxtgxdx,,,1，x 教案序号：14 第十三周2 授课 2 授课时间 学时 第四章 不定积分 教学内容 ?4.2 不定积分的换元法 ?4.3分部积分熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法； 教学目的 能够运用其求简单的不定积分。 与要求 不定积分换元法和分部积分法 教学重点 与难点 板书和多媒体课件 教学方法 与手段 思考题与 习题四 2 3 4 5 同济大学《高等数学》。 参考书 本次课堂教学讲授了不定积分换元法和分部积分法。要求学 生回去后认真思考和练习. 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 第四章 ?4.2 不定积分的换元法 1 第一换元法:(变量统一) n例1求()axbdx， , tb,1解法1 : 设x,axbt，,dxdt, aa n111nn，1n，1则有()axbdxtdttC，,,，,，，()axbc ,,aan(1)，an(1)， 11nnn，1解法2: ()()()axbdxaxbdaxaxbc，,，,，， ,,aan(1)，例2 求 sin2xdx , 11解: sin2sin22cos2xdxxdxxc,,， ,,22 1例3: 求dx 22,ax， 1111ax解: dxdarctgc,,，222,,xaxaaaa，21()，a 1122222例4: 求cosxxdxcoscossinxxdxxdxxc,,， 解: ,,,22例5: 求tgxdx , sin1x解: tgxdxdxdxxc,,,,,，coslncos ,,,coscosxx 23例6 求sincosxxdx , 1123222435x解:xxdxxxdxxxdxxc,,,,，，sincossincossinsinsinsinsin ,,,35 2 第二换元法(有根号去根号) sinx2例1: 求dxtdt,2dxxt, 解: 令: ,x sinsinxt则dxtdttcxc,,,，,,，22cos2cos ,,tx 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 1例2: 求 dx,22ax, 解: 令xat,sindxatdt,cos 1coscosatatx则 有 dxdtdttCc,,,，,，arcsin,,,22222,atacosaxaat,sin 2例3: 求1,xdx , 解 令xt,sindxtdt,cos 1cos2，t222则 11sincoscos,,,,xdxttdttdt,dt ,,,,2 111`12,，，,，,，ttcxxxccos2arcsin1 2422 ?4.3分步积分 由导数公式有: ,,,,,,()uvuvuv,，uvuvuv,,() ,,,uvdxuvdxuvdx,,() ,,, udvuvvdu,, ,, 例1:xxdxxdxxxxdxcossinsinsin,,, ,,, ,，，xxxcsincos xxxxxx 例2:xedxxdexeedxxeec,,,,,, ,,, 1111222 例3:xxdxxdxxxxdxlnlnln,,, ,,,222x 2x12,,，lnxxc 24 x112 例4:arctgxdxxartgxdx,,xarctgxdx, = 22,,,1，x21，x 12=xarctgxxc,，，ln(1) 2 211x思考题dxlnxdxdx 1 2 3 4 dx22,,,,xx，,2xx(1)，1，x 教案序号：15 授课时间 第十四周1 授课学时 2 第五章 定积分 ?5.1定积分问题的典型实例 教学内容 ?5.2定积分的概念及性质 掌握定积分的概念与性质。 教学目的 与要求 积分的概念与性质。 教学重点 与难点 启发式和讨论法 教学方法 与手段 思考题与 ,,22已知 sin1xdx,(3sin2)xdx,,,参考书 00，求 同济大学《高等数学》。 积分的概念与性质。 课后小结 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 ?5.1定积分问题的典型实例 一 、 实例: 1、 曲边梯形的面积 . 设y=f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,求以曲线y=f(x)为曲边,底为[a,b]的曲边梯形的面积A.曲边梯形面积可按下述步骤来计算 (1) 任取分点a=X0为常数) 0atlimlim2x0,xx,，,x 2x例4、 证明: 函数,t，当时，单调x,0Fxtedt,，，,0 增加。 二、牛顿—莱布尼兹公式 定理3 设在区间上边续，且是它在该fx()[,]abFx() b区间上的一个原函数，则有。 fxdxFbFa()()(),,,a 上式称为牛顿—莱布尼兹公式。 公式表明：（1）定积分的计算不必用和式的极限， 而是利用不定积分来计算； （2）只要我们求出的一个原函数，在区间两fx()Fx() b端点处的函数值差，就是的值。 FbFa()(),fxdx(),a 12例5、计算 xdx,0 ,11例6、计算 dx,,2x 教案序号：17 授课时间 第十五周1 授课学时 2 ?5.3 定积分的换元法和分部积分法 教学内容 掌握定积分的换元法和分部积分法。教学目的 与要求 定积分的换元法和分部积分法。 教学重点 与难点 启发式和讨论法 教学方法 与手段 课后习题五6、7。同济大学《高等数学》。 思考题与 参考书 定积分的换元法： b,' fxdxfttdt()[()](),,,,,a,课后小结 定积分的分部积分法： bbbbbb 或 udvuvvdu,,[],uvdxuvvudx'',,,,a,,,,aaaaa 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 ?5.3 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 定理：设函数在区间上连续，变换满fx()[,]abxt,,() 足： （1） ,,,,(),(),,ab （2）在区间上，单调且有连续的导数，,()t[,]([,]),,,,或 则有 b,' fxdxfttdt()[()](),,,,,a, 上式称为定积分的换元公式。 3x例1、计算 dx,01，x 2dx例2、求 ,22xx,1 2,1，x3x,0,例3、设 求。 fx(),fxdx(2),,x,1x,0e,, 12,x例4 、 求 xedx,0 二、定积分的分部积分法 设u(x)和v(x)在区间[a,b]上有连续的导数，有 bbbbbb 或 udvuvvdu,,[],uvdxuvvudx'',,,,a,,,,aaaaa上述公式称为定积分的分部积分公式。 , 例5 、求 xxdxcos,0 可见，定积分的分部积分法，本质上是先利用不定积 分的分部积分法求出原函数，再用牛顿—莱布尼兹公式求 得结果，这两者的差别在于定积分经分部积分后，积出部 分就代入上、下限，即积出一步代一步，不必等到最后一 22 xxdxln起代。 ,1 1 x例6、 求定积分 例7、 求定积分 edx,0 三、定积分的几个常用公式 1、 设f(x)在关于原点对称的区间[-a,a],上可积， 则 （1） 当f(x)为奇函数时，a fxdx()0;,,a, aa （2） 当f(x)为偶函数时， fxdxfxdx()2(),,,a,0 例8、 计算下列定积分 ,,x（1）724 （2） sinxdxdx,,,,,,1cos，x24 2、设f(x)是以T为周期的周期函数，且可积，则对 aTT，任一实数a，有 fxdxfxdx()(),,,a0 ,，1例9 、求 sin2xdx,1 教案序号：18 授课时间 第十五周2 授课学时 2 ?5.5 广义积分 ?5.6 定积分的应用 教学内容 掌握广义积分的概念和计算；会利用定积分求平面图形的面积、 平行截面面积为已知的立体体积以及旋转体的体积。 教学目的 与要求 重点：广义积分的计算；平面图形的面积、平行截面面积为已 知的立体体积以及旋转体的体积。 教学重点 难点：平面图形的面积、平行截面面积为已知的立体体积以及 旋转体的体积。 与难点 启发式和讨论法 教学方法 与手段 课后习题10—1第一题。 思考题与 同济大学《高等数学》。 参考书 1、无限区间上的广义积分 2、无界函数的广义积分 3、平面图形的面积 课后小结 4、平行截面面积为已知的立体体积和旋转体体积。 讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 ?5.5 广义积分 一、无限区间上的广义积分 定义1：设函数f(x)在区间（a,+?）内连续，对 tf(t)dt于任意给定的t>a，积分,a都存在，它是t 的函数， tf(x)dxlim,a如果极限t,,，,存在，则称此极限值为函数f(x) ，,f(x)dx,在无限区间[a,+a,]上的广义积分，记为 即： t，,f(x)dxlim,f(x)dxa,t,,，,a= bbf(x)dx,f(x)dxlim,,t,,t类似可定义：,,,, ，,0，,f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx,,,,,,,0 ，,1dx2,,,x例１、求1， ，,1dxp,a例２、讨论广义积分x的收敛性（a>0） 0cosxdx,例３、讨论广义积分,,的收敛性 ，,2x，3dx2,,,例４、求x，2x，2 二、无界函数的广义积分 ,定义2：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，当 x,b tlimf(x)dx,,a时， f(x),,t,b，如果极限存在，则称些极 限为函数f(x)在区间[a,b] 上的广义积分。记作 bf(x)dx,a btf(x)dx,limf(x)dx,,,aa即tb, bbfxdxfxdx()(),lim,,at，ta类似可定义：,, bcbfxdxfxdxfxdx()()(),，,,,aac 注意：无界函数的广义积分，在形式上与定积分没 有区别，计算时注意对它的识别 11dx,02x1, b1dxp,a()bx,例6 、讨论广义积分的收敛性。 例 5、求 ?5.6 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 yfxfxxaxby,,,,,()(()0),,0及1、若由围成平面图 bAfxdx,，，dAfxdx,，，,形，其面积元素a，于是 。 yfxyfxfxfx,,,,()，，，，，，，，12122、设由曲线及直线xaxb,,,围成的平面图形，其面积元素为 bAfxfxdx,,，，dAfxfxdx,,，，，，，，，，，，2121，，,，，a，于是 xyxy,,,,,，，，，ycyd,,,123、设由曲线及直线围成的 dAyydy,,,,，，，，，，21，，平面图形，其面积元素为，于是 dAyydy,,,,，，，，，，21，，, c 22yx,yx,例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积。 2yx,,4yx,2例2 求由抛物线及直线所围成的平面图形的面积。 二、 用定积分求体积 1、平行截面面积为已知的立体体积 设一物体被垂直于某直线的平面所截的平面可求， 则该物体可用微法求体积.不妨设上述直线为x轴，则在x处的截面积A(x)是x的已知连续函数,求该物体介 b A(x)dx,于x=a和x=b（a