函数奇偶性教案

函数奇偶性 精品文档 函数奇偶性教案 1.理解函数的奇偶性及其几何意义; 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质;.学会判断函数的奇偶性; 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性,提出问题 ? 如图所示，观察下列函数的图象，各函数之间的共性. 结论:这两个函数之间的图象都关于y轴对称. ? 那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢,填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征, 表1 表2 结论:这两个函数的解析式都满足:f=f; f=f;f=f. 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f=f. 定义: 1 / 12 精品文档 1(偶函数 一般地，对于函数f的定义域内的任意一个x，都有f?f，那么f就叫做偶函数( 观察函数f=x和f=2(奇函数 一般地，对于函数f的定义域的任意一个x，都有f??f，那么f就叫做奇函数( 注意: 1、如果函数y?f是奇函数或偶函数，我们就说函数y?f具有奇偶性;函数的奇偶性是函数的整体性质; 2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数; 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则(如果一个函数的定义域不关于“0”?x也一定是定义域内的一个自变量对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数; 4、偶函数的图象关于y轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数 且f?f 奇函数的图象关于原点对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 且f=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这 2 / 12 精品文档 种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是 、先求定义域，看是否关于原点对称; 、再判断f??f 或 f?f 是否恒成立; 、作出相应结论. 若f?f或f?f?0,则f是偶函数; 若f??f或f?f?0,则f是奇函数 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质, x 例(判断下列函数的奇偶性 f?x2 x?[?1,2] 为非奇非偶函数 x3?x2 f?为非奇非偶函数 x?1 f?x3?x 奇函数 f?f =x+ x?1 x?1 1 ; 奇函数 x f?奇函数 3 / 12 精品文档 2?|x?2| f?既是奇函数又是偶函数 f?a,a?0为非奇非偶函数 常用结论: . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 1.3.2函数的奇偶性 一(分段函数奇偶性的判断 ?12 x?1??2 例1.判断函数的奇偶性:g?? 1??x2?1??2 解:当x,0时，,x,0，于是 11 g??2?1????g 22 当x,0时，,x,0，于是 g? 4 / 12 精品文档 111 2?1?x2?1????g22 综上可知， g是奇函数( ?x2?2x?3 ? 0练习:1.证明f?? ??x2?2x?3? ，是奇函数. 例2.f为R上的偶函数，且当x?时，f?x，则当x?时， f? 若f是奇函数呢, 二(已知函数的奇偶性求参数值: 例3、已知函数f?x?x?3是偶函数，求实数m的值( 解:?f?x2?x?3是偶函数，?f?f恒成立， 即2??3?x2?x?3恒成立， ?2x?0恒成立，?m?1?0，即m?1( 练习: 2 1. 如果二次函数y?ax?bx?c是偶函数，则b? 2 2 2(已知函数f,ax，bx，3a，b是偶函数，且其定义域为,a,1，2a,，则a= 5 / 12 精品文档 1 b= 0 三(构造奇偶函数求值 例4、已知函数f?x5?ax3?bx?8，若f?10，求f的值。 方法一:由题意得f?5?a3?b?8? f?25?a?23?b?2???，?得f?f??16 ?f?10，?f??26 方法二:构造函数g?f?8，则g?x5?ax3?bx一定是奇函数，又?f?10 ? g?18因此g??1 所以f?8??18，即f??26( 练习 1.已知f,x，ax，bx,5，且f,5，则f, 2.若?，g都是奇函数，f?a??bg?2在上有最大值5， 则f在上有最小值,1 7 5 2011年湖南省古丈县第一中学教学比武教案 函数的奇偶性 授课教师:王明章 一、教学目标: 1.使学生了解奇偶性的概念,会利用定义判断简单函数的奇偶性. 2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法. 6 / 12 精品文档 3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神. 二、了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题。 三、教学重点:函数的奇偶性及其几何意义 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 四、教学方法、教具: 1、教学方法:引导发现，归纳总结法 2、教具:多媒体 教学过程: 复习: 1(增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤; 2(情景引入 新课讲解: 请同学们观察图形，说出函数y?x2和y?x3的图象各有怎样的对称性, y?xy?x 相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特征的, 1(函数奇偶性概念: 7 / 12 精品文档 偶函数的定义:如果对于函数f的定义域内任意一个x,都有f?f,那么f就叫做偶函 数。 奇函数的定义: 如果对于函数f的定义域内任意一个x,都有f??f,那么f就叫做奇函数. 如果函数f是奇函数或偶函数，我们就说函数f具有奇偶性。 2.注意:从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数: 其定义域关于原点对称; f?f或f??f必有一成立。 因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f，看是等于f还是等于?f，然后下结论;若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 函数f?0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f?f也满 足f??f。 一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。 8 / 12 精品文档 奇函数若在x?0时有定义，则f?0( 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f?f?0，f f??1设f，g的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上: 奇?奇=奇 偶?偶=偶 奇×奇=偶偶×偶=偶 奇×偶=奇 典型例题: 例1(判断下列函数的奇偶性: f??2x; f?x?2; f??x2; f?x6?x4?8,x?[?2,2) 解: 奇函数.偶函数. 定义域为[-1,1],关于原点对称，因为f? 非奇非偶 判断函数奇偶性的步骤: ?必须先看定义域是否关于原点对称 ?看f与f的关系 例2(已知函数f?x?ax?bx?8若f?10，求f的值。 解:构造函数g?f?8，则g?x?ax?bx一定是奇函数 又?f?10，? g?18 因此g??1 所以f?8??18，即f??26( 课堂反馈练习 1、判断下列函数的奇偶性: 9 / 12 精品文档 5353?2??x2?f所以是偶函数. f??x,x?[?3,1] f?x? 0x2f? 4?x2? f?x?1 1?x2??x?x,x?0f??2??x?x,x?0 2、函数f?x3?x?a,x?R为奇函数，则a= 五(课时小结: 1.函数奇偶性的定义; 2.判断函数奇偶性的方法; 3.特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导 致结论错误或做无用功。 六、作业布置: 1、《作业手册》 2、能力提升:已知f?x2?x?n?2，当m,n为何值时，f为奇函数。 人教版必修一1.3. 《函数奇偶性》教学设计 白沟新城白沟一中 范艳国011年10月 一(教学任务分析 建立奇偶函数的概念:通过观察一些具体函数的对称性形成奇偶函数的直观认识。然后通过代数运算，验证并发 10 / 12 精品文档 现数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在此基础上建立奇函数的概念。理解函数的奇偶性及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质;学会判断函数的奇偶性. 函数奇偶性的研究历经了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解函数奇偶性概念的形成过程，让学生自主探究。培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想( 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力和认真钻研的数学品质。二(教学重点和难点: 1(重点:函数的奇偶性的定义;函数的奇偶性的判断. 2(难点:归纳并抽象函数的奇偶性的定义，函数奇偶性的判断。 三(教学基本流程 第一步:从观察具体函数图像引入第二步:直观认识奇函数 第三步:定量分析奇函数 第四步:给出奇函数的定义 第五步:说明奇函数的特征 第六步:函数奇偶性的判断方法 第七步:练习、交流、反馈、巩固 第八步:学生归纳小结、教师评价 四(教学情境设计 11 / 12 精品文档 12 / 12