关于凸函数的研究毕业论文

关于凸函数的研究毕业 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业(论文) 毕业论文 关于凸函数的研究 摘 要:凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论和应用( 本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定方法及其应用，得到了凸函数的许多重要性质，给出了凸函数的几个著名不等式(其中包括Jensen不等式、Hadamard不等式以及一些初级不等式)及其应用，并讨论了凸函数在微分以及画函数图像中的应用( 关键词: 凸函数;不等式;应用;性质 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) The study of convex function Abstract: Convex function is an important function. In mathematics theory study it involves a lot of mathematical proposition’s discussion and proof. This article by a convex function definition, the determination of the convex function and its application, get many of the important properties of convex functions, convex functions give several famous inequalities (including Jensen inequality, Hadamard inequality and some elementary inequalities) and its application and discussed the convex function in the differentiation and function of the image in the application of paint. Key words: Convex function; Inequality; Application; Property 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 目 录 第1章 绪论 ...................................................................................................................1 1.1 凸函数研究的背景 ............................................................................................1 1.2 凸函数研究的意义 ............................................................................................1 第2章 凸函数的定义及判定 ........................................................................................2 2.1 凸函数几种常见定义: ....................................................................................2 2.2 定义之间等价性的证明与探讨 .........................................................................4 2.3 凸函数的判定定理 ............................................................................................7 第3章 凸函数的性质 .................................................................................................. 10 3.1 运算性质 ......................................................................................................... 10 3.2 分析性质 ......................................................................................................... 12 3.3 其它性质 ......................................................................................................... 14 第4章 凸函数的应用 .................................................................................................. 15 4.1 凸函数在证明不等式中的应用 .......................................................................15 4.1.1 凸函数基本不等式..................................................................................... 15 4.1.2 Jensen不等式............................................................................................. 15 4.1.3 Hadamard不等式 ....................................................................................... 16 4.1.4 凸函数在一般不等式证明中的应用 .......................................................... 17 4.1.5 凸函数在经典不等式证明中的应用 .......................................................... 19 4.2 凸函数在微分中的应用 .................................................................................. 21 4.3 凸函数在画函数图像上的应用 ....................................................................... 23 4.3.1 利用凸函数画函数图像的基本步骤 .......................................................... 23 4.3.2 凸函数在画函数图像上的实例 ................................................................. 23 结 论 ............................................................................................................................. 26 参考文献 ......................................................................................................................... 27 致 谢 ............................................................................................................................. 28 I 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 第1章 绪论 1.1 凸函数研究的背景 在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进行寻求解决问题的途径(凸函数是一种性质特殊的函数，也是函数中一种应用比较广泛的函数，自21世纪初建立凸函数理论以来，凸函数这一概念已在许多数学分支得到了广泛应用(例如在数学分析，函数论，泛函分析，最优化理论等领域之中得到广泛应用并取得了较好效果)( 凸函数的概念最早见于1905年Jenser的著作中(它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具(在函数图形的描绘和不等式证明推导方面，凸函数也具有十分重要的作用( 1.2 凸函数研究的意义 凸函数的定义最早是由Jenser给出(自建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用(凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用(例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中(应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用(由于凸函数具有较好的几何和代数性质，在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出(数理经济学中，对于风险厌恶的度量，也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了(另外，由于凸函数理论的广泛性，因此对于其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广( 1 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 第2章 凸函数的定义及判定 22fxx,大家都熟悉函数的图像，它的特点是:曲线上任意两点间的弧总yx,，， fxab,在这两点连线的下方(我们可以下这样的定义:设在上有定义，若曲线，，,,yfx,fx在任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数是凸函数( ，，，，上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义 凸函数是十分必要的( 2.1 凸函数几种常见定义: fx定义2.1:设为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点、和任意xx，，12,,0,1的总有 ，， 1fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，，，1212 fx则称为I上的凸函数( ，， 1,,fx若把式中的“”变成“”，则称为I上的凹函数( ，，，， fx定义2.2:设在区间I上有定义，若,，I，总有 xx,，，12 fxfx，，，，，xx，,,12122f, ，，,,22,, fx则称为I上的凸函数( ，， x,xa,,,，,,aa,,0,1 例 指数函数是上的凸函数( ，，，，，， x,xa,aa,,0,1不难验证，恒正的函数满足关系式: ，，，， xx，,,12xx,,,， ,，，，，12,,2,, ,,xx, 由指数函数的单调性可知，当时，必有，再由不等式正数的xx,，，，，1212 xx,,，，，，，12xx,几何平均值小于它们的算术平均值，则有综合上述可得: ,,，，，，122 2 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) xx,,，，，，，xx，,,1212, ,,,22,, x,xa,,,，,,aa,,0,1因此，是上的凸函数( ，，，，，， 凸函数的几何特征 Y A2 B fx A，，1 A x 0 X xx12 fx如上图所示，，是凸函数上的两点，它们对应的坐标分别为 AA，，12 xxx,,Axfx,Axfx,，且，， xx,，，，，，，，，，，1211122212 xxx,，,,,1fxx,,，,101,,,那么存在，使得，于是是图中的A点，而，，，，，，1212 ,,fxfx，,1是图中的B点，B点的位置在A点的上方，也就是 ，，，，，，12 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ( ，，，，，，，，，，1212 Axfx,Axfx,因此凸函数的几何意义就是，其函数上任意两点，之，，，，，，，，111222 间弧段AB位于弦AB的下方( fxn,2定义2.3:设在区间I上有定义，若,，，，I，总有 xxx,，，，，12n fxfxfx，，，xxx，，，，，，，，，,,12n12n3f, ，，,,nn,, fx则称为I上的凸函数( ，， fxfxII定义2.4:设函数在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当:，，，， n in,1,2,,,I且,1，x，x，，x有 ,,0,,，，,12nii,1i 3 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) nn,,4 fxfx,,,，，，，,,iiii,,ii,,11,, fxfx定义2.5:设函数在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当:II，，，， in,1,2,不全为零，，，，，有 ,,Ip,0xxx,，，12ni nn,,pxpfx，，,,iiii,,ii,,11,,5 f,，，nn,,pp,,ii,,,,ii,,11 fxfx定义2.6:设函数在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当:II，，，，，， ，且，有 ,Ixxxxxx,,,123123 fxfxfxfx,,，，，，，，，，21316 ,，，xxxx,,2131 fxfx定义2.7:设函数在区间上有定义，称为上的凸函数，当且仅当:II，，，，，， ，且，有 ,Ixxxxxx,,,123123 1xfx，，111701,xfx ，，，，2221xfx，，33 ,fx上述定义中的“”若改成“”，则称为区间I上的严格凸函数( ,，， 2.2 定义之间等价性的证明与探讨 定理2.1:定义2.2与定义2.3等价( 32,n,2证明:“定义2.3 定义2.2”显然成立，在式中令即得式(只要证明，，，， ,“定义2.2 定义2.3”(采用反向归纳法( 233n,2n,4,1)由式知:当时式成立(现证时成立(事实上，x，x，，，，，，，12 2I，x，由式有 ,，，n 4 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) xx，xx，,,,,xx，xx，3412,,3412ff，，,,,,,,xxxx，，，22,,,,,,221234 ff,,,,,,422,,,, ,, fxfxfxfx，，，，，，，，，，，1234, 4 32 此即式当时成立(一般地，对任意正整数，重复上面方法，应用式n,4k，，，， fxfxfx，，，，，，，xxx，，，k，，,,k121222f,次，可知 k,,kk22,, k3这表明式对一切皆成立( n,2，， xxx，，，12k3 2)(证明式对nk,，1成立时，必对nk,也成立)记，则t,，，k xxxt，，，，12k3，可得(假若式对nk,，1成立，则有 ktxxx,，，，t,，，12k1k， fxfxfxft，，，，xxxt，，，，，，，，，，，，,,12k12kftf,, ，，,,11kk，，,, xxx，，，12kft两边同乘以k，1，减去，最后除以k，又，从而可得: t,，，k fxfxfx，，，xxx，，，，，，，，，,,12k12k f, ,,kk,, 3nk,此即式对也成立(证毕( ，， 定理2.2:定义2.1与定义2.2、2.3等价( 112,证明:1)“定义2.1定义2.2、2.3”(在式中令,,可得式成立，即定，，，，2 义2.1蕴含定义2.2，由定理2.1至定义2.2、2.3等价，故定义2.1也蕴含定义2.3( 1,2)“定义2.2、2.3定义2.1”((若，式显然成立)，不妨,,xxI,xx,，，1212 m,,,0,11mn,,,,,0,1设，，先证式当为有理数(为正整数)时成xx,，，，，，，12n 立(事实上: mxnmx，,,,，，mm,,,,12fxxfxxf,,11 ，,,，,,，，，，,,1212,,,,nnn,,,,,, 5 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) m个个n-mmnm个个,,, ,,fxfxfxfx，，，，，，，，，，，，，xxxx+，，，，11221122 f,,,,nn,, ,, mm,, fxfxfxfx11,,,，,,，,，，，，，，，，，，1212,,nn,, ,,0,1,,0,1 此即为有理数的情形得证(若为无理数，则存在有理数，，，， ,,0,1,,xx，,1a,1,2,使(注意到表示的点均是区间内部的Ilim,,,，，，，，，aa12a,,a fx点，由引理知在这些点处连续，从而 ，， fxxfxxfxx,,,,,,，,,，,,，,1lim1lim1，，，，，，，，，，，，，，121212aaaa,,,,aa ,,0,1对于有理数，利用上面的证明有 ，，a fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，aaaa1212 a,,此式中令取极限并联系上式，有 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 1,,0,1此即式对任意无理数也成立(故定义2.2,2.3也蕴含定义2.1.证毕( ，，，， :定义2.1与定义2.4、2.5 等价( 定理2.3 4,,n,2证明:“定义2.4定义2.1”只要在式中令即得(“定义2.1定义2.4”采，， ,Jensen用数学归纳法可证(定义2.4即为“不等式”)(“定义2.4定义2.5”明显，故 定理2.3得证( 定理2.4:定义2.1与定义2.6、2.7等价( xx,21,定义2.6”，，且，令，则证明:“定义2.1,,xxxI,,xxx,,,,123123xx,31 ,,0,11xxx,，,,,1，且，又由式知: ，，，，，，231 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，3131 xx,xx,3221即 fxfxfx,，，，，，，，213xxxx,,3131 6,,,0,1,此式化简变得式故“定义2.1定义2.6”成立(反之，，,,xxI,，，，，12 6 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 61xxx,，,,,1不妨设，令，则，从而由式并化简可得式xx,xxx,,，，，，，，02112102 67,也成立，故“定义2.6定义2.1”也成立(注意到式与式只是公式的等价变形，，，，， ,所以“定义2.6定义2.7”成立，于是定理得证( 2.3 凸函数的判定定理 ,x利用凸函数的定义判别函数是否为凸函数，常常并不方便(因此需要建立，， 一系列的便于应用的判别法( ,xab,定理2.5:若函数是区间上的递增可积函数，则变动上限积分所定义，，,, xab,的函数是上的一个凸函数( ,,xtdt,,,，，，，,a 证明:设，则 axxb,,,12 xx，12xxx，2,,122,,,,,2xxtdttdt,，,, ，，，，，，，，xx，12,,12,,x12,,2 xx，12xxxxx，,2,,12212,x,,,tdttdt,，,由于是递增的，故 ，，，，，，xx，,,12,,x122,,2 xx，,,12,x从而得，这样，有定义2可知，是凸函数( ,,,xx20,，,，，，，，，12,,2,, ,x定理2.6:设是区间I上的可导函数，则下述论断相互等价: ，， ,x1)是区间I上的凸函数; ，， ,,x2)是区间I上的增函数; ，， ,,,,xxxxx,，,I3)对区间上的任意两点xx,，有; ，，，，，，，，2112112 xx,,hI证明:1)2)在区间上的任意两点xx,，对充分小的正数，由于，，1212 ，则由定义2.6可知 xhxxxh,,,,，1122 ,,,,,,xxhxxxhx,,,，,，，，，，，，，，，，，112122 ,, hxxh,21 ，,xI因是区间上的可导函数，令时可得 h,0，， 7 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) ,,xx,，，，，21,, xx,,,,，，，，12xx,21,,x所以是区间上的增函数( I，， ,xx,,x,2)3)在以为端点的区间上，用拉格朗日中值定理和是区xx,，，，，1212 ,,,,,,,xxxxxxx,,,,,间上的增函数得: I，，，，，，，，，，，，2121121 ,,,,xxxxx,，,移项后得，且当时仍可得到相同的结论( xx,，，，，，，，，2112112 xx,01,,,xxx,，,,,1,3)1)任取区间上的任意两点,，Ixx,，，，，，，1231212 xxxx,,,,1,xxxx,,,,由3)并利用与得: ，，，，，，13122321 ,,,,,,,,xxxxxxxxx,，,,，,,1 ，，，，，，，，，，，，，，，，133133312 ,,,,,,,,xxxxxxxxx,，,,，, ，，，，，，，，，，，，，，233233321 分别用,和1,,乘上述两式并相加(便得 ,,,,,,,,xxxxx，,,,，,11 ，，，，，，，，，，，，12312 ,x是区间I上的凸函数( ，， ,,,x,x定理2.7:若在区间I上存在，则在I上成为凸函数的充分必要条件是:，，，，,,,x,0在I上( ，， xx,xx，1212,x,h,t证明:必要性，已知为凸函数，令，，并设因而xx,，，1222 ,,，，,thth，，，，,,,ththt，，,,,20,th,0，这样就有，即(用反证,，，，，，，，，2 ,,,tutu，，,，，，，,,,,,t,0t,lim,,0h,0法，假设，由可知，存在，，使得,，，，，u,02u ,,0,,uh,,,tutuu，,,,, ，，，，，， d,,,,,,,tututtutu2另外，从，，，，,,,，,,知 ，，，，，，，，，，，，du ,,,tutut，，,,2uu,00是的减函数(但这函数当时等于( ，，，，，， ,,,x,0,,,tutut，，,,,20因此，(这与结论矛盾，因而 ，，，，，，，， 8 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 充分性，两次应用中值定理有 Lagrange ,01,,,,,,,htxhxh，,，， ，，，，，，，， ,,,,,,01,,,,,,,,,,,，,，，hxhxh及 ， ，，，，，，，， 2,,,,,,,,,,,xhxhxhxh，,，，，从而 ，，，，，，，， ,,,,x,0,,,xhxhx，,，再由 得 ( ，，，，，，，， xx，xx，1212x,x,在上式中，令，及，得 xhx，,xhx，,1222 xxxxxxxx，,，,,,,,,,,,12121221,,xxxx， ,,,,,,,，,，，，，，，，，，12,,,,,,,,2222,,,,,,,, xx，,,12,x(故为凸函数(证毕( 两式相加得,,,xx20,，,，，，，，，12,,2,, 1,,,xxx,ln0,，,x,0例 函数在内是凸函数，因为,,,( x0，，，，，，，，x ,,,,,x,x,0,x定理2.8: 若在区间上存在，，则在区间上是严格凸函II，，，，，， 数( 9 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 第3章 凸函数的性质 3.1 运算性质 fxgxab,ab,性质1:若函数和均为上的凸函数，则函数fxgx，也为，，，，,,,,，，，，的凸函数( fxgxab,，是凸函数，有定义可得，若对区间上任意两点和证明:因xx,，，，，,,12 ,,0,1正数总有 ，， gxxgxgx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 fxgxhxhxx，,,，,,,1则 ，，，，，，，，，，12 ,，,，，,,,,,fxfxgxgx11 ，，，，，，，，，，，，1212 ,，，,，,,，，，，fxgxfxgx1 ，，，，，，，，，，1122，，，， ,，,,,hxhx1 ，，，，，，12 fxgx，即为凸函数。 ，，，， fxab,ab,kfx性质2:若函数k为上的凸函数，为正常则函数也为上的，，,,,,，，凸函数( fxab,证明:因是凸函数，由定义知，若对区间上任意两点和正数xx,，，,,12,,0,1总有 ，， fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 k在上式两边同时乘以正常得: ，，kfxxkfxfx,,,,，,,，,11，， ，，，，，，，，，，1212，，，， kfx故也为凸函数。 ，， fxgxab,推论1:若函数和均为上的凸函数，则线性组合的函数，，，，,, kk,0,kfxkgx， ，，，，，，1212 10 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) ab,为上的凸函数( ,, fxgxab,性质3: 若函数和均为上的凸函数，则函数 ，，，，,, hxfxgx,max, ，，，，，，,,ab,为上的凸函数( ,, fxgxab,,,0,1证明:因为，是凸函数，即对内任意两点和正数总xx,，，，，，，,,12有 fxxfxfxhxhx,,,,,,，,,，,,，,111 ，，，，，，，，，，，，，，，，121212 gxxgxgxhxhx,,,,,,，,,，,,，,111 ，，，，，，，，，，，，，，，，121212 从而有 hxxfxxgxx,,,,,,，,,，,，,1max1,1，，，，，，，，，，，，,,121212 ,，,,,hxhx1 ，，，，，，12 ab,hxfxgx,max,所以为上凸函数 ，，，，，，,,,, ,uufx,性质4: 若函数是单调递增的凸函数，函数也是单调递增的凸函，，，， ,，，fx数，则复合函数也是凸函数( ，，，， ,uufx,证明:因为函数是单调递增的凸函数，函数也是单调递增的凸函，，，，数(故 ,,,,,,,u,0,u,0ux,0ux,0 ，，， ，，，，，，，， ,,,,,,,,,,,xuuxuux,，又 ，，，，，，，，，， ,,,x,0,，，fx所以 ，既证函数是凸函数( ，，，，，， fxgxab,性质5:若函数与都是上的非负单调递增的凸函数，则函数，，，，,, hxfxgx,也是其上的凸函数( ，，，，，， fxgxab,证明:因为函数与在区间上是非负单调递增(则 ，，，，,, ,,0,1,,xxab,,, 且和有 xx,，，，，1212 ，，，，fxfxgxgx,,,0 ，，，，，，，，1221，，，， 11 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) fxgxfxgxfxgxfxgx，,， ，，，，，，，，，，，，，，，，12211122 fxgxab, 又因为函数与在区间上是凸函数( ，，，，,, 1 所以 fxxfxfx，，,,,,，,,，,11 ， ，，，，，，，，，，2121，， 2 gxxgxgx，，,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，2121，， fx,0gx,012又因为，(将上述两式与相乘得 ，，，，，，，， fxxgxx，，，，,,,,，,，,11 ，，，，2121，，，， 22,，,，，,,,,,fxgxfxgxfxgxfxgx11，， ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，22122111，， hxfxgx,ab,既证 在区间上是凸函数( ，，，，，，,, 1fxfx,0性质6:若函数为区间上的凹函数，，则函数为区间上II，，，，fx，， 的凸函数，反之不真( 1,,0,1证明:要证为区间上的凸函数，即证明任意，，有IRxx,，，12fx，， 11,,,fx,0，因为，为凹函数(故有 ,，，，fxfxfxx，,1，，，，，，,,，，1212 fxxfxfx,,,,，,,，,11 ，，，，，，，，，，1212 11,所以: ,,，,,,fxfx1，,fxx1，，，，，，，，，，1212 11,,,只需证明: ， ,，fxfxfxfx，,1,,，，，，，，，，，，1212 11,,,22fxfyfxfy，,2由于，故,，成立，结论，，，，，，，，fxfxfxx，,1，，，，，，,,，，1212 得证( 3.2 分析性质 fxfxII性质7:若函数是定义在区间上的凸函数，则在内的任意有限闭，，，，子区间上有界( 12 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) ab,,,xab, 证明:设是内的任意有限闭子区间，则对，存在，使01,,,I,,,, xab,，,,,1得，由凸函数的定义知: ，， fxfabfafbfafb,，,,，,,,,,,11max, ，，，，，，，，，，，，，，，，,, fxab,因此在上有上界，设其上界是( M，，,, fxab, 再证在上有下界: ，，,, 1xab,, 对任意的，令，则 txab,,，,,，，2 ababab，,，，,11,,,,,, fftt,，，,,,,,,,,,22222,,,,,,,, 111abab，，,,,, ,，，,,，ftftfxM，，，，,,,,22222,,,, ab，ab，,,,,所以，记( fxfM,,2mfM,,2，，,,,,22,,,, mfxMxabI,,,,,, 综合上述， ，，,, fx 性质8:若函数是定义在区间上的凸函数，则对任意的，且IxxxI,,,，，123 fxfxfxfxfxfx,,,，，，，，，，，，，，，213132，有 xxx,,,,123xxxxxx,,,213132 xxxx,,3221fxxxx,，,,,1证明:令，则，由的凸性可知 ,,,1,,,，，，，213xxxx,,3131 fxfxxfxfx,，,,，,，，,,,,11 ，，，，，，，，，，21313，， fxfxfxfxfxfxfx,,，,,,,,,,,11，，从而有 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，2113131，， fxfxfxfxfxfxfx,,,,,，,,,,,1，， ，，，，，，，，，，，，，，，，3213331，， fxfxfxfx,,，，，，，，，，xx,213121即 fxfxfxfx,,,,,，，，，，，，，，，2131，，xxxxxx,,,312131 fxfxfxfx,,xx,，，，，，，，，323132 fxfxfxfx,,,,, ，，，，，，，，，，3231，，xxxxxx,,,313231 13 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) fxfxfxfxfxfx,,,，，，，，，，，，，，，213132所以 ,,xxxxxx,,,213132 fxfx 性质9:若函数是定义在区间上的凸函数，则在区间内连续( II，，，， abI,,xab,,证明:对任意的，都存在闭区间，使得，令xI,,,,, ,,,,xxabxmin,，由性质8知: ,, fxfafbfx,,，，，，，，，，,,，,,,,xfxxfxx，有 当,,x0，，，，xabx,, fbfxfbxfa,,，，，，，，，，,,，,,,,xfxxfxx当，有 ,,x0，，，，bxxa,, ,,fxfafbfx,,，，，，，，，，,,因而有 fxxfxx，,,,,,max,，，，，,,xabx,,,,,, 再由性质7可知，上式右端是有下界变量(因此，当,,x0时，有 fxfxfxxfx，,,,0xx，所以在点连续，由的任意性可知，在区间内I，，，，，，，， 连续( 3.3 其它性质 fx性质10:若函数是定义在区间I上的凸函数，则有: ，， ,,,,fxfxfxfxfx, 1) 函数 在I内处处存在左、右导数与，且( ，，，，，，，，，，,，,， ,,fxfxx2)与都是的不减函数( ，，，，,， fxfxI性质11:设函数为区间上的严格下凸函数，若有是的极小值xI,，，，，0 fxI点，则x是在上唯一的极小值点( ，，0 fxab,xx,ab,x性质12:是上二阶可导的凸函数，是上任一子区间，是，，,,,,,,12 xxxx,,21xx,区间上任一点，则 fxfxfx,，,,，，，，，，1212xxxx,,1221 14 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 第4章 凸函数的应用 4.1 凸函数在证明不等式中的应用 在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙(证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数( 4.1.1 凸函数基本不等式 fx设是内的凸函数，则对内的任意一组值，，，，必有不等式: IIxxx，，12n fxfxfx，，，xxx，，，，，，，，，,,12n12n f,,,nn,, 当仅当时等号成立( xxx,,,12n 4.1.2 Jensen不等式 Jensen不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷( fxJensen不等式 设是I内的凸函数，则对I内的,，且 p,0，，i in,1,2,,不全为零，,，，，I有 pxxx,，，i12n pfxpfxpfx，，，,,，，，，，，pxpxpx，，，1122nn1122nn f,,,pppppp，，，，，，1212nn,, 当仅当时等号成立( xxx,,,12n fx,xpxab,Jensen不等式的积分形式 设是I内的凸函数，而与是上，，，，，，,, b的连续函数，，则成立 pxpxdx,,0,0，，，，,a bb,,pxxdxpxfxdx,,，，，，，，，，，，,,aa,, f,bb,,,,pxdxpxdx，，，，,,,,aa fxab,例1 若为上的正连续函数，则 ，，,, bb11,, fxdxfxdx, lnln，，，，,,,,aababa,,,, 15 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) fxab,px,1证明:考虑到函数是凹函数，为上的正连续函数(当设(根lnu，，，，,, 据Jensen不等式的积分形式立得: bb,,fxdxfxdxln，，，，,,aa,, ln,bb,,,,dxdx,,aa,, bb11,,整理可得: ( fxdxfxdx,lnln，，，，,,,,aababa,,,,apin,,,0,0,1,2,,例2 若，则 ，，ii n pa,iinn,1i lnln, papaa,,iiiiinii,,11p,i,1i 1,,fxxxx,,ln0fx证明:设，因，故是凸函数(由Jensen不fx,,0，，，，，，，，x nnn papapaaln,,,iiiiiii,,,111iii,等式有: lnnnn ppp,,,iii,,,111iii n pa,iinnn,1ilnln,两边同乘以立得: papaa p,,,iiiiiinii,,11i,1p,i,1i 4.1.3 Hadamard不等式 fxab,设是区间上的凸函数，则对于，有 axxb,,,，，,,12 xxx，112,,12 ffxdxfxfx,,，，，，，，，，，12,,,x122xx,,,21 x2fxab,fxdx证明:由于是区间上的凸函数，所以存在(且当，，,,，，,x1 xx，xx，，，，，1212xx,,时，xxxx，,,,，故 2121,,,,22，，，， xxxxxx，，，,1,,,,1212 fffxxxfx,,，,，，，，，，，12,,,,222,,,, 16 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) xx，,,12即 : fxxxfxf，,，,，，，，,,122,, xx，12xx222fxdxfxdxfxdx,，又因 : ，，，，，，xx，12,,,xx112令，得: xxxu,，,12 xxxx，，1212x222fxdxfxxudufxxxdx,,，,,，, ，，，，，，xx，121212,,,xx112故: xxxxxxx，，222,,,,1212 2fxdxfxxxfxdxfdxxxf,，,，,,,，，，，，，，，，，，，xxxx1221,,,,1212，，,,,x122,,,,22 xxx，12,,12从而: ffxdx,，，,,,x12xx,,,21 xx,2作变换，则有 t,xx,21 x012 fxdxftxtxxxdtxxftxtxdt,，,,,,，,，，，，11 ，，，，，，，，，，12122112，，，，,,,x101 1fxfx，，，，，12,,，,,,xxtfxtfxdtxx，，1 ，，，，，，，，，，211221，，,02 x112从而 fxdxfxfx,，，，，，，，，，12,x1xx,221 xxx，112,,12综合以上可知: ffxdxfxfx,,，，，，，，，，，12,,,x122xx,,,21 4.1.4 凸函数在一般不等式证明中的应用 acbabc，，,1例1 设，，为正数，且，证明 abc，，,3b 11x,0x,0,,证明:令fxx,, (则 fx,,,0，，，，，，，，34x x,0fxx,,因此，在上是凸函数，则有 ，，，， fafbfc，，，，，，，，abc，，,,,f ,,33,, 17 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) abcabc，，，， 即 ,,, 33 1 故 abc，，,,,333 abc，，abc3例2 证明不等式，其中a，，c均为正数( babcabc,，， fxfxxx,ln证明:设，(由于的一阶和二阶导数 x,0，，，， 1,,,fxx,，1ln ， fx,，，，，x fxxx,ln可见，在时为严格凸函数，根据Jensen不等式有: x,0，， fafbfc，，，，，，，，abc，，,,f, ,,33,, abcabcaabbcc，，，，，，lnlnln从而 ln,333 abc，，abc，，,,abc即 ,abc,,3,, abc，，3abc,又因为 ，所以 3 abc，，abc3 ( abcabc,，， ,1cos21cos2,，xx,,sincos2xx，,例3 设，证明 x0,,，，，，,,2,, 22sincosxxx22fxx,0,,证明:先将原不等式化为sincos2xx，,，因为为上，，，，，，，， fafb，，，，，ab，,,22f,a,0b,0的凸函数，故当，时，有令，则 ax,sinbx,cos,,22,, 1222,,abxx，，sincos112,,,,,, fff,,,,,,,,,,,,22222,,,,,,,, 22sincosxx22sincosxx，，，，，fafb，，，，，而 ,22 22sincosxx22sincos2xx，,所以 ，，，， 1cos21cos2,，xxsincos2xx，,即 ( ，，，， 18 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) x2fxx,这道题目用初等知识比较困难，但通过构造凸函数巧妙地令，ax,sin，， 2，更可能方便的得证( bx,cos 4.1.5 凸函数在经典不等式证明中的应用 在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算数平均值， 算术平均值不大于均方根平均值(而证明数学归纳法，其实，这些不等式可以在凸函 数框架下统一证明( 注释: n x,i，，，xxx121ni,算术平均值: ,,xnn nnnx,0几何平均值: xxxxx,,,,,，，i,12ni,i1 222nxxx，，，1212n均方根平均值: xx,,,inn,i1 n调和平均值: x, 111，，，xxx12n ,n例1 设，1，2，，，证明: a,0ii aaa，，，n12nn ,,aaa12n111n，，，aaa12n 1,,x,,0,fxx,,lnfxx,,ln证明:设，,，有，从而，函数fx,,0，，，，，，，，2x0,,在是严格凸函数，取 ，， 1xa,,,0,,nq,12，，，，，， qqq，，，,1i，，iii12nn aalnaaaalnln,,nn1212 有 ,，，，,,,,,ln,,nnnnnn,, 111,,aaa,,n12nnnn 即 lnlnlnlnln,，，，,,，，，,,aaaaaa,,nn1212,,nnn,,,, aaan12n 即 aaa,，，，12nnnn 19 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 11, 取 ，，，，，，n， q,12qqq，，，,1ix,,,0,，，i12ninai nn 同样方法，有 ,aaa12n111，，，aaa12n aaa，，，n，12nn 于是，，有( ,,,aaanN,12n111n，，，aaa12n ， 例2 证明，，，，有 ,xxx,p,1R12n 1pppp,,xxxxxx，，，，，，1212nn , ,,nn,, 上式称为算术平均不大于次平均，特别地，当时，得到算术平均pp,2p,1，， 值不大于均方根平均值( pp,2,,fxx,p,1fxppx,,,10证明:考察函数，由于有，,,x0，所，，，，，，，， pfxx,p,1以为凸函数( ，，，， n，,0,1从而 ，，，，，，，， ,xxx,,,,,,1,R，，,12n12ni,1i pppp,,,,,,xxxxxx，，，,，，，有 ，，11221122nnnn 1在上式中，令,,,,,,, 12nn 1pppp,,xxxxxx，，，，，，1212nn,即得 ,,nn,, 11，,1a,0b,0,,0例3 若，，，，且，求证:不等式 p,0q,0Youngpq pq,ab ,，abqppq, 证明:从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，可 对它进行一定的变形(不妨在不等式两边同取自然对数，则有 20 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) ,,pq,ab,, lnlnab,，，，q,,pp,,q,,, x,0fxx,,ln由此很容易找到合适的凸函数，考察函数，因为，，，， 111,,fx，,1(因此函数在时为凸函数，又有，， ，x,0fx,,0p,0q,0，，，，2pqx 所以 pq,,1111pq,,,,,,,,,ab11,,pppp lnlnlnlnlnlnababab,，,,,,,,,,,,,,，，,,,,,,,,q,,,,,,,,,,ppqp,,,,,,,,,,q,,, ,,pq,ab,,lnln于是 ab,， ，，q,,pp,,q,,, pq,ab即 ,，abqppq, 特别地，当,,1，时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等pq,,2 式( 4.2 凸函数在微分中的应用 我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和Lipschitz性质( fxfx例1 设函数在区间I上为凸函数，试证:在I上任一闭子区间上有，，，，界( abI,,证明: 设为任一闭子区间: ,, xa,fxab,,,xab,xba,，,,,1,0,11)(证明在上有上界)，取， ,,，，，，,,,,,,ba, fx因为凸函数，所以 ，， fxfbafbfaMMM,，,,，,,，,,，，,,,,,,111 ，，，，，，，，，，，，，， ab,Mfafb,max,M其中，故在上有上界( ，，，，,,,, ab，fxab,,,xab,2)(证明在上有下界)记c,为的中点，则，有关ab,，，,,,,2 21 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) ,fxfx，，，，，11,fxfcfxM,,，于的对称点，因为凸函数，所以 cx，，，，，，222 fxab,fxfcMm,,,2从而， 即m为在上的下界( ，，，，，，,, fxab,fx例2 设函数为区间内的凸函数，试证:在上的任一内区间I，，，，，，,,,,,ab上满足Lipschitz条件( ,,,, fx,,,证明:要证明在区间上满足条件，即要证明:，使得 ，,L0Lipschitz，，,, 1,,xx,,,,有fxfxLxx,,, ，，,,，，，，121212 ,,,，,hhab,,,,,,,ab因为，故可取充分小，使得与此h,0，，,,,,,,,,xx,,,,，若，取(由凸性，xx,xxh,，,,121232 fxfxfxfx,,，，，，，，，，Mm,2132fx,,,，hh,(其中分别表示在上,,Mm,，，,,xxxxh,,2132 Mm,2的上下界)，从而 fxfxxx,,,，，，，，，2121h fxfxfxfx,,，，，，，，，，2312fx若，可取，由的凸性，有，xx,xxh,,,，，1232xxxx,,2312 fxfxfxfx,,，，，，，，，，Mm,21322从而由此可得成立( ,,，，xxxxh,,2132 22xx,,,,,若，则式明显成立，这就证明了式对一切皆成立，因xx,，，，，,,1212 Mm,2此式当与互换位置也成立，故有，令xxfxfxxx,,,，，，，，，212112h Mm,1，则式也获证( L,，，h fxab,limfx例3 设函数为区间内的凸函数，并且有界，试证极限与，，，，，，，xa,limfx存在( ，，,xb, xab,,fxM,ab,fx证明:设时，xxx,,为内的任意三点，根据的，，，，，，，，10 fxfx,，，，，0x凸性，当递增时也递增(又因为 xx,0 22 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) fxfxMfx,,，，，，，，00,,,xxx( ,，，10xxxx,,010 fxfx,，，，，0根据单调有界原理，有极限 ( lim,Axb,,0xx,0 fxfx,，，，，，，0从而亦存在(类limlimfxxxfxAbxfx,,，,,，，，，，，，，，，，,,0000,,xbxb,,xx,0，， limfx似可证的存在( ，，，xa, 4.3 凸函数在画函数图像上的应用 4.3.1 利用凸函数画函数图像的基本步骤 yfx,1)、考察自身: ，， 1确定定义域，讨论其大范围特性(奇偶、对称与周期性)( ，， 2fx寻求的零点、不连续点以及渐近线( ，，，， ,,,fxfx2)、考察和: ，，，， ,,1fxfx,0寻求稳定点以及导数不存在的点，判定的符号，用以确定，，，，，，，， fx的增减区间与极值点(同时计算极值)( ，， ,,,,2fxfxfx寻求的零点二阶导数不存在的点，判定的符号，用以确定图，，，，，，，， 形的凸性区域和拐点( 3)、列表并画图( 4.3.2 凸函数在画函数图像上的实例 11例1 作曲线fx,,的图形( ，，2xx 1,xx,0解: 1)因在处无定义，且有 fx,，，2x 1,x limlim,lim0fxfx,,，,,，，，，2xxx,,,,,00x x,0即直线是该曲线的垂直渐近线，直线是该曲线的水平渐近线:且y,0f10,( ，， 23 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) xx,,262,,,2)令，有及使导数无意义( x,0fxfx,,,,0,0xx,,2,3，，，，34xx 3)列表、画图 2 1 3 0,11,22,33,，,,,,o ，，，，，，，，，， + - - - 0 + + + ,fx ，， + + + + + + 0 - ,,fx ，， 12 0 fx ,,，，49 Y 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-112345 X -1 -2 -3 -4 -5 11 曲线的图形 fx,,，，2xx 2223,xat,cos333a,0例2 作由方程或给出的曲线图形( xya，,，，,3yat,sin, t2,0解:1)考察函数本身，可知它具有周期性，周期为(从而只需讨论从变 ,,aa,t2,t,0,到即可(此时的取值范围为且有:时;时xy,xay,,,0,,2 3t,,t,,;时;时;曲线无渐近线( xya,,0,xay,,,,0xya,,,0,2 2dydy1,,,tan,t2)对其求一阶、二阶导数得: 24dxdxasostt3sin 2dydydydyt,,,0在时，且有;使无意义( t,0,,2,,lim,lim,,,,2,,3dxdxdxdxtt,,22 24 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 3)列表、画图 ,3 , 0 ,,,33,,,,,,,, 0,,,,,,,,2,22,,,,,,,,2222,,,,,,,, dy 0 0 - - + + ,, dx 2 + + - - dy 2dx x a ,a 0 0a,00,,a,a,00,a ，，，，，，，， y a ,a 00 Y 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-112345a X -1 -2 -3 -4 -5 3,xat,cosa,0 方程的曲线图形 ，，,3yat,sin, 25 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 结 论 本文对凸函数这一概念给出了不同形式的定义，对凸函数几种定义的等价性给予证明，并给出了凸函数的性质，探讨了几种凸函数的判定方法，并给出了有关凸函数的简单应用:应用凸函数的概念性质来证明几个重要且常用的不等式及凸函数的在证明不等式中的应用，运用它解题显得巧妙、简练(利用凸函数的定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的;此外，本文还研究了凸函数在微分以及画函数图像中的应用( 26 关于凸函数的研究 西安石油大学本科毕业设计(论文) 参考文献 [1] 白景华 凸函数的性质、等价定义及应用[J] 开封大学学报，2003( [2] 段 峰 凸函数的定义和性质[J] 和田师范专科学院学报，2008( [3] 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法[M] 北京:高等教育出版社 2006( [4] 华东师范大学数学系 数学分析:上册[M] 北京:高等教育出版社 2001( [5] 周雪艳、张喜善 凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J] 山西财经大学 学报，2006( [6] 张彦红 凸函数在不等式中的证明[J] 甘肃河西学院学报 2010( [7] 尚亚东、游淑军 凸函数及其在不等式证明中的应用[J] 广州大学学报 2005( [8] Mi Zhou, Yong Wang, Xiaolan Liu, Qiang Bai. 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