电磁场与电磁波计算题解

电磁场与电磁波计算题解 电磁场与电磁波计算题题解 例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为: ,1.52 J,a10rA/mcr 求:? 通过半径r=1mm的球面的电流值。 ? 在r=1mm的球面上电荷密度的增加率。 ? 在r=1mm的球内总电荷的增加率。 2,,1.52,,,,I,J,ds,10rrsindddr,1mmc,,,00解:? 0.5,40,rr,1mm,3.97A 1d2,1.5,2.5? 因为 ,,J,(r10r),5rc2drr 由电流连续性方程，得到: ,,,,83 ,,,J,1.58，10A/mcr,1mmr,1mm,t ? 在r=1mm的球内总电荷的增加率 d, ,,I,,3.97Adt 例2 在无源的自由空间中，已知磁场强度 ,59H,a2.63，10cos(3，10t,10z)A/m y 求位移电流密度。 Jd 解:由于，麦克斯韦第一方程成为 J,0c ,D ,，H,,t ,D? J,,,，Hd,t aaaxyz ,,, ,,x,y,z 0H0y ,Hy4,92,a,,a2.63，10sin(3，10t,10z)A/m xx,z 例3 在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度 ,29 E,a10sin(6.28，10，,20.9z)v/my 求空间任一点的磁感强度。 B 解:由麦克斯韦第二方程 aaaxyz ,E,B,,,y ,a,,,,,，Ex,z,x,y,z,t 0E0y ,29 ,,a20.9，10cos(6.28，10t,20.9z)x 将上式对时间t积分，若不考虑静态场，则有 ,B,29 B,dt,,a20.9，10cos(6.28，10t,20.9z)x,,,t ,119 dt,,a3.33，10sin(6.28，10t,20.9z)Tx 例4 已知自由空间中，电场强度达式为 ;求磁场强度的H表达式。 E,acos(wt,,z)x ,B解: 第二方程 ,，E,,,t 且在自由空间中 H,,,B ,H111,? ,,a,sin(wt,,z),,,，E,,(aE)yxy,,,t,z,000 ,,H,,asin(wt,z)dty,,0? ,,acos(wt,,z)yw,0 上式积分的常数项对时间是恒定的量，在时变场中一般取这种 与t无关的恒定分量为0。 例5 有一个广播电台在某处的磁感应强度为 8B,0.2,cos[2.1(3，10t,x)],aA/m 媒介为空气， 0z 求该处的位移电流密度。 ,D J,解:在该处无传导电流 d,t ,D ,，B,,J,,00d ,t 1J,,，B? d,0 ,8在直角坐标系中: B,0.2,cos[2.1(3，10t,x)]z0 aaaxyz ,,, ,，B,,x,y,z BBBxyz ,B,B,B,B,B,Byyxxzz(,)a，(,)a，(,)a = xyz,y,z,z,x,x,y ? ,B11z1,8()a,J,,，By==0.2,sin2.1(3，10t,x)(,2.1x) d0x,,,,000 例6 同轴电缆的内导体外半径a=1mm，外导体内半径b=4mm，内外 导体之间是空气介质，且电场强度为 1008E,cos(10t,az)aV/mr r ? 用麦克斯韦方程求а。? 求磁感应强度。 B ? 求内导体表面电荷密度。? 求长度 0?z?1 m中总的位,s 移电流。 ,B解: ,，E,,,t aarza,rr ,,, =, ,,,,rz ArA,Az aarza,rr ,,, =, ,,,,rz Ar00 ,Ar,Ar1,(,a,,a) = ,z,,zr, 100a100a88,[，sin(10t,,z),0],,sin(10t,,z) = rr 100d,88B,，,10cos(10t,az)? r ,、J,0,,D,,? 在内外中间的空气中， 0c ,E1,D,，B,,,，H,又由? 0,t,t,0 B将代入，则: 2,,10010018880,sin(10t,,z)a,,，10sin(10t,,z)arr8r10r,0 2100,1001,80? ,,，108r10r,0 1216,9,? 法拉/米 ,,10,,,，10000,36 1,7216,16? ,,4,，10H/m,,10，1009 1? ,,3 11,68? ? B,，10cos(10t,z)a,3r3? 在内外导体之间作园柱形高斯面，有 ,Ed,S,,dV,,,ds 0s,,,vs Erddz,addz,,,,? 0s,, 1,212,,Erd,,dz,,ad,dz 0rs,,,,0000 r,0? ,Er,sa ,r10080? ,,，cos(10t,,z)asr3r1，10 158 = ,，10cos(10t,z)03 ,DJ,, d,t ,D,EI,,dS,,,dS0d? ,,ss,t,t 10088,，10,[sin(10t,,z)],a,ds0r = ,r 10108 = ,,sin(10t,,z),rd,dz0,r 1012,1018 = ,,sin(10t,,z)rd,dz0,,00r3 12,1108 = ,,，10sin(10t,z)d,dz0,,003 1110811088 = ,6,，10,cos(10t,z),6,，10,[cos10t,cos(10t,)]00033 10118 = ,sin,sin(10t,)366 例7、在两导体平板(和)之间的空气中传输的电磁波，其电场强度z,0z,d 矢量 , E,eEsin(z)cos(,t,kx)y0xd 其中为常数。试求: kx (1)磁场强度矢量H。 (2)两导体表面上的面电流密度。 Js解: (1) 由麦克斯韦方程可得: ,E,Eyy,B,，E,,e，e ,,xz,z,x,t对上式积分后得: ,EEkx,,00 B,ecos(z)sin(,t,kx)，esin(z)cos(,t,kx)zxxxddd,,即: ,EEkx,,00 H,ecos(z)sin(,t,kx)，esin(z)cos(,t,kx)xxxxddd,,,,00 (2) 导体表面上的电流存在于两导体板相向的一面，故在表面上，z,0 法线，面电流密度 n,ez ,E0 J,e，H,esin(,t,kx)szz,0yxd,,0 在表面上，法线，面电流密度 n,,ez,dz ,E0 J,,e，H,esin(,t,kx)szz,dyxd,,0 例8、一段由理想导体构成的同轴线，内导体半径为a，外导体半径为b，长度 为L，同轴线两端用理想导体板短路。已知在、区域内的电磁a,r,b0,z,L场为: BA ， E,esinkzH,ecoskz,rrr (1) 确定A、B之间的关系。 (2) 确定k。 (3) 求及面上的、。 J,r,ar,bss 解:由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。 (1)A、B之间的关系。因为 ,EAkr,，E,,e ,ecoskz,,j,,H,,,zr 所以 ,j,,A ,Bk (2)因为 ,(rH),(rH)Bk,,1[,e ,，H,，e],esinkz,j,,Erzr,zr,rr所以 kA ,Bj,, ,j,,k, ， k,,,,j,,k (3)因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为: ， n，H,Jn,D,,ss 在的导体面上，法线，所以 n,er,ar BB J,n，H,ecoskz,ecoskzsar,ar,azzra AA,, ,,n,D,sinkz,sinkzsar,ar,ara在的导体面上，法线，所以 n,,er,br BB J,n，H,,ecoskz,,ecoskzsbr,br,bzzrb AA,, ,,n,D,,sinkz,,sinkzsbr,br,brb例9、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为: j20z,,4, E(t)(eje)10e(V/m),,xy 试求: (1) 工作频率f。 (2) 磁场强度矢量的复数表达式。 (3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。 解: (1) 由题意可得: 9,k， ,20,,,,6,，10,,,,00c 所以工作频率 9 f,3，10Hz (2) 磁场强度矢量的复数表达式为: j20z,,4,11 H,e，E,(e，je)10e(A/m)yxz,,0 其中波阻抗。 ,,120,,0 (3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。 电磁波的瞬时值为: ,4j,t E(t),Re[Ee],(e,je)10cos(,t,20,z)(V/m)xy ,4j,t1 H(t),Re[He],(e，je)10cos(,t,20,z)(A/m)yx,0 所以，坡印廷矢量的瞬时值: 22,81S(t),E(t)，H(t), 10cos(,t,20,z)(e，je),0W/m(e,je)，yxxy,0 同理可得坡印廷矢量的时间平均值: ,21 S,Re[E，H],0W/mav2 例10、已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为: ,j(4x3z),， H(ee26e4)e(,A/m),,，，zxy 试求: (1) 波长、传播方向单位矢量及传播方向与z轴的夹角。 (2) 常数A。 (3) 电场强度矢量。 解: (1) 波长、传播方向单位矢量及传播方向与z轴的夹角分别为: 222,， k,k，k,(4,)，(3,),5,,,0.4m,xzk 4e，3e,,,j,(4x，3z)xz， cos,,0.6e,,0.8e，0.6eezkxzk 故 , ,,53z (2) 因为，所以 ,,H,0 ,H,H,Hyxz ,,H,，，,4,jA,12,j,0,x,y,z 解之得。 A,3 (3) 电场强度复矢量 ,j,(4x，3z)(,e3，e26，e4)E,,H，e,,e0k0xyz ，(0.8e，0.6e)xz ,j(4x，3z),68 ,,(6e，5e,6e) eV/my0xz55 例11、假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复矢量为: ,,j(2x，2y,3z)6 E,3(e,2e)eV/mxy 试求: (1) 电场强度的振幅、波矢量和波长。 (2) 电场强度矢量和磁场强度矢量的瞬时表达式。 解: (1) 依题意知，电场强度的振幅: 22 E,E，E,33V/mxy000 而 222, k,k，k，k,xyz2 所以波矢量，其中 k,kek 322 e,e ，e,ekxyz333 从而 2, ,,4m,k (2) 电场强度矢量的瞬时表达式为: j,t,E(t),Re[Ee],3(e,2e)cos[t,(2x，2y,3z)](V/m),xy6 磁场强度矢量的瞬时表达式为: 1,1H(t),e，E(t),, (6e，3e，32e),cos[t,(2x，2y,3z)](A/m),xkyz,,60 例12、已知在无源的自由空间中，磁场为 9H2cos(15)sin[610t],，,exz,,, (A/m) y E利用麦克斯韦方程求相应的电场及常数,。 H解:将表示为复数形式: ,iz,Hxzeixe(,)2cos(15),,, (1) y 由时谐形式的麦克斯韦第二方程可得: ,,HH，，11yy(,)ExzHee,,，,,，xz,,,,,,00iizx,, ，， ,, 1iz,,,,，，2cos(15)30sin(15),,，iexeixexz,,，，0e,,1EE，，yxz(,),,,，,,,HxzE,,,,,,,,iizx00，， (2) ,,2ei22yiz,,,，，,,，(15))cos(15)xe2，，,,,00 比较(1)式何(2)式，有 ,7410,，222922 ,,,,,,,，,,，,(15))(610)4000093610,， 22,,,,,,40022541.56(/)radm所以 所以，相应的磁场强度为: 9Exztextz(,,)496cos(15)sin(61041.56),,，,,,x 9，，,extzVm565.5sin(15)cos(61041.56)/,,y 例13、同轴电缆的内导体半径，外导体内半径，内外导体间为a,1mmb,4mm空气介质，并且电场强度为 1008 (V/m) Ecos[10t0.5],,ezrr H(1) 求磁场强度的表达式;(2)求内导体表面的电流密度;(3)计算 i中的位移电流。 0,z,1md 解:将E表示为复数形式: 100,iz0.5Erzee,(,) rr 则由时谐形式的麦克斯韦方程可得: ,E11r,HxzEe(,),,,，,,,,,,00iiz, ,0.50.398iz ,,eeAm(/)而磁场的瞬时表达式为 r 58,,HrztetzAm(,,)cos(100.5)(/),,4r (2)内导体表面的电流密度 8JnHeHetzAm,，,，,,397.9cos(100.5)(/)srarraz,, ,E582,JetzAm,,,,sin(100.5)(/)(3) dr0,tr18, 01,,z 所以，在 中的位移电流 18iJdsJerdztA,,,,,20.55sin(100.25)(), dddr,,0s 例14、已知在自由空间传播的平面电磁波的电场的振幅，方向为EVm,800(/)0 ，如果波沿着z方向传播，波长为0.61m，求:(1)电磁波的频率;(2)电efx 磁波的周期T;(3)如果将场量表示为，其k值为多少,(4)磁Atkzcos(),,场的振幅 H,?0 18解:在空气中，电磁波的速度为 ,,，cms310(/),,00本征阻抗 ,,,,,1203770 8310，8c所以(1)电磁波频率 f=4.9210492,,，,HzMHz,0.61 1,8,,，,(2)电磁波周期 Tsns0.203102.03f (3) kradm,,2/10.3(/),, E8000(4) ,,,HAm2.12(/)0, 3770 例15、在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为 ,itz(20),，,,,,4(20)4itz,,,2EeeeeVm,，1010(/)xy 求:(1)平面波的传播方向;(2)电磁波的频率;(3)波的极化方式;(4)磁场 ;(5)电磁波流过沿传播方向单位面积的平均功率。 强度H 解:(1)从电场方程可知，传播方向为 ez(2)从电场方程可知， k,,20,,,,00 20,,109所以 ,,,,，,,fHzGHz310()3 002,,,,,00(1) 原电场可表示为 ,,420iz,Eeiee,，()10 是左旋圆极化波 xy 1(2) 由HeE,， 可得 z,0 ,410itz,,(20),Heiee,,()yx, 120 ,itz,,(20),，itz,,,,,77(20)2,,，，，eeee2.65102.6510xy (5)平均功率 1*SEH,，Re[]av 2,,,,,,,iz,(20)1iz42042 ,，eeeeRe[(1010)xy 2,,,,,iz,(20)iz77202，,，，，eeee(2.65102.6510)]xy ,112,，eWm2.6510(/),112Z即PWm,，2.6510(/) av 1例16、电磁波磁场振幅为，在自由空间沿方向传播，当t=0,z=0时，,eAm/z,3 在方向，相位常数。(1)写出和的表达式;(2)求频率和HHEe,=30rad/my 波长。 解:(1)在自由空间中， ,,,,,1203770而 ,,,,,,30()rad00 ,9所以 ,,，910(/)radm, ,,00 19于是得磁场 H(z,t),,，，etzcos(91030)y,3 9电场 E=H(-),，,，，eetz40cos(91030)0zx ,9(2) fHz,,，1.4310() 2, 2, ,,,0.209()m , 例17、在、、的媒质中，有一均匀平面波，其电场强度,,1,,4,,0rr ,，若已知平面波的频率，任意点的平均功率密fMHz,150EEtkz,,，sin(),m3 2度为。试求:(1)电磁波的波数、相速、波长、波阻抗;(2)t=0,z=00.265/,Wm E(0,0)E(0,0)时的电场等于多少,(3)经过后，电场值传到什么位置, ts,0.1, 16(1)波数(rad/m) kf,,,，，，，,,,,,,,,,,,221501022rr008，310 118相速 (m/s) v,,,，1.510p,,,,200 2,波长 (m) ,,1,k ,,10波阻抗(,) ,,,60,,2,,0 (2)均匀平面波的平均坡印廷矢量 21,2,6 (W/m) ,,，eeSE0.26510zzm平均2, ,3得 (V/m) E,，1010m 当t = 0，z = 0时 ,,,,,33 (V/m) EEsin10100.8668.6610,,，，,，m,,3,, (3) t = 0.1后 ,s ,,,,2 Eftkz10sin2,,，,,,3,, ,,,,,,2673 10sin21501011028.6610z,，，，，,，,，,,,,3,, ,,,,1 得 sin3028.6610z ，,,，,,,,3,, (m) z,15 例18、 空气中某一均匀平面波的波长为12cm，当该平面波进入某无损耗媒质 中传播时，其波长减小为8cm，且已知在媒质中的HE和的振幅分别为50V/m 和0.1A/m。求该平面波的频率和无损耗媒质的与。 ,,rr解:电磁波的频率为 8v310，80 (Hz) f,,,，2510,2,1210，0 在无损耗媒质中的波长为 v,12,,,，810 (m) f 1,1288故波速为 (m/s) ,,，，，,，,,vf8102510210 ,, 而无损耗媒质的本征阻抗为 E,50, ,,,, () 500,H0.1, 联解以下两式: 18 ,，210 ,, , ,500 , 得 ,,,,1.99,1.13rr 例19、均匀平面波从空气射入海水中，空气中的，海水的，,,600m,,4.5(/)Sm0 ，。求(1)海水中的波长和波速;(2)已知在海平面下1m深,,80,,1v,rr ,6处的电场时，海平面处的电场和磁场。 EtVm,10cos(/),x 8c310，6解:频率 fHz,,,，0.510(),6000 ,4.53 ， ,,，,,2.025101,69，，，，20.51010/3680,,,, 所以此时海水为良导体 (1)求海水中的波长，相速度和透入深度 v,,p 67, ,,,,,,,,,,，，，，，,f0.5104104.52.98 22,,,,, (m) 2.11,2.98, 6,,20.510，，6v (m/s) ,,,，1.0510p2.98, 111 (m) ,,,,,0.34,2.98,,,f H(2)海平面处电场E，磁场 以海下1米深处为坐标原点，则 ,x2.9865,,EeeEtzeetet,，,，,，，:cos()10cos(2.98)1.9710cos(170.74),,,,xxzmxx,1 ,511.9710,,ff， HkEeEeeEet,，,，,，,，:，:cos(170.7445),nzxy,,,,,,(1)，i2, ,51.9710， et,,，:cos(215.74)y67,20.510410，，，，,,1/2i(1)()，24.5， ,5,，，:et2.1010cos(215.74),(A/m) y