欧拉公式欧拉公式
在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler,公元1707-1783年)发现的,它们都叫做欧拉公式,它们分散在
各个数学分支之中。
?分式里的欧拉公式:
当时式子的值为;
当时值为;
当时值为。
?复变函数论里的欧拉公式:
,是自然对数的底,是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的换成,得到:
,然后采用两式相加减的方法得到:
,。
这两个也叫做欧拉公式。将中的取作就得到:
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欧拉公式
在数学历史上有很多公式都是欧拉(Leonhard Euler,公元1707-1783年)发现的,它们都叫做欧拉公式,它们分散在
各个数学分支之中。
?分式里的欧拉公式:
当时式子的值为;
当时值为;
当时值为。
?复变函数论里的欧拉公式:
,是自然对数的底,是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的换成,得到:
,然后采用两式相加减的方法得到:
,。
这两个也叫做欧拉公式。将中的取作就得到:
。
这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式。
它将数学里最重要的几个数学联系到了一起:
两个超越数:自然对数的底,圆周率;
两个单位:虚数单位和自然数的单位,以及数学里常见的。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它。
?三角形中的欧拉公式:
设为三角形外接圆半径,为内切圆半径,为外心到内心的距离,则:
。
?拓扑学里的欧拉公式:
,是多面体的顶点个数,是多面体的面数,是多面体的棱的条数,是多
面体的欧拉示性数。
如果可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀成一个球面),那么;
如果同胚于一个接有个环柄的球面,那么。
叫做的拓扑不变量,是拓扑学研究的范围。
?初等数论里的欧拉公式:
欧拉函数:是所有小于的正整数里,和互素的整数的个数。是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子:
如果的标准素因子分解式是,其中众都是素数,而且两两不等。则有
。
利用容斥原理可以证明它。
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。
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