计算机二进制、八进制、十六进制及反码原码补码、逻辑运算

计算机二进制、八进制、十六进制及反码原码补码、逻辑运算 二进制数据的表示法 二进制数据也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。例如二进制数 210-1-2据110.11，逢2进1，其权的大小顺序为2、2、2、2、2。对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为: (aa...a...a)(n-1)(n-2)0(-m)2 (n-1)(n-2)(0)(-m) aa...a ...a(n-1) * (n-2) ** (-m)* =2 + 2 + 2+2 二进制数据一般可写为:(a(n-1)a(n-2)…a(1)a(0).a(-1)a(-2)…a(-m))2。 注意: 1.式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。 2.a(n-1)中的(n-1)为下标，输入法无法打出所以用括号括住，避免混淆。 3.2^2表示2的平方，以此类推。 【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。 解:(111.01)2=(1×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)+(0×2^-1)+(1×2^-2) 二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。 二进制运算 二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。最常用的是加法运算和乘法运算。 1.二进制加法运算 有四种情况: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 ps:0 进位为1 【例1103】求 (1101)2+(1011)2 的和 解: 1 1 0 1 +1 0 1 1 ------------------- 1 1 0 0 0 2.二进制乘法运算 有四种情况: 0×0=0 1×0=0 0×1=0 1×1=1 【例1104】求 (1110)2 乘(101)2 之积 解: 1 1 1 0 × 1 0 1 ----------------------- 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 ------------------------- 1 0 0 0 1 1 0 (这些计算就跟十进制的加或者乘法相同，只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到2就进了) 3. 二进制减法 0,0=0，1,0=1，1,1=0，10,1=1。 4. 二进制除法 0?0=0，0?1=0，1?1=1，1?0=0(无意义) 5. 二进制拈加法 拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。 拈加法运算与进行加法类似，但不需要做进位。此算法在博弈论(Game Theory)中被广泛利用 计算机中的十进制小数转换二进制 计算机中的十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。 比如0.65换算成二进制就是: 0.65 * 2 = 1.3 取1，留下0.3继续乘二取整 0.3 * 2 = 0.6 取0， 留下0.6继续乘二取整 0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整 0.2 * 2 = 0.4 取0， 留下0.4继续乘二取整 0.4 * 2 = 0.8 取0， 留下0.8继续乘二取整 0.8 * 2 = 1.6 取1， 留下0.6继续乘二取整 0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整 ....... 一直循环，直到达到精度限制才停止(所以，计算机保存的小数一般会有误差，所以在编程中，要想比较两个小数是否相等，只能比较某个精度范围内是否相等)。 这时，十进制的0.65，用二进制就可以表示为:1010011。 还值得一提的是，在目前的计算机中，除了十进制是有符号的外，其他如二进制、八进制、16进制都是无符号的。在现实生活和记数器中，如果表示数的“器件”只有两种状态，如电灯的“亮”与“灭”，开关的“开”与“关”。一种状态表示数码0，另一种状态表示数码1，1加1应该等于2，因为没有数码2，只能向上一个数位进一，就是采用“满二进一”的原则，这和十进制是采用“满十进一”原则完全相同。 1+1=10， 10+1=11， 11+1=100， 100+1=101，101+1=110，110+1=111，111+1+=1000，…… 可见二进制的10表示二，100表示四，1000表示八，10000表示十六，……。 二进制同样是“位值制”。同一个数码1，在不同数位上表示的数值是不同的。 如11111，从右往左数，第一位的1就是一，第二位的1表示二，第三位的1表示四，第四位的1表示八，第五位的1表示十六。 所谓二进制，也就是计算机运算时用的一种算法。二进制只由一和零组成。 二进制是世界上第一台计算机上用的算法，最古老的计算机里有一个个灯泡，当运算的时候，比如要表达“一”，第一个灯泡会亮起来。要表达“二”，则第一个灯泡熄灭，第二个灯泡就会亮起来。 二进制就是等于2时就要进位。 0=00000000 1=00000001 2=00000010 3=00000011 4=00000100 5=00000101 6=00000110 7=00000111 8=00001000 9=00001001 10=00001010 …… 即是逢二进一，二进制广泛用于最基础的运算方式，计算机的运行计算基础就是基于二进制来运行。只是用二进制执行运算，用其他进制表现出来。其实把二进制三位一组分开就是八进制, 四位一组就是十六进制。 进制转换 十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数的方法:二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法:按权展开求和法 1(二进制与十进制间的相互转换: (1)二进制转十进制 方法:“按权展开求和” 例: (1011.01)2 =(1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0+0×2^(-1)+1×2^(-2) )10 =(8+0+2+1+0+0.25)10 =(11.25)10 规律:个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，......，依次递增，而十 分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，......，依次递减。 注意:不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。 (2)十进制转二进制 十进制整数转二进制数:“除以2取余，逆序排列”(除二取余法) 例: (89)10 =(1011001)2 89?2 ……1 44?2 ……0 22?2 ……0 11?2 ……1 5?2 ……1 2?2 ……0 1 十进制小数转二进制数:“乘以2取整，顺序排列”(乘2取整法) 例: (0(625)10= (0(101)2 0.625X2=1.25 ……1 0.25 X2=0.50 ……0 0.50 X2=1.00 ……1 2.八进制与二进制的转换: 二进制数转换成八进制数: 从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每3位为一组用一位八进制数的数字 表示，不足3位的要用“0”补足3位，就得到一个八进制数。 八进制数转换成二进制数: 把每一个八进制数转换成3位的二进制数，就得到一个二进制数。 八进制数字与二进制数字对应关系如下: 000 -> 0 100 -> 4 001 -> 1 101 -> 5 010 -> 2 110 -> 6 011 -> 3 111 -> 7 例:将八进制的37.416转换成二进制数: 3 7 ( 4 1 6 011 111 (100 001 110 即:(37.416)8 =(11111.10000111)2 例:将二进制的10110.0011 转换成八进制: 0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0 2 6 . 1 4 即:(10110.011)2 = (26.14)8 3(十六进制与二进制的转换: 二进制数转换成十六进制数:从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每4位为 一组用一位十六进制数的数字表示，不足4位的要用“0”补足4位，就得到一个十六进制数。 十六进制数转换成二进制数:把每一个十六进制数转换成4位的二进制数，就得到一个二进 制数。 十六进制数字与二进制数字的对应关系如下: 0000 -> 0 0100 -> 4 1000 -> 8 1100 -> C 0001 -> 1 0101 -> 5 1001 -> 9 1101 -> D 0010 -> 2 0110 -> 6 1010 -> A 1110 -> E 0011 -> 3 0111 -> 7 1011 -> B 1111 -> F 例:将十六进制数5DF.9 转换成二进制: 5 D F ( 9 0101 1101 1111 (1001 即:(5DF.9)16 =(10111011111.1001)2 例:将二进制数1100001.111 转换成十六进制: 0110 0001 ( 1110 6 1 ( E 即:(1100001.111)2 =(61.E)16 二进制、十六进制、十进制的快速转换 8421法 记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。 下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值(中间略过部分) 仅4位的2进制数快速计算方法 十进制值 十六进值 1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F 1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E 1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C 1011 = 8 + 0 + 2+ 1 = 11 B 1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A 1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 9 .... 0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0 二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。 如(上行为二制数，下面为对应的十六进制): 1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011 F D ， A 5 ， 9 B 反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢, 先转换F:看到F，我们需知道它是15(可能你还不熟悉A,F这五个数)，然后15如何用8421凑呢,应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 :1111。 接着转换 D:看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢,应该是:8 + 4 + 1,即:1101。 所以,FD转换为二进制数，为: 1111 1101 由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。 比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数: 被除数 计算过程 商 余数 1234 1234/16 77 2 77 77/16 4 13 (D) 4 4/16 0 4 结果16进制为: 0x4D2 然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式: 0100 1101 0010。 其中对映关系为: 0100 -- 4 1101 -- D 0010 -- 2 同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。 下面举例一个int类型的二进制数: 01101101 11100101 10101111 00011011 我们按四位一组转换为16进制: 6D E5 AF 1B 原码、反码、补码 在计算机内，定点数有3种表示法:原码、反码和补码。 原码就是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。 反码表示法规定:正数的反码与其原码相同;负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。 原码10010= 反码11101 (10010，1为符号码，故为负) (11101) 二进制= -13 十进制 补码表示法规定:正数的补码与其原码相同;负数的补码是在其反码的末位加1。 1、原码、反码和补码的表示方法 (1) 原码:在数值前直接加一符号位的表示法。 例如: 符号位 数值位 [+7]原= 0 0000111 B [-7]原= 1 0000111 B 注意:a. 数0的原码有两种形式: [+0]原=00000000B [-0]原=10000000B b. 8位二进制原码的表示范围:-127,+127 反码 (2) 反码: 正数:正数的反码与原码相同。 负数:负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。 例如: 符号位 数值位 [+7]反= 0 0000111 B [-7]反= 1 1111000 B 注意:a. 数0的反码也有两种形式，即 [+0]反=00000000B [- 0]反=11111111B b. 8位二进制反码的表示范围:-127,+127 补码 (3)补码的表示方法 1)模的概念:把一个计量单位称之为模或模数。 例如， 时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上 (正拨)12的整数位或减去(反拨)12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为(下午)2点钟(14=14-12=2)。 从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格(加上2小时)，即2点(0-10=-10=-10+12=2)。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此 可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的; 因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了(注:计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法)。10和2对模12而言互为补数。 同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制(假设字长为8)，因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为8=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。 2)补码的表示: 正数:正数的补码和原码相同。 负数:负数的补码则是符号位为“1”。并且，这个“1”既是符号位，也是数值位。数 值部分按位取反后再在末位(最低位)加1。也就是“反码+1”。 例如: 符号位 数值位 [+7]补= 0 0000111 B [-7]补= 1 1111001 B 补码在微型机中是一种重要的编码形式， 请注意: a. 采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。采用补码进行运算，所得结果仍为补码。 b. 与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即 [0]补=00000000B。 c. 若字长为8位，则补码所表示的范围为-128,+127;进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。 2(原码、反码和补码之间的转换 由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。 在此，仅以负数情况。 (1)已知原码，求补码 例:已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。 解:由[X]原=10110100B知，X为负数。 求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反; 求其补码时，再在其反码的末位加1。 1 0 1 1 0 1 0 0 原码 1 1 0 0 1 0 1 1 反码，符号位不变，数值位取反 1 +1 1 1 0 0 1 1 0 0 补码 故:[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。 (2)已知补码，求原码 分析:按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1 有方法。 例:已知某数X的补码11101110B，试求其原码。 解:由[X]补=11101110B知，X为负数。 采用逆推法 1 1 1 0 1 1 1 0 补码 1 1 1 0 1 1 0 1 反码(末位减1) 1 0 0 1 0 0 1 0 原码(符号位不变，数值位取反) 1(3(2 有符号数运算时的溢出问题 请大家来做两个题目: 两正数相加怎么变成了负数,,, 1) (+72)+(+98)=, 0 1 0 0 1 0 0 0 B +72 + 0 1 1 0 0 0 1 0 B +98 1 0 1 0 1 0 1 0 B -86 两负数相加怎么会得出正数,,, 2) (-83)+(-80)=, 1 0 1 0 1 1 0 1 B -83 + 1 0 1 1 0 0 0 0 B -80 0 1 0 1 1 1 0 1 B +93 思考:这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢, :这是因为发生了溢出。 如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是 -2的n-1次幂?X?2的n-1次幂-1 当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128,+127。两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。 对于加法运算，如果次高位(数值部分最高位)形成进位加入最高位，而最高位(符号位)相加(包括次高位的进位)却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。因为这两种情况是:两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数;两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。 而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位(正数减负数，差超出范围)，或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位(负数减正数，差超出范围)，也会出现溢出。 在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。过程与结果显示在列表框中，结果比较少，不必自动清除，而过程是相同的，没有必要清除。故需设清除各部分及清除全部的按钮。测试时注意最大、最小正负数。用户使用时注意讲解不会溢出:当有一个数的反码的全部位是1才会溢出，那么它的原码是10000...，它不是负数，故不会溢出。 在n位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为一表示为负;其余n-1位为数值位，各位的值可为零或一。当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全相同;当真值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码则是反码的最低位加一。注意符号位不变。 提示信息不要太少，可“某某数的反码是某某”，而不是只显示数值。 1.原码的求法: (1)对于正数,转化为二进制数,在最前面添加一符号位(这是规定的),用1表示负数,0表示正数.如:0000 0000是一个字节,其中左边第一个0为符号位,表示是正数,其它七位表示二进制 的值.其实,机器不管这些,什么符号位还是值,机器统统看作是值来计算. 正数的原码、反码、补码是同一个数! (2)对于负数,转化为二进制数,前面符号位为1.表示是负数. 计算原码只要在转化的二进制数前面加上相应的符号位就行了. 2.反码的求法:对于负数,将原码各位取反,符号位不变. 3.补码的求法:对于负数,将反码加上二进制的1即可,也就是反码在最后一位上加上1就是补码了. 二进制的逻辑运算 基本概念 逻辑变量之间的运算称为逻辑运算。二进制数1和0在逻辑上可以代表“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。这种具有逻辑属性的变量就称为逻辑变量。 计算机的逻辑运算的算术运算的主要区别是:逻辑运算是按位进行的，位与位之间不像加减运算那样有进位或借位的联系。 逻辑运算主要包括三种基本运算:逻辑加法(又称“或”运算)、逻辑乘法(又称“与”运算)和逻辑否定(又称“非”运算)。此外，“异或”运算也很有用。 算法 逻辑加法(“或”运算) 逻辑加法通常用符号“+”或“?”来表示。逻辑加法运算如下: 0+0=0， 0?0=0 0+1=1， 0?1=1 1+0=1， 1?0=1 1+1=1， 1?1=1 从上式可见，逻辑加法有“或”的意义。也就是说，在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑加的结果为1;两者都为1则逻辑加为1。 逻辑乘法(“与”运算) 逻辑乘法通常用符号“×”或“?”或“?”来表示。逻辑乘法运算规则如下: 0×0=0， 0?0=0， 0?0=0 0×1=0， 0?1=0， 0?1=0 1×0=0， 1?0=0， 1?0=0 1×1=1， 1?1=1， 1?1=1 不难看出，逻辑乘法有“与”的意义。它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时，其逻辑乘积才等于1。 逻辑否定(非运算) 逻辑非运算又称逻辑否运算。其运算规则为: 0=1 非0等于1 1=0 非1等于0 异或逻辑运算(半加运算) 异或运算通常用符号"?"表示，其运算规则为: 0?0=0 0同0异或，结果为0 0?1=1 0同1异或，结果为1 1?0=1 1同0异或，结果为1 1?1=0 1同1异或，结果为0 即两个逻辑变量相异，输出才为1