微分中值定理“中间点”的渐近性
微分中值定理“中间点”的渐近性
第l7卷第5期
2001年l0月
工科数学
joURNAIOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGY
VoI_l7.Ng_.5
Oct.2001
微分中值定理”中间点”的渐近性
高国成
(山东科技大学济南校区公共课部.济南250031)
[摘要]本文在一般情况下讨论了微分中值定理”中间点的渐近性,给出了具有普遍意义的结果
[关羹词]微分;中值定理;渐近性
[中围分类号]O172[文献标识码]C[文章编号]1007—4120(2001)05—010203
1引言
微分中值定理是微分学的理论基础,是沟通函数与导数的桥梁,不但在理论上处于很重要的地位.
而且具有十分广泛的应用.
下面.我们引述两个众所周知的微分中值定理.
Lagrange中值定理如果函数F(f)在闭区间.]上连续,在开区间(d,)内可导.那么在开区间
(n,z)内可导,那么在开区间(.)内至少有一点},使等式
F(x)F(d)一F()(—日)(1)
成立.
Cauchy中值定理如果函数F(f)与G(f)在闭区间.]上连续.在开区间(d.)内可导.且G(f)
那么在开区间,z)内至少有一点.使等式 在(.)内的每一点处均不为零,
G(})(2)
成立.
对于微分中值定理”中间点”的渐近性,多位学者进行了研究:,得到了一些有意义的结论.本文给
出一般性的结果.
2主要定理
定理1设函数F(z)与G(z)在点的某邻域内分别有直到+l阶和m+l阶导数,在点n的某去
心邻域内G()?0;F”(d)一0(1.2,…,;?1),G(d)一0(—l,2,…,;?1).F十?()与
G)在点d处连续.且F”“(d)?G’(d)?0,则当m?时.对于Cauchy中值定理确定的数},
有
暑一(…—dl十』
定理2设函数F()与G(z)在点的某邻域内有直到+r+l阶导数,在点n的某去心邻域内
()?0;F”(口)一G”(d)一0(1.2,…,;?1),F,+1()与G一+”()在点d处连续(r?1);
F”(d)一G+.(d)一0(1?J?r).则对于Cauchy中值定理确定的数},当F+.(d)G’?(d)
[收藕日期]2000—11—12
第5期高国成:檄分中值定理”中间点”的渐近性l03
G_.(d)F”_.(口)?0时,有
暑一(;丽n~l…一口十PlI
定理3设函数F()在点的某邻域内有直到一1阶导数.F”(口)一0(izl,2,…,;?1),在点
口的某邻域内G()可导且G()?0,F”_.()与G’()在点口处连续t蚵0当G(口)F_.(?)?o时,对于
Cauchy中值定理确定的数{,有
1.alI
一雨j’
定理4设函数F)在点n的某邻域内可导且F(n)?o;函数G(z)在点的某邻域内有直到+
l阶导数,G”)一0(=l,2,…,,?1),在点d的某去心邻域内G(z)?0,F)与G”“)在点”
处连续,则当F(口)G(d)?0时,对于Cauchy中值定理确定的数},有
.
}一口f]Ii1
—I—n+—lJ’
定理5设函数F(z)与G()在点n的某邻域内有直到+l阶导数,在点n的某去心邻域内G
()?0,F”(口)一G”(口)一0(2,…,),F”)与G州()在点n处连续,则对于Cauchy中值定
理确定的数,当F)G”(d)F”(4)G妇)?0时,有
.
一
口f1l音
一;雨』’
推论l设函数F()在点d的某邻域内有直到+l阶导数,F”(n)一0(一2,….),F_-()在
点&处连续,F”(口)?O,则对于Lagrange中值定理确定的数,有
暑一(.一一口ln十Jf
推论2设函数F)与G()在点n的某邻域内有二阶导数,在点口的某去心邻域内G()?0,
G()与F”)在点口处连续.则对于Cauchy中值定理确定的数},当F(d)G(口)一F(d)G(口)?0时,
有
暑一丢.一z口
3定理的证明
令F’)=,(,Gc)一g(x),则式(2)变形为
g(e)Jof(删,(Jg(删,?
定理1的证明由已知条件,我们可写出,()和g()的泰勒展开式
f(t)=()一(
其中f【,c2?(口,).
,n)出=1)(一
?:)(f.
将以上各式代人(3)式,可得
()1)(一一())(f
因?,将上式两边同除以(x-n)一(一),并令—n,利用罗比达法则可推出
(3)
(4)
(5)
104工科数学第17卷
警1一-4-暑厂.!()!!(?1)!l—dJ.
由F一”(口)时(d)?0知f(日)g(口)?0.因此有
..
d—m-4-11II
h
…
rn—
32-
—
a一玎』’
定理2的证明由已知条件.我们可写出,()和g()的泰勒展开式
,”)一(…H(…一.~rJ,
)一(一H(一??(“.
,.出一鲁c32--0+三g}—一,
c出=c—n-+出.
将式(6)(9)代人(3)式,并化简,得
等c一…+c—
+
苫写字c一专孚c一一rd
==(x--a一-c—n+
_[+c]c_fc一.
(n)g一(口)一f(日)(d)
(-4-1)!(-4-r)j
由”)G一件(n),G什)F…
定理34,5的证明类似,略去
lira』,(n)g一(口)g(d),一(?)
!(-4-r-4-1)
)?O知f”(d)g(d)一g”),(d)vaO,由此可得
l}m:c--a=(n.4.+1I1’1r\十r十lf
[参考文献]
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AsymptoticPropertyofMid—Valueon
theMeanValtieTheoremforDifferentiaIs
GAOGuocheng
(DepartmentofBasicCourses,ShandongUniversityofScienceandTechnology.Jinan250031)
Abstract:Inthispaper.westudytheasymptoticofmid—valueontheme[tnvaluetheoremfordifferential
s.
Keywords:differentialcalculus;me~.nvaluetheorem{asymptoticproperty
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