概率论5红球3白球 概率论3

概率论5红球3白球 概率论3 随机变量与分布函数 PARTA 我们已经在严格的公理化基础上建立了概率的定义。概率是以集合为自变量的函数，这使我们或多或少感到困惑。统计实验的结果是样本空间的样本点，当我们使用概率方法对这些实验结果(样本点)进行分析的时候，难道不能够直接对这些样本点实施运算吗,这里会遇到一定的困难，主要的问题是样本点本身是实体对象，不一定具有数量特性，从而可能无法直接使用数学工具进行处理。例如，抛硬币实验所得到的结果是“正面”和“反面”。如果我们想要了解多次实验中“正面”出现的次数，那么直接对“正面”和“反面”进行处理不恨妥当。“正面”+“正面”什么意思呢,含义并不清晰。因此，如果试图使用数学工具，那么首先需要将非数值的研究对象(样本点)进行“量化”。也就是说，需要一种“映射”，能够将非数值的实验结果转化为数值，才能 1 够让数学分析和运算工具发挥作用。退一步讲，即便实验结果本身是数值，仍有很大可能无法直接观测到。例如，对通信信道中的噪声电平进行重复采样，由于采样仪器精度以及采样手段的限制，我们获得的观测结果只能是实际噪声电平的某种近似。这里的仪器和采样方法同样构成了某种从实际实验结果到观测的“映射”。因此，在我们对概率论展开讨论之初，应该建立一种从样本空间映射到数值的“映射”，并在此基础上使用数学运算工具进行分析研究。这个映射就是“随机变量”。 随机变量的基本概念 随机变量的定义 随机变量是定义于样本空间上的实数值映射，完成了对统计实验结果的量化。但是，仅仅有量化是不够的。概率论研究事件的不确定性，作为不确定性的度量，概率定义在样本空间上，并没有直接定义在实数轴上。所以，随机变量取值的不确定性需要相应的刻画。如果X是随机变量，那么有两个问题值得考虑: 对于通常人们关心的集合A?R，事件X?A的不确定度性应该能够被精确描述;事件X?A的不确定度应该和相应的统计实验结果的不确定度相一致。 对于第一个问题，根据第二章对实数轴上Borel域B(R)的讨论，绝大部分人们所关心的集合都在B(R)内。所以，确保 2 B(R)中元素的不确定度能够被度量是随机变量须满足的条件。由于在样本空间?上已经定义好了σ-域F，F中的元素都能够用概率来描述其不确定度，所以要求B(R)内的元素能够和F内的元素相对应是自然的。也就是说， {ω??:X(ω)?A,A?B(R)}?F,(1-1) 这也就是随机变量作为一个映射所满足的最关键的特性。 定义1.1设(?,F,P)是概率空间，随机变量X(ω)定义为实数值映射 X:??R,(1-2) 2 满足 X?1(A)?F,?A?B(R),(1-3) 其中，B(R)是实数轴上的Borel域。 这里有两点注记。首先，随机变量是确定性函数，自身并没有随机性。换句话说，给定样本空间上的样本点，有唯一确定的实数值与之相对应。这种对应关系并没有不确定性。所有的不确定性都体现在样本点是否在实验结果中出现上，和随机变量本身没有关系。随机变量的引入，更多地是为了数学处理上的方便。其次，随机变量并不是概率论中独有的概念。实分析的基本研究对象是所谓“可测函数 (MeasurableFunctions)”。如果我们规定所谓“可测集(MeasurableSets)”为某种σ-代数的元素，且在函数的定义 3 域和值域上都定义了相应的σ-代数，那么“可测函数”就是“可测集”原像仍为“可测集”的函数。很明显，随机变量是一种特殊的可测函数，这里的“可测集”具有了更为具体的实际含义。 例1.1考虑抛硬币实验，如果以H示正面向上，以T表示反面向上，设样本空间为{H,T}，σ-代数为{?,{H,T},{H},{T}}，定义函数X(ω)为 X(H)=1,X(H)=0, 容易验证X(ω)满足(1-3)，因此为随机变量，该随机变量称为Bernoulli随机变量。 例1.2考虑对通信信道中的噪声电平进行数字采样，则样本数据自身具有数量特征。由于采样设备数字量化误差的限制，实际上只能获得离散的采样值。但是，多数情况下为简单起见，假设实验结果为连续数值(这种近似在实际应用中经常被采用)。因此样本空间为R，σ-代数为实数轴上的Borel域，代表采样结果的随机变量为 X(ω)=ω, 该随机变量的定义域与值域相同，实质为恒同映射，因此(1-3)自然满足。 例1.3我们通过一个人工痕迹较重的例子来进一步体会(1-3)在随机变量定义中的作用。考虑样本空间?={a,b,c}，σ-代数为F={{a,b,c},{a,b},{c},?}，定义函数X(ω)为 4 X(a)=1,X(b)=2,X(c)=2, 思考一下，X是随机变量吗,很明显，X不是随机变量，因为 {ω:X(ω) 5