两圆相交公共弦直线方程的求解与证

两圆相交公共弦直线方程的求解与 私立青岛天龙中学:戴建海 在圆的方程一章中教材给出介绍了两圆的位置关系，两圆的位置关系包含:相离、外切、 相交、内切、内含五种情况。 22xyDxEyF，，，，,0C的方程为:半径 设圆r11111 22xyDxEyF，，，，,0CC设圆的方程为:半径 圆 r222212 两圆心的距离为，五种情况所需要满足的条件分别是: d drr，1.两圆相离: 12 drr,，C2.两圆外切: 圆 122 rrdrr,，3.两圆相交: 1212 drr,,4.两圆内切: 12 drr,5.两圆内含: 12 当两圆相交时有两个交点，那么过这两个交点存在一条直线，那么这条直线的直线方程 怎样求解呢,在很多参考书上都给出了求解方法，让两圆的一般方程相减即可得公共弦所在 ()()0DDxEEyFF,，,，,,直线的直线方程:。但是都没有给出相应的证明，都是直121212 接运用，下面我就方程的求解给出证明。 (1)当直线的斜率存在时 (,),(,)xyxy设交点坐标分别为，点在圆上所以点满足圆的方程 1122 22xyDxEyF，，，，,0………………..(1) 1121212 22xyDxEyF，，，，,0……….………..(2) 1111111 22xyDxEyF，，，，,0………….……..(3) 2212121 22xyDxEyF，，，，,0………………..(4) 2222222 (1)(2), 得: ()()0DDxEEyFF,，,，,,………….(5) 21121121 (4)(3),得: ()()0DDxEEyFF,，,，,,………….(6) 21221221 yyDD,,2121,,(5)(6),得:…………即直线的斜率 xxEE,,2121 DD,21所以直线方程课写为:yyxx,,,,,() 11EE,21 ()()()0DDxEEyFF,，,，,,整理得由(5)得: 212121 (2)当直线的斜率不存在时 EE,此时两圆的纵坐标是相等的:即 12 xx,,0此时直线方程为: 1 ()0DDxFF,，,,由(5)得:联立上式得: 21121 ()0DDxFF,，,, 2121 ()EEy,EE,因为所以=0 21112 ()()()0DDxEEyFF,，,，,,所以得: 212121 综上所述:不论直线斜率是否存在，直线的方程都是 ()()()0DDxEEyFF,，,，,,，从而得出两圆相交公共弦所在直线的直线方程。 212121