高等数学-第5章 53 无限区间上的广义积分

高等数学-第5章 53 无限区间上的广义积分 ?5.3 无限区间上的广义积分 b在前面我们讨论定积分时,总是假定积分区间是有限的，但在,,a,bf(x)dx,a 实际问题中还常遇到积分区间是无限的情形。 ,xx,0如图5.14，求由曲线、直线、围成的开口曲边梯形的面积。 ye,y,0 ,xb,0xb,任取，先求由曲线、直线、ye,y x,0及围成的曲边梯形的面积，得 y,0 ,xye, bb,,,,xxbb1 . edxeee,,,,,,,(1)1,00 b,，,时，曲边梯形面积的极限就是所当 x0b 求开口曲边梯形的面积，得 b,,xb。 limlim(1)101edxe,,,,,,图5.14 0,，,,，,bb 定义5.2 设函数，，在区间,，上连续，在,，内任取一点，fxa,，,a,，,bba(), b得到定积分，称极限 fxdx，，,a b，， limfxdx,ab,，, ，,为函数，，在无限区间,，上的广义积分，记为，即 fxa,，,fxdx(),0 b，,，，f(x)dx,limfxdx。 ,,a0b,，, b，,，，若极限limfxdx存在，则称广义积分fxdx()收敛，否则，则称广义积分,,0ab,，, ，,f(x)dx发散。 ,0 ，，函数在无限区间上的广义积分定义为 类似地，fx(,],,b bbfxdxfxdx,lim， ，，，，,,,,a,,,a bblimfxdxfxdx当极限存在时，称广义积分收敛，否则，称广义积分，，，，,,,,a,,,a bfxdx发散。 ，，,,, ，，函数fx在无限区间上的广义积分定义为 (,),,，, ，,，,c， ，，，，，，fxdx,fxdx，fxdx,,,c,,,, ，,为任意常数，当上式右端两个积分都收敛时，称广义积分收敛，其中，，fxdxc,,, ，,否则，称广义积分发散。 ，，fxdx,,, 为了书写方便，我们也记: ，,，,， fxdxFxFFa()()()(),,，,,,aa bb， fxdxFxFbF()()()(),,,,,,,,,, ，,，,。 fxdxFxFF,,，,,,,()，，，，，，,,,,, 其中是的一个原函数，，。 FFb()lim()，,,FFa()lim(),,,Fx()fx()a,,,b,，,例1 判断下列广义积分的敛散性: 0，,，,2x1x,dxdx(1); (2); (3). xedx22,,,0,,,,1，x1，x ，,b,11bdx,limdx,limarctanb,解 (1)，所,lim[arctanx]022,,00b,，,b,，,,，,b1，1，xx2 ，,1dx以广义积分收敛。 2,01，x 00x111220,，,，dxdxx(1)ln1(2) ，，,,22,,,,,,，，1212xx 12,,，,,,xlim[0ln1] ， ，，x,,,2 0xdx所以广义积分发散。 2,,,1，x 0，,，,0，,2222211xxx,,,xx,,(3)。 ,,,,eexedx,xedxxedx，0,,,,,,,022,,0 ，,2x,所以广义积分收敛。 xedx,,, 1