加权残值法分析轴压圆柱薄壳后屈曲问题

加权残值法分析轴压圆柱薄壳后屈曲问题 ,周向用禽弦函敷. 计算模型是周向隽丰个谴_长的壳块,可适应后屈曲实验变形豌歇现亲.非线性代 敷方程组用了Newton--Rophson适代法求.f.由此所得的理论上的后屈曲曲戗与 国,卜近代实验相符. 关键词:圈柱壳I后怎曲I祥索配点 1引言 冯元桢(C.Fg)及席希勒(kkSec~Zer)于本世纪5O年代曾表示过口]t在某 种意义上.薄壳的稳定性同题在经典的弹性理论中仍旧是最逗人思考探索的同题. 圆柱形薄壳于辅向压力下的弹性稳定性问题这一经典力学问题由于理论临界压力与实 验值嫠别巨大吸引了无数力学家致力于研究,其问理论选出,从本世纪以来直到70年代依 靠了近代实验手段才搐清了屈曲真相?,理论才得适应. 早期的线性理论辅压临界力大于实验值的2,5倍,甚至l0倍.于是L.H.Donnel!于 1934年提出顼用非线性理论研究这类壳的后屈曲问题?.1941年卡门及钱学森(T.VonKo- Tmon&凡S.Tsi~n)应用了大挠度方程分析了这类壳的后屈曲问题.屈型函数是余弦级数, 首次得出了下临界力旧.可是B.O.Almorth发现如取这双重余弦级数多项后,下临界力会 趋于零,这是不合理的踟w.T.KoJter于1945E~]提出了双分歧理论及缺陷敏感说法,他 的理论仅适用于后屈服韧始阶段M.steTmL7则提出非线性前屈曲一致理论但未能解释后 车文啦到日期-】9B9.06.17 应用力学掌摄第8者 屈曲诸多现象(如变形跳跃). 直到1972年E.F_z~/ngcr及.谢应用了高速摄象仪录取了轴压圆柱形薄壳整个后 屈曲阶段中变形酰跃真相后,准确的理论分析才有了真实的依据嘲. 本文首次应用了样条配点法分析了这个复杂的轴压柱壳的非线性后屈曲问题.壳体的 平衡般分方程式及基本方程应用了Donnell的非线性壳体方程,壳体的挠度及应力函数的 试函敷都子轴向用了五次B样条函数,环向为余弦级数.B棒条函数 有很强的逼近性,可鲥 适应任何边畀条件,它的紧凑性可以节约大量的计算工作量|余弦级数适合柱壳环向的屈 曲变形.计算的模型不是整个壳体而是半个环向波长的壳块,通过波长的改变可以计算得 逐次的跳跃虢荷及变形.事实证明.这样设计的理论方法,确实得到了理论计算与实验相 圆柱壳体的轴压力为P,单位长的压力为,一P/2.R,两靖即z=O及z--L时必有力 的平衡条件 一 争一一,? 在实验中,圆柱壳的轴向压缩变形为t 一 J: 一 赤』:雾+謇一号c:捌.? 圆柱壳的环向即直边的边界条件比较复杂.但总可列出变形的闭合条件 r一o(1】)Jo’一’u) 3现代技术轴压圆柱壳试验概况 百年以来,不知有多步科学研究工作者对于轴压圆柱壳失豫儆了多 少试验,但是因为 缺乏现代实验手段,未能捕捉圆柱壳予后屈曲中变形跳跃真相.1972年F.sslin8~r及0e.盯利 用了高速摄象仪摄取了柱壳于后屈曲垒过程中变形瞬时跳跃变化情况才摸清了瞬时变形变 化规律啪. 应用力学第B眷 他们通过高速摄象仪发现轴压圆柱形薄壳于后屈曲过程中出现多稳态的变化跳跃现 象,每次从不稳定平衡状态变形跳跃到低稳态时,周向屈曲波数减少了一个,并且随着圆 柱壳轴向在缩短,屈曲的波长在增大.参见图2. (轴向缩短)stouchuns?一 曲2壳#后届曲实验曲裁.拄壳几何尺寸t--0.19(:Mm.R--10_?L一10O-- 圈rfI的阿拉伯戢字.逗号前的为轴向半谴翦.逗号后的为环向半谴教. 4力学模型与样条配点法及试函数 根据上节所述轴压圆柱壳后屈曲实验情况.我们设计理论分析方法如下 图3力学模型 (1)由于周向波数,跳跃改变,我们就以半个周向波长 的壳块作为分析对象(图3).壳块长为L但其宽为6= =, 可随m敷面改变. (2)应用精度较高的等距样条配点法来进行分析 (3)应用Dormell非线性壳体方程’ (4)Donn~11壳体方程中的应力函数及挠度函数的 试函数,于轴向应用五次B棒条函数.周向仍用余弦函数如 下所示; 一 舌主c一警1三三.l(12) = Ii兰-蛹(椭s簪一专Jl’.1’?’ 式中()及黾(z)为五次B样条函数基,于轴向变形具有良好的逼近性并可以满足壳体 ? ? ? ?? 善 第2期届曲问题 两端任何边界条件,环向则仍用余弦函致表示届曲渡状. 如此,亮块环向的边界条件:当y=0及,一6时: 害一一”=一0(13) 其中.及,为壳体周向的合成横剪力及中面剪力: q—+警,—一(,+2)碧+奢1 .一‰翕,一器’fa 都能得到满足. (5)将(12)代入Donne[1方程中出现的非线性代致方程组用 Newton--Rophson迭代法 求解. 5残值方程及迭代解法 为了计算方便,我们以矩阵形式表示(12)两个试函数: 一 . 三三蚋(=)(r)一[@DY{a} 三(=)IJ(,)+专I[司@[I]佃}+ (15) 式中: (,)一cos等,.J(,)一.互(1) 峨0)及砚(=)为五次B一样条函数基已满足壳两墙边界条件,(见附表 一),符号0为Kronck一 6r乘积lfo}及伯}为待求系数矩阵: !..”l{dl(16)fo巧={o…w)』 {o)与fb)相似. 将(15)代入Donne1]方程(h)及(1b)得到残值方程: 露n一Il[]@’]伯)+2(12+去*)[.]@[]fb) +如[‘]@],伯)+[‘.’]@[fo}.[@.]fo) 一 ([]@[‘‘1]{o))-I-告[.]@[p{o)(16). , Rm=1[‘‘]@[妒{口)+2(D+2)[‘]@[妒?f口) +D船[@[p”‘]{o)一f[习@[I(f6)+,)? ? .@[pfo}一[f6).[@[p’{o} +2[m@]伯).[@[]fo)一寺[@[],伯)(16). 应用样条配点法进行后届曲分析,由于试函致满足所有边界条件,只 须在亮块(图3) 应用力学第8奄 内部配点即可.采用等距配点,纵向间距即样条结点间距,周向亦分等 距.于是列出了消 除残值方程组: 马1(?,)=0马?(zr.,,)=0(17) 其中,(工-,,|)即为配点的坐标,(,=1,2,……M×?).由此可以得到2MXN 个非线性 代致方程式,并可通过迭代法求解待定系数及.具体步聚如下: (1)设{4)的初值{口). (2)将{4}代入(17)第一式求得{6). (3)将忙).代入(17)第二式可得{口)的非线性代数方程求得{4). (d)将求得的如)当作为如).重复前述步聚. 关于非线性代数方程组,可以应用最小二乘Newton一phmn迭代法求解,它能跟踪复 杂多解的载荷位移关系,获得完整的后屈曲瞌线.我们注意到(16)式之中含有齐次非线 性项,载荷变量与位移未知参量偶合在一起.若以载荷作为独立变量增量,只能得到位移 未知向量的零解.于是须以一位移未知参量为独立变量增量才能求得符合实际情况包括变 形跳跃在内的载荷位移曲线. 具体计算时,先给定待定系数向量{o)中任一分量如第,,.个分量为独立变量,第i改 选代的向量{o)为: {4)={4l,,……,口-.…口,)(18) 其中o.是给定的,第次迭代残值方程为; {}1=[]{口)+{[,,).一n一{0)(19) 式中[]为不随迭代过程变化的线性系效矩阵,即在(16)中前三项,{)为(16)中 的非线性项,为载荷因子,{,)为给定的载荷列阵.而第(|+1)次的残值可于第’次解 求向量处展成泰勒级数保留一级: {丑)件1={丑}’+{)’一{0)(20) 因为6{且)是对向量{口)为的变分.即有: }II.1I+ = ([]+[).一{)(21) 其中[]为非线性过程矩阵,随着选代过程而改变.将(21)代入(20)并将{砌移于 右边得 (EK3+[)伯).一{)d=一{).(22) 为了便于求解,{o).分为两个向量之和: d{4)I互{4)n-c~nJ 应用样条配点法进行分析,于微型机mMpc,xT实鳆. 倒1.轴压圆柱形壳,半径R一2Om.L一10刚度系数见(28).两蠼筒支可移. 于-一13时求得线性临界压力为1d.034ks//c~n与[8]中计算线性临界压力式计算 所得的临界压力Po一4.06kg/cm相对谩差为0.64. 后掘曲P一儿曲线如图d所示.图中实线悬本文应用掸条配点法计算蛄果,虚线为资 料E9J,即w.F.Tlde~及E跚tng分析结果. 倒2.同样轴压圈柱壳,半径一20?,L一2O?刚度系数及支持情况同倒1. 临界压力P.一3.992/c|,l,误差与ETJ相较为1.6. 后屈曲P-4二曲线见图5.实线为本文结果,虚线指E93. 0.050.100.150.20 6mm) 圈4筒宣可咎曩拄壳后豆蕾p.Ar.曲线 0_1.1lO? E-2 0.10.20.30.4AHmm】 田5筒宣可营辘压?挂相?址圈 R一2o_I.I?_I 应用力学第B誊 于此两铡中可见本文分析轴压圆柱壳的后屈曲曲线与T’niclemarm及F.sslir~er分析结果挡 势基本相符r,可以说明该种圆柱壳变形跳跃后的承压力突然降低的实验事实这说明加权 残值按分析轴压柱壳后屈曲问题是有效的根据[9]T’nieleman及F.sslin~r称他们的理论曲 线是与实验相当接近的. 以上解捌说嚼加权残值法子研究这一田难问题简便,灵活有效符合 实验,是壳体屈曲 问题有前途的数值分析方法. 参考文献 [I]YcFu啤&BE.8eealer:Imtlbt2iqy时ElSieShcll~inN.G咖d时andNttotf(ed~):StrtIl<3时Qs()>0,II>3时()= 0,且有:{口5()如=1. 它的导数及积分公式为. b):篁(一1)()(+3一)/(5一t)JA3佃0J t>0时表示z阶导数.K:0时表示一f次积分五欢B样条函数在结点上的数值及其导数值 ? ? 第2期属曲问题 如下表所示 表A五狄B样条函致及其导数的结点值 一 3—2一lO】23函数 0)O1/】2013/6011/2013/601/]20O )O1/245/12O——S/12一’ 欲使B样条基函数满足轴向两端边界条停可先划去a中’一一2,0之项再满足边界条件 求系数.如; 一 ,若边界条件为(O)一衅(O)一O则有 lldIzdll口I.口嗣f51/2—22/331o1 ?.一.Lo04/1651/1003 二,若边界条停为峨(O)=科(O)一O则有: rd1lddIl口l4dlro10一l0] .【l000一lJ