利用初等变换求下列矩阵的秩

利用初等变换求下列矩阵的秩 习 题 4-1 1( 利用初等变换求下列矩阵的秩 2111211257,,,,,,,,104,1123710,,,,; . ,,,,114565134913,,,,,,,,2,15,61451116,,,, ,2(取怎样的数值时，线性方程组 2x,x，x，x,1,1234,x，2x,x，4x,2 ,1234 ,x，7x,4x，11x,,1234, 有解，并求它的一般解. ,3(取怎样的数值时，线性方程组 (3)21,，，，,xxx,123,xxx，,，,(1)2 ,,,,123 ,3(1)(3)3，，，，,xxx,,,123, 有唯一解，没有解，有无穷多解,在有无穷多解时，求出它的一般解. 证明:含有2个未知量3个方程的线性方程组 4. ax，ax,b,1111221,ax，ax,b ,2112222 ,ax，ax,b3113233, aab11121 aab,0有解的必要条件是行列式. 21222 aab31323 x，x,1,12,x，x,2这个条件是充分的吗,请分析. ,12 ,x，x,312, ABA5.设、都为m，n矩阵，证明，秩秩的充分且必要条件是经过初等变(A),(B)BAB换得到(这时我们称与等价). AA6.设是一个n阶矩阵，证明，在初等变换下有标准形 1,,,,1,, ,,？,,1,, detA,0的充分且必要条件是. aaa？bbb？,,,,11121n11121t,,,,A,？？？？B,？？？？7(若， ， ,,,,,,,,aaa？bbb？ssst12,,mmmn12,, aaa？？000,,11121n,,？？？？？？？？,,,,aaa？？000mmmn12. C,,,000？？bbb11121t,,,,？？？？？？？？,,,,000？？bbbssst12,, 证明:秩秩+秩. (C),(A)(B) 8(证明，线性方程组 x,x,a,121,x,x,a232,,x,x,a ,343 ,x,x,a454, ,x,x,a515, 5 有解的充分必要条件是. 这个命题能否推广到个未知量个方程的情形, nna,0,ii,1 9(证明:若 ax，by,1ax，by,0,, 与 ,,cx，dy,0cx，dy,1,, ad,bc,0同时有解，则. 10(解齐次线性方程组 x,2x，x，x,x,0x,2x，2x,0,,12345123,,2x，x,x,x，x,02x，x,2x,0,,12345123(1) (2) ,,x，7x,5x,5x，5x,03x，4x,6x,012345123,, ,,3x,x,2x，x,x,03x,11x，12x,012345,,123 11(分别求使以下齐次线性方程组有非零解. k,l x,2x，kx，x,0,1234x，x，x,0,123,2x，x,2x，3x,0,,12342x，2x，lx,0(1) (2) ,,1233x，(k，2)x,6x，2x,01234,,,x,x，2lx,0123,,3x，9x，12x,3x,01234, 12(设 axax？axa0，，，,,,1111221n,1n,11n,axax？axa0，，，,,,2112222n,1n,12n (1) ,？？？？, ,ax，ax，？，ax,a,0n11n22nn,1n,1nn, 证明:若(1)有解，则 aa？aa11121n,11n aa？aa21222n,12n D,,0？？？？？ aa？aan1n2nn,1nn 又，逆命题是否成立, 习 题4-2 1( 求下列齐次线性方程组的基础解系. xxxx,，,,2340x，x，x，x，x,0,,123451234,,xxx,，,03x，2x，x，x,x,0,,23412345(1) (2) ,,xxx，,,3305x，4x，3x，3x，x,012412345,, ,,xxxx,，,,4320x，2x，2x，4x,012342345,, 证明:如果齐次线性方程组 2. axaxax，，，,？0,1111221nn,axaxax，，，,？0,2112222nn ,？,,axaxax，，，,？0,,,nnnnn1111221, iAA的系数矩阵为，M是矩阵中划去第列所得的矩阵的行列式，证明: (n,1)，(n,1)i n,1(1)是方程组的一个解; (M,,M,？,(,1)M)12n n,1(2)如果这个线性方程组的系数矩阵的秩为，那么方程组的解全是 n,1的倍数. (M,,M,？,(,1)M)12n (x,y),(x,y),？,(x,y)3. 给出平面上n个点共线的充分必要条件. 1122nn n4. 给出平面上条直线 axbycaxbycaxbyc，，,，，,，，,0,0,,0？ 111222nnn 共点的充分必要条件. 5. 写出通过三点(1，2)，(1，-2)，(0，-1)的圆方程. (x,y),(x,y),(x,y),(x,y)6. 给出平面上不在一直线上的四点位于同一圆周11223344 上的充分必要条件. n7. 证明:的任意一个子空间都是某一个含未知量的齐次线性方程组的解空间. n nn,18. 证明:的任意一个真子空间都是若干个维子空间的交. 9. 求以下非齐次线性方程组的通解 3x，4x，x，2x,32x，x,x，x,1,,12341234,,6x，8x，2x，5x,7x，2x，x,x,2(1) (2) ,,12341234 ,,9x，12x，3x，10x,13x，x，2x，x,312341234,, xxxx，,,,32,1245,xxxx,，,,221,1234(3) ,426348xxxxx,，，,,12345, ,242479xxxxx，,，,,12345, 10. 设是非齐次线性方程组 ,,,,？,,12r axaxaxb，，，,？,11112211nn,axaxaxb，，，,？,21122222nn ,？,,axaxaxb，，，,？mmmnnm1122, rr 的任意个解， ，证明:当且仅当时，也是这个非,,,,,,kkir(,1,2,,) ？k,1r,,iiii,1i,1i齐次线性方程组的解. 11. 设是非齐次线性方程组 ,0 axaxaxb，，，,？,11112211nn,axaxaxb，，，,？,21122222nn ,？, ,axaxaxb，，，,？mmmnnm1122, 的一个解，是它的导出组的基础解系. ,,,,？,,12r ,,,,？,,证明:(1) 线性无关; 01r ,,,，,,,，,,？,,，,(2) 也线性无关; 001020r ,,,,,,，,,,,，,(3) 如果是这个非齐次线性方程组的任意解， 则线性无关; 0010r nr，1 ,(4)中向量是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在个数 r k(i,0,1,2,？,r),,k,，k(,，,)，？，k(,，,),，使得 . k,100101r0ri,ii,0