立体几何向量证平行与垂直

立体几何向量证平行与垂直 用向量语言述线与面之间的平行与垂直关系. 设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则: ?线线平行:或与重合 即:两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 ?线线垂直: 即:两直线垂直两直线的方向向量垂直。 ?线面平行:且在平面外 即:直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外。 ?面面平行:或与重合 即:两平面平行或重合两平面的法向量共线。 ?线面垂直: 即:直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。 ?面面垂直: 即:两平面垂直两平面的法向量垂直。 关键:用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。 知识点一:求平面的法向量 例1.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，,1)，C(3，,2，0)，试求平面α的一个法向量( 解: ?A(1,2,3)，B(2,0，,1)，C(3，,2,0)， ?,(1，,2，,4)，AC,(1，,2，,4)， AB 设平面α的法向量为n,(x，y，z)( ?依题意，应有n?= 0， n?AC = 0. AB ,,x,2y,4z,0x,2y,,,,即，解得. 2x,4y,3z,0z,0,,,, 令y,1，则x,2. ?平面α的一个法向量为n,(2,1,0)( “用向量法”求法向量的解题: ; (1)设平面的一个法向量为n,(x,y,z) (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标;a,(a,b,c),b,(a,b,c) 111222 ,n,a,0, (3)根据法向量的定义列出方程组; ,,n,b,0 , (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。 练习:在正方体ABCD-ABCD中，E，F分别是BB，DC的中点，求证:AE是平面ADF1111111的法向量. 知识点二:利用向量方法证平行关系 O例2.在正方体中，是的中点，求证:. BDABCD,ABCDBC//面ODC11111111 证法一:?=， AD1BC1 ?，又, BC//ADAD,面ODCBC,面ODC111111 ? BC//面ODC11 证法二: ?= +=+++ BB1BC1BC11BO1OC1DO1OD +. =OC1OD ，，共面. ?BC1OC1OD 又BC ODC，?BC?面ODC. ,1111 证法三: 如图建系空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可得 D,xyz 11,,，，1B(1,1,1)，C(0,1,0)，O，C(0,1,1)， 11,,22,, ,(,1,0，,1)， BC1 11,,,，,，,1,， OD,,22,, 11,,,，，0,. OC1,,22,, 设平面ODC的法向量为n,(x，y，z)， 1000 11,x,y,z,0 ?000,,,22nOD，,0,,则 得 ,,11nOC，,0,1, ,,x，y,0 ?00,,22 令x,1，得y,1，z,,1，?n,(1,1，,1)( 000 ?,,1×1，0×1，(,1)×(,1),0， 又BC1n ?BC1?n，?BC?平面ODC. 11 ABCDBEFCBE//CF练习:如图所示，矩形和梯形所在平面互相垂直，， EF,2AE//DCF，BCF,，CEF,90:AD,3，，.求证:平面. 知识点三 利用向量方法垂直关系 M例3(在正方体中，分别是棱的中点，试在棱上找一点，BBABCD,ABCDE,FAB,BC11111 使得?平面. DMEFB11 解:建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D(0,0,2)，1 B(2,2,2)( 1 ?,,,设M(2，2，m)，则 =(1，1，0)，BE=(0， 1， 2)， EF1 , =(2，2，m2). DM1 DM1? ?平面EFB， 1 DM1DM1? ?EF，?BE， 1 ??? = 0且?BE = 0， DM1EFDM11 -2+2=0,,于是 ,-2-2(m-2)=0,, ?m,1， 故取BB的中点为M就能满足DM?平面EFB. 111 EPBC练习:正方体中，是棱的中点，试在棱CC上求一点，使得平ABCD,ABCD11111 面ABP,平面CDE. 111 DC11 A1B 1P DC E AB 课堂小结: 1(用待定系数法求平面法向量的步骤: (1)建立适当的坐标系( (2)设平面的法向量为n,(x，y，z)( (3)求出平面内两个不共线向量的坐标a,(a，b，c)，b,(a，b，c)( 111222 ,a?n,0,,(4)根据法向量定义建立方程组. b?n,0,, (5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量. 2(平行关系的常用证法 ?,λCD.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明AB 直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行( 3(垂直关系的常用证法 要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直( 要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直( 要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直( 课后作业 AB,51.如图, 在直三棱柱ABC,ABC中，AC,3，BC,4，AA,4，,点D是AB的中1111点， (I)求证:AC?BC; (II)求证:AC//平面CDB; 11 1 2(如图，在长方体ABCD—ABCD，中，AD=AA=1，AB=2，点E在棱AD上移动. 11111D (1)证明:DE?AD; 111C1 (2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD的距离; 1 AB1,1 (3)AE等于何值时，二面角D—EC—D的大小为. 1C4D. AEB