函数的周期

明,(,)是R上的周期函数，且2是它的一个周期. (?)解:由(?)知,(,)?,，,?,,，,, 1111? f(),f(n,),f[，(n,1),]22n2n2n 111111n ,,,,,,,,,,ffnffff ()[(1)]()()()[()]nnnnnn222222 11111112n22nf(),af(),a? ,(,)的一个周期是2 ?,(,,，)=,(),因此a= an22n2n2n (三)典例分析: R,1问题1((山东)已知定义在上的奇函数fx()满足fxfx(2)()，,,，则f(6)的值为 06A. 12 B.0C.D. yT,2问题2((上海) 设fx()的最小正周期且fx()为偶函数, A 100，，,2AB它在区间上的图象如右图所示的线段,则在区间上, 0,11,2,,,, B 1 ,,fx(), 12 0x 22fxx()1,，已知函数fx()是周期为的函数，当时，， 2,,,11x，，x 当 时，fx()的解析式是 1921,,x R2，，fxI 是定义在上的以为周期的函数，对，用表示区间， 321,21kk,，kZ,，，，,k 5 函数的周期性与对称性 2，，xI,I已知当时，，求fx在上的解析式。 fxx,，，0k R，，，，，，,,问题3fxfx,fx，2x,3,5((福建)定义在上的函数满足，当时， 104，， ,,,,,,ffsincos,，则 ; ; ，，fx,2,x,4ffsin1cos1,B.A.，，，，,,,,66,,,, 22,,,,,,ffcossin, ffcos2sin2,D.C.，，，，,,,,33,,,, R(天津文) 设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减， fx()fx()(0,3)2056，， 且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 yfx,()x,3 fff(1.5)(3.5)(6.5),,fff(3.5)(1.5)(6.5),,B.A. fff(6.5)(3.5)(1.5),,fff(3.5)(6.5)(1.5),,D.C. R，，，，，，，，，，，，fxfx，y，fx,y,2fxfyf0,0问题4(定义在上的函数，对任意，有，且，1x,R，， ，，，，f0,1fx求证:;判断的奇偶性; 2，， c,,，，，，f,0fx，c,,fx若存在非零常数,使，?证明对任意都有成立; c3x,R,,，，2,, ，，fx?函数是不是周期函数，为什么, R问题5((全国)设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任 fx()01x,1 1，，xx,0,,fxxfxfx()()()，,,意的，都有. 121212,,2，， 11设，求、;证明:是周期函数. f(1)2,fx()12f()f()，，，，24 1,,2a,fn，记，求. lim(ln)a3,,，，nn,,n2n,, (四)巩固练习: p(北京春)若存在常数p,0，使得函数fx()满足， fpxfpx()(),,xR,1.03，，2fx()的一个正周期为 设函数()是以为周期的奇函数，且，则 fxffa11,2,,2.xR,3，，，，，， A.a,2B.a,,2C.a,1D.a,,1 R2函数fx()既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若fx()在上 ,1,03.,, 是减函数，那么fx()在上是 2,3,, 增函数 减函数 先增后减函数 先减后增函数 A.B.C.D. x,1fx(),设，记，则 fxffffx(){[()]},,,,fx(),4.2007nx，1个nf (五)课后作业: x2fx()21,,fx()已知函数是以为周期的周期函数，且当时，，则 x,0,11.，， 3835f(log10)的值为 ,A.B.C.D.25583 6 函数的周期性与对称性 1设偶函数对任意，都有fx(3)，,,，且当时， fx()x,,,3,22.xR,,,fx() 2211，则 fxx()2,f(113.5),,,A.B.C.D.7755 1(),fxRfx(1)，,设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有， fx()3.xR,1()，fx 11,111当?时，，则 fxx()2,f(11.5),,0,xA.B.C.D.22 2Rfxxx()2,,已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，.fx()fxfx(2)()，,,x,[0,2]13.，， R求时，的表达式;证明是上的奇函数( x,,[2,0]fx()fx()2，， 33,,,,0(朝阳模拟)已知函数的图象关于点对称，且满足，又，fx()f(1)1,,fxfx()(),,，4.05,,42,, ，求…的值 f(0)2,,fff(1)(2)(3)，，，，f(2006) (六)走向高考: R(福建)是定义在上的以为周期的奇函数，且在区间内解 f(x)f(2),00,61.053，， 24的个数的最小值是 A.B.3C.D.5 RT(安徽)定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期( fx()2.07 若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 fx()0,[],TT，nn 1 A.0B.C.3D.5 R (全国)已知函数为上的奇函数，且满足， f(x)fxfx(2)()，,,3.96 当时，，则等于( ) fxx(),f(7.5)01,,x A.0.5B.,0.5C.1.5D.,1.5 1fx，,2(安徽)函数对于任意实数满足条件，若， xfxf15,,4.06，，，，，，fx，，则 ff5,，，，， 2 (福建文)已知是周期为的奇函数，当时， fx()fxx()lg.,5.0601,,x 635设则 afbf,,(),(),cf,(),522 A.abc,,B.bac,,C.cba,,D.cab,, R(天津)定义在上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期 6.04 5,,是,，且当时，f(x),sinx，则的值为 x,[0,]f()32 3311, ,A.B.C.D.2222 1R(天津)设f(x)是定义在上的奇函数，且y,f(x)的图象关于直线 x,7.052 fffff(1)(2)(3)(4)(5)，，，，,对称，则 (广东)设函数fx()在(,),,，,上满足fxfx(2)(2),,，，fxfx(7)(7),,，，且在闭区间8.05 7 函数的周期性与对称性 上，只有( ff(1)(3)0,,0,7,, (?)试判断函数的奇偶性; yfx,() 在闭区间上的根的个数，并证明你的结论 (?)试求方程fx()0,,2005,2005,, 8