方底钢筋混凝土球扁壳基于双剪屈服准则的极限分析（可编辑）

方底钢筋混凝土球扁壳基于双剪屈服准则的极限分析（可编辑） 方底钢筋混凝土球扁壳基于双剪屈服准则的极限分析 第 卷 第 期 建 筑 结 构 年 月 !" # $%%" # 方底钢筋混凝土球扁壳基于双剪 屈服准则的极限分析! 陈家瑾 范存新 (苏州科技学院土木工程系 ) $&"%&& 〔提要〕 利用双剪屈服准则建立了用机动法计算钢筋混凝土球扁壳的塑 性屈服线理论，给出塑性屈服线求极 限荷载的方法，使其更加合理。建立了矩形底的钢筋混凝土扁壳的屈服条件，并用无矩和有矩理论求解出方 形底周边铰支的球扁壳的极限载荷。 〔关键词〕 钢筋混凝土 球扁壳 双剪应力屈服准则 极限分析 塑性屈服线 机动法 , !"#"$%&’ *"*+,-.0’-12’*131"&+,-4156,&4-1$1.7’ ,8 .71-"4’ .71 2’*15,&:8"&.71’-;"1 56-"$1-",& / 9 ， ( ， ， ) ’ *+,-,* /-*’0*1,* 203 405*67,707 4829, *9 -*:; 9 *4 4 203 40$&"%&&’ ,*- . : ， % *$-’4$?-6 :4*7 7@,*6 -A , :9A,7 A,4* 7 , : ,* 67 4A -*:7 , :94*:,7,4*6487 6 -A A 6 *7C B :D; *7 , :94*:,7,4*6487 60-A F-6 A ,*84A9 :94*9A 7 6 - 4@ 6 A,9- 6 -A : A,G :DH*:7 ,I,7 E B 4-:6487 ,66 -A 9- 90 -7 :F-6 :4*7 *4CI4I *77 4A -*:7 @,7 CI4I *77 4AD : ; ; ; 18,-5*7@,*6 -A , :9A,7 A,4* 6 - 4@ 6 G,A70- @4AJ A,*9, ,I,7 4-: B B 〔，〕 引言 可算出主方向的折算钢筋 面积 $ ! 。设钢筋第一主应 目前计算钢筋混凝土壳体承载力多采用塑性屈服 力 OP! ，另一主应力 QP! ，与钢筋相应的混凝土 ! ! 6 & 6 $ 线理论的机动法，即假设达到极限状态时，壳体已变成 弯 曲抗压强度 OP! ，另一主方向混凝土弯曲抗压应 ! 9 & 各刚块的机动体，各刚块由塑性屈服线连接，塑性屈服 力 为 QP! ，则混凝土达到极限状态时，钢筋与混凝土 ! 9 $ 线上承受了极限弯矩和极限轴力或只承受极限轴力。 的屈服条件可写成 为: 所谓极限弯矩或极限轴力只认为壳体的单位宽度上所 # & & "# $ & $ & ! % ! ’ ! ! % ! ’ ! 6 6 6 9 9 9 能承受的极限弯矩值或极限轴力与梁截面(梁宽为 ) & $ $ 的极限弯矩或极限轴力相等。但该方法均没有考虑到 & & ( ) ( ) # $ & $ & ! ! ’ ! ! ! ’ ! 6 6 6 9 9 9 另一主方向上弯矩与轴力对壳体屈服的影响，应该说 $ $ 两方向的主弯矩与主轴力对壳体的破坏都起到作用， * & & $ & & $ ! % ! ’ ! ! % ! ’ ! 6 6 6 9 9 9 $ $ 因此其屈服线截面上的极限弯矩和极限轴力并不等于 () " & 单轴应力情况下的极限值。利用双剪屈服准则判断屈 *+ & & $ & & $ ! %! ’ ! ! %! ’ ! 6 6 6 9 9 9 $ $ 服破坏时的屈服条件，可确定屈服线上的极限内力值， & & ( ) ( ) 从而用无矩和有矩理论以及机动法确定极限载荷。 +, $ & $ & % ! ! ’ ! % ! ! ’ ! 6 6 6 9 9 9 $ $ ? 钢筋混凝土球扁壳的屈服条件 & & +" $ & $ & ! %! ’ ! ! %! ’ ! 6 6 6 9 9 9 当壳体屈服时，虽然每一根钢筋是单向受力状态， $ $ $ 但双向钢筋均被混凝土包裹起来，钢筋与混凝土共同 式 中 ， 为钢筋与混凝土单向受力时抗拉强度与混 ! ! 6 9 工作，组成整体，可看成两 凝土的弯曲抗压 强度。设壳体厚度为 ，钢筋保护层 $- 向钢筋被焊接在一起，或 和 相差不大， 取 ， 和 为壳体两主方向每 . .$ .P.$"$ "Q 6 6 熔成一整体。因此两方向 的钢筋面积， 从壳体中单位宽度的单元体(见图 ) I $ 钢筋和两向混凝土都可视 可得: 为双向平面应力状态，它 # - / $:0 "$$ $ $"$ ’ ! ! ’% ! ! & % 9 6 6 "9 6 6 - % () 们也一定服从双剪屈服准 " " $ $ ( ) ( ,) 1 ’ "$$-%. $-% $ ! ! 则(见图 )。设钢筋布置 & 6 6 "9 " & 方向与主方向一致，若钢 图 钢筋混凝土壳的 & 筋布置与主方向不一致， 双剪屈服准则 江苏省 高校自然科学研究项目资助( )。 ! %!K+LM&%&#N RN ! ! ! ! ! && &! && & ( )( ) &! 〔 ! 〕 ! *+ !*" ’ " " " " " " & & & & & " ( ! & ) ( ) ( ! & ) () %, & + 0 # ! 〔*+ !*" ’ !’ 〕 *+ !*" " " " " 因本文只用到方程式( )，( )，其他各段方程也不难用 , . 图 壳屈服时的截面应力 ! 〔，〕 式 ( / 0 ) ()代入式( )中各段屈服方程求得 。 ’ " & 由式( )可求 ， ， ， 如下: 扁壳屈服破坏的双剪屈服准则的塑性屈服线理论 ! # # % % ! ! ! ! ! " $ " $ ( ,) 从式( )，( )中可以看到，壳体达到极限状态时， $ & %&& ’ ! ! / 0 " () ! # ’ " ( ,) ! ! # # ’ *" ! ! ! " 不同区域的两主方向内 力 ， ， ， 的极限值 && &! $ & $ ! ( ,) 是不同的，其单位宽度的理论极限弯矩与轴力并不等 $! %&& ’ ! ! + () ! # " ( ,) ’ *+ ! ! ! " 于单向应力状态下单位宽度理论内力极限值，因此不 ( ) " $ & %&& ’ () 同区域的塑性屈服线上极限内力值是不同的，这要看 ! # $ $ (’ ,) ! !! ! 此塑性屈服线处在何位置。同时壳的屈服区域不是全 ( ) + $! %&! ’ () 壳同时开始，而是有先有后，并且沿图 &折线连续发 ! # $ (’ ,) ! !! ! 展。不难看出球扁壳的中点内力 $ $ & & ! & ! ! " & " ! 设 ， ， ， ， 最大(图 ，)。因此壳体屈服先 $ # $ # & # & # , . & ! ! ! & ! ’ ! ! ’ ’ ’ ! ! ! ! " " " " * * * * 从壳体中心区域开始，因为对 于 ! $ " ，在壳体中央，在对称荷载下， 与 相 , # $ $ ! ! # ! & ! 方形底壳体壳中点， - ， ! && &! $ & " * # ，因此中心区壳体服从 近， 与 相近，因此 与 相接近， 与 相接 -$ ! -. & & # % # % ! ! ! ! & ! " " $ $ 近。从图 可看出， 与 一定服从 段的屈服方 段方程变 化，对于边长比 $ 3 & ! ! -. " $ 程或 段方程，即式( )的 段方程。 的情况下同 样服从-. 段方程 图 球扁壳 /0 & -. , (混凝土部分服从 段方程)， 然 将式( )，( )中消去 之后代入式( )的-. 段方 /0 ’ ! & 后按 段(或 段)变化。综 上所述，对壳体的极限 程，并无量纲化后，得 .2 *- ! 分析作如下假设:)钢筋混凝 土扁壳中某一区域两主 " " & & & & ! ! " " ! & ( ) ( ) $ $ & & % ! % & % & ! & ! ( ) 〔 〕〔 〕 弯矩和两轴力满足屈服准则中的某一屈服方程时，则 ’ *" *+ ’ " " # # ! ! 此处壳体处于极限状态，屈服线上主弯矩和主轴力形 " $ ! $ & && &! , ( ) ( )( ) % % ! % & ! 〔*" *+ *" *+ ’ 〕 成塑性屈服线，破坏时形成几何可变的机动破坏场;) ! " " " " ! ! " " $ $ & & ! 钢筋混凝土扁壳达到极限状态时，其屈服条件在不同 & ! & ! ( ) ( ) ( ) () % ! % ! + , 1 % # 〔*" *+ *" *+ ’ ’ 〕 " " " " 区域采用不同的屈服方程，其塑性屈服线上的单位宽 在壳体的边界上(见图 )，两壳边界多用拱式桁架或 , 度极限弯矩和极限轴力根据屈服方程在不同区域采用 墙，因此，可近似视为活动铰支座，可以认为 # ， $ &-+ 不同之值;)若屈服线的方向(即主弯矩主轴力方向) , ! # ! (或 ， )。因此在边界区，壳屈服时， &&-+ $ !-+ &!-+ 与钢筋方向不一致，可用折算 钢筋面积(或将主弯矩、 内力关系一定服从式( ) 段或 段方程。将式( ) & *- .2 ’ 主轴力分解成与钢筋方向一 致的分量)作为屈服线方 ()中消去 之后，代入方程( )中的.2 段方程，得 " ! & 向和与它垂直主方向的钢筋 面积;)屈服线方向即为 . ! " " " ! $ & & & & ! ! " & ( ! &) 壳体屈服破坏时的主方向， 另一主方向与它垂直。 ( ) ( () ) $ !& & 〔 & ! 〕〔 ! 〕 ! ! ’ *+ !*" ’ " " " ! ! " " , $ $ & & ! ! ( & !) ( ! & ) ( ) % ! & !〔*+ !*" % *+ !*" ’ !’ 〕 " " " " ! ! " " $ $ & & ( ! &) ( ! & () ) () ! & + . 1 # 〔*+ !*" *+ !*" ’ 〕 " " " " 因为球扁壳在均布荷载下的弯矩小，因此以无矩理论 计算其极大限载荷时(略去弯矩影响)，式( )，( )可简 图 机动场 , . . 化为 ! ! " 塑性屈服线求极限荷载的 方法 ! ! && &! & ! ( )( ) 方法的具体步骤为 ) 根据壳体支承情况，由壳体 && %&! % & *" *+ ’ " " " " " " 的类型以及荷载情况确定一 种可解的破坏机构，确定 & & & & , " & ! & ! ! ’ , ( )( ) () %! % % # + / ! 〔 〕 塑性屈服线的位置与方向;)根据壳体的内力大致情 *" *+ *" *+ ’ ! " " " " 21 况确定塑性屈服线的屈服方程;)将塑性屈服线上内 & & , 或 + 2 + 2 1 4 +2 +2 1 ! $ $ $ $ $ " & $ 3 & $ 3 3 . 力分成弯矩与轴力，其取值视不同区域取平均值，无矩 在 中心区与边界区交界处即在 ( ) 或 ’+ 5 &/! ! + 理论中，只考虑轴力所作内力功;)计算屈服线上两侧 & & & & " ( )，有 或 ，代入式( )得 ! +$ +$ 5 &/ +$ +& +& +$ 4 ! 的相对转角和法向相对位移;)利用功能原理计算极 # $ $ " 1 1 " 1 " 1 3 3 3 3 3 3 . . & & ， 或 ， +3$ +3$ +3$ +3$ 限荷载。 & !4 $ !4 & ! $ ! ! 正方形底钢筋混凝土球扁壳的极限分析 +$ 即为 屈服线处轴力，取两者平均值，作为屈服线#*$ 设球扁壳跨度为 ，边拱的矢高为 ，球壳曲率径 ! $ " 的极限轴力 为 。则 # " 1 % 1 " " 3 3 3 3 + ( 1 . ) , . $ " $$ 6$ 3 3 $ $ $ $ () . ! 0 # ! # ! " $ ! % %! %$ % 文中分析采取下列计算前提:)球扁壳两端支承在拱 屈服线 ， ， ， 的极限轴力的确定 & $2 &*$$*! !*""*& 式桁架(或墙)上，下弦由钢筋或钢筋混凝土构件拉住; 这四条屈服线处在边界区，服从 方程或 方 -0 1, )壳体中配置钢筋网，不计角点处配置斜向钢筋;)仅 程。 在交点即 ( )， ( )处 $ ! ’+5 &/ ! +5 &/ ! ! ! 考虑垂直荷载，且认为垂直荷载沿壳曲面投影是均匀 & & + + $ $ $ & 的;)扁球壳的中曲面具有球面形状，且在两相邻周边 " 代入式( )得 &, 有相等矢高，其中曲面方程为 $ $ " 1 " 1 1 " 1 3 3 3 3 3 3 . . % % $ $ 或 ， 或 +2 +2 +2 +2 $ $ $ $ ( ) & & $ $ & ’ () !4 ! !4 ! $ " $ ’ ! 在角点处，即 ， 处，边界为活动铰 ’+ 5! + 5! 〔 〕 $*" 所示， 设扁壳屈服破坏的可能机动场如图 ()，( ) " 支座， ， ，只有 扭剪力 不为零，则有 + +, + +, + - - 则塑性屈服线的极限屈服方程 为: . . 1 $ 1 " 3 3 3 . ()中心区 在 ， 中心点，因 & & ，代 入式( )，得& ，或 + +/+ &, +3 +3 & ’+, +, * -+* . & $ & $ !4 $ $ ! ， ，其中心点附近 与 +* &+*$ +-++.++&++$ * & %$ 1 " 3 3 及 +3$ . 。取两点平均 值作为这四根屈服线 ， 与 的值大小相近，且弯矩较小，因此中心区 & *$ +& +$ ! ( )， ( )，屈服方程一定服从 段 的极限轴力。 ’" &/ ! " &/ ! ,- ! ! 屈服方程即方程( );求解无矩理论解采用方程( )。 取 ( ), 作为等屈服线 ! # + +2 +2 $ 1 $* $ $ " 6$ & $ 3 3 . ()边界区 ， ，壳体进入边界 的极限轴力。必须说明，此处钢筋面积仍用一个方 $ !# ’# ! !# # ! ! ! ! 区。屈服区已从 ,- 段(或 ./)方程转到 -0 段方程 向钢筋面积，这是因为前面已假定钢筋布置为方格网。 (或 )，无矩理论采用式( )。 /1 0 !2 外力功与内力功的计算 如图 ()，区，在 边界处，因为支承条件接 " 1 ! ’+! 从图 ()可看出，外力功为 " 1 近活动铰支边， ， ， $ * +* +, * +* $, + ++ + - & . $ - & " ! 6 ( $ 5 $ !%! ) ， 。因此适用图 的 段方 程。 ! ! , + ++ $, & -0 ! . $ " 无矩理论的塑性屈服线理论解 内力功 #2& 塑性屈服线上只有轴力，裂缝上下贯通完全被轴 ( ) 0 0 0 0 0 $ " $! " #$ $ " $! #$ 〔〕 〔，〕 力拉裂开 $ $ ! ，而形成如图 ()的机动场 。根据塑 〔〕 " 1 从图 ()可知，两个相邻 刚块间的相互转角$ " 性力学的上限定理，由假设的任一机动场所求得的极 " " " " ,! &#$ !# $ $# $ "# $ & ! 限荷载比实际的极限荷载大。极限轴力完全由钢筋承 , " $ " $ " $ " $ $ ! 担，钢筋中应力服从双剪应力屈服准则，因为对称，设 &$ $! !" "& ! ! 屈服线 可示为 12 13 1 $*! $ $ 3 3 3 $ $ $ ( ), & ’ ! 因为混凝土的开裂，退出工作，即可认为式( )，( )中 $ " # 0 ’ % $ # ，则 +, ! & & 根据壳体中的曲面方程， 可得壳体屈服之后，壳体 +& +$ & ( 段) ( ) % $ , ,- 4 1 1 4 水平中性平面方程 3 3 $ & & + + & & ( ) ( ) & $ $ & && ( 段) ( ) 7 " %! % % $ , -0 &, 1 $1 4 $ 3 3 ! ( ) 0 $+ " & % & 8 屈服线 ， ， ， 的极限轴力的确定 $! 6$ $! $! 7 &2 #*& #*$ #*! #*" ’ ( ) & ! % ! 这四条屈服线处在中心区，服从 ,- 段方程，因此 $ # ! " $ ! 1 ( " ) $" ! % 3 3 & & ! ! ! 在 ， 处，将+ + 代入式( )得 . ’+, +, + 4 & $ ! ! ’, 屈服线 可表示为: ( , !"# # $ ) ! $1 ,# ( ) # # # % , 〕 $, ( ), ! ! $ ’ " # %& 令 , ，得 ，代 入式( )，得 ’ ’ -0 -01+/$ $, ( ) - ! ! $ ’ " & ! , # " 31#+ + ’ - # # # * ! ( ) " $ % # ! # 若用现有的屈服线理论求 得 , ， -+13, + ’ - # # ( ) * $ ’ ! ( ) 误差为 ，显然比弱边 梁构件引起壳体开裂破裂的 " * " ! ! ’ !# &# !# !# % & #05 ! ( ) $ ’ ! , 极限荷载大，这是因为四个角点不开裂，而增加了极限 + ( ) # # $ * # ! " + , 荷载值。 ! 根据虚功原理 , - ，得 ! 有矩理论的塑性屈服线理论 , + +1$ 屈服方程 # # * - " # # 因为所举实例为正方形底的扁球壳，且结构与荷 ( ) ’ , , % ! ! , 载对称，则钢筋对称， ， 方向配筋相同，即 $ & +7-+8 # ! ( ) $ " # , ! ( ) 〔 , . % % 〕$# (! ! ! ) $ - ，且在适当情况下， , ，式( )，( )可化为 , / + / -+ . , . ! ! ! 令 , ，得 ，代入式( )，得 两组方程。第一 组，中心区: ’ ’ -0 -01!+ $# -.10! - - # ! ! * ’ ’ & & # # # ( ) ( , ) 2 %2 " # * %* $ 3 . , 。从文〔 〕中得到解 , ，相 $ # $ # 2+ ’ # -,1.,3 + ’ # - # # * ( ) $. & & # # 。 , 差( ), * %* " + . 4 -$!1 5 * $ # - - - !1# 塑性屈服线上虽只有轴力，但混凝土不开裂，混凝 边界 区: ’ ’ & & 土与钢筋共同工作，钢筋与混凝土应力都服从双剪屈 , ( ,)( , ) 2 2 # # * * # $ 3 . " # $ # $ ( ) $! 服准则而屈服。这种情况必须是在壳体不发生裂断的 & & , , * * + . * # $ #" # 前提下。只有在壳体的边梁构件较强情况，在均布荷 第 二组，中心区: 载下，不使角点侧向开裂。因此引起破坏的机动场 为 ’ ’ & & ( ) ( , ) 2 %2 " # * %* $ 3 . $ # $ # ( ) $+ 混凝土与钢筋共同屈服的塑性屈服线组成的机动场。 & & , ( , ) * * , # * % " + .1 3 . $ # 四根屈服线 ， ， ， 的屈服方程为式( )，四 !"$ !"# !", !". ! 边界区: 根屈服线 ， ， ， 的屈服方程为式( )。 $"##", ,".."$ + ’ ’ & & , ( ,) ( , ) 2 2 # # * * # $ 3 . " # $ # $ ( ) 屈服线 ， ， ， 的极限轴力的确定 $ $1 !"$ !"# !", !". & & , , ( , ) * * #" + .1 , #3 . * # $ 利用式( )并采用与上节相同的步骤分析，假设壳 ! +1# 弱边梁情况下的解 体配筋率是适筋，即 , ，此处 , 。 # # -01!! -+ . # 6 # 0 * 第一组解即为弱边梁情况 下的解，混凝土开裂，轴 得 $ , , ， , ，代入式 〔〕 / -+ . % + . . -+ / ! 01!! 0 0 01!! ! 力为拉力 # ，式( )，( )与上节中考虑屈服线上只有 $. $! & ()得: , 或 ! * -4$1$!.+ . * -4#1,03 + # &# &# * 轴向拉力情况相同，此外其极限轴力已在上节中确定。 屈服线 ， ， ， 的极限轴力的确定 #1 $"##", ,".."$ 可利用同样的方法确定屈服线 ， ， ， 的极 $"# #", ,". ."$ $ 利用式( )，并设壳体配筋率为适筋， , ， + / % + . ! 限轴力和极限弯矩为 . -+ , $ ，代入式( )，得 / 0 01!! ! + * -# + ， 2 -# + . &# &# * * & , 或 * -4013+++ . * -4$1 ,# + &# &# # 再根据虚功原理 ， 可得 * , - 得内力功 , + # # * #1,03 # ! " " # , - # # 〔 , . % ( ) ( ) (! ! ! ) " . % ’ , , % , #, !# ! ! ! ’ ( , # $ ) ! ( ) $1 ,# * " ! ! 0 " . &# #, #, % ’ % 〕 〔 ! ( ) , $ ’ ! ! ( ) $ ’ ! , + . ( ) # # $ 0 * ! ( ) %* " ! ! ’ % % &# !# !# % & # # 〔 〕 ! 〕 ( ) ( ) + $ ’ ’ , , % ! ! ! ! # , 当边拱矢高 与壳厚 比为 时，根据 , ， . -0 , # #0 ’ ’ 〔 ( ,) # - ! " . #1,031 # + , . %! , " # # ! ! ! ! * # 得 ， .1#,+ , ，与无矩理论解 , -01!+# -" # + # ’ -" ! $1 ,# # + ( ), 〕 * % 1 $ , # # ! ! * # .10! , 相差 。因 此对于扁壳完全可以 # + # ’ .1.5 # # * . ( ), , " ’ , , % , - ! ! 用无矩理论计算其极限荷载。 利用 , - 得 +1, 强边梁情况下的解 , + # # * #1,03 # ! - " # # 〔 " , . # % , 第二组解即为强边梁情况 下的解。混凝土不开裂， ( ) (! ! ! ) ’ , , % , ! ! ! (下转第 页) ,3 3$ 当!!!时，轴力和弯矩都由钢管部分承 担 ! ! ! ( ) # / % " ! ! () ( ) " " # " " " " 4 % 2 " 2 " " () ( ) # " $ " " " " 7 % 6 " 6 式中 ! & $ 。 式中: ， 为混凝土 部分 ， 方向抵抗弯矩; % % % " " , % % % 2 % 6 - () , ， 为钢管部分 ， 方 向抵抗弯矩。 ’ & ’# ’ " " , " 2 " 6 - ! ! 当 或者 % % % 时 参 考 文 献 !" ! " # " * % % " ! ( ) ! + 钟善桐 高层钢管混凝土结构 黑龙江科学技术出版社， 3 8 8 $$$8 ! ! ( ) # ! % 韩林海 钢管混凝土结构 科学出版社， ’3 8 8 ’!!!8 ,3 蔡绍怀 现代钢管混凝 土结构 人民交通出版社， 8 8 ’!!,8 ! ! % % % 钢管混凝土结构设计与 施工规程( : )中国出版 " " " ( ) /3 9:9;’# $! 8 " % " ! * , ( ), ! + 社， $$’8 ! ! 43 矩形钢管混凝土结构 技术规程( : )中国计划出版 % % % 9:9; 4$ ’!!/ 8 当! $ ! 或者 " ! " * % % " ! ( ) 社， ! ’!!/8 + ( ) 上海市 高层建筑 钢 混凝土结构设计规程(送审稿) !" ! ! ’ 73 8 8 % % " 3 天津市工程建设标准 天津市钢结构住宅设计规程( ― ! ! 8 ?’$ " " % % % ( ) # " ( * ) , ― ) ! 4 ’!!, 8’!!,8 + 福建省工程建设标准 钢管混凝土结构技术规程( ― ― #3 8 ?@ , 4 式中 , 。 ! & ! ! % % % %- % ) ’!!, 8’!!,8 在上述各式中: ， 为钢管混凝土柱轴向力设 !. ! 傅玉勇 钢与混凝土缝 隙试验及方矩管混凝土柱承载力计算理 $3 8 计值和标准值;" 为纯弯受力状态钢管部分抗弯承 论研究 硕士学位论文，天津大学， " ! 8 ’!!/8 载力; ， 为混凝土部分抵抗轴力，弯矩: 李 树海 方钢管混凝土在钢结构住宅中的应用研究 硕士学位论 ! " !3 8 8 % %