向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 (1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 OA，OB，OC,0,(1)是的重心. O,ABC O(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y)证法1:设 112233 ，，xxx,123,x,(,)，(,)，(,),0xxxxxx,,3123,OA，OB，OC,0, ,,y，y，y(y,y)，(y,y)，(y,y),0123123,,,y,3, 是的重心. ,O,ABC A证法2:如图 OA，OB，OC ？ ,OA，2OD,0 EOAO,2OD ？ AD三点共线，且分 ？A、O、DO 为2:1 BDC？是的重心 O,ABC OA,OB,OB,OC,OC,OA,(2)为的垂心. ,ABCO 证明:如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. A OA,OB,OB,OC,OB(OA,OC),OB,CA,0 E,OB,AC O OC,ABOA,BC同理， ,为的垂心 BDC,ABCO ,(3)设a,,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心 b aOA，bOB，cOC,0,O为的内心. ,ABC ABAC？、证明:分别为方向上的单位向量， AB、ACcb ABAC，？平分, ，BACcb bcABAC，,)，令 ,？AO,,(cba，b，c bcABAC，() AO,？cba，b，c 化简得 (a，b，c)OA，bAB，cAC,0 aOA，bOB，cOC,0 ？ (4)为的外心。 ,OA,OB,OC,ABCO 典型例题: P例1:是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足A、B、CO P，，,,,0,，, ，则点的轨迹一定通过的( ) OP,OA，,(AB，AC),ABC A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 分析:如图所示，分别为边的D、EBC、AC,ABCA中点. ？AB，AC,2AD EOP,OA，2,AD ？ ？OP,OA，AP BDC？AP,2,AD ？APAD// P？点的轨迹一定通过的重心，即选. ,ABCC P例2:(03全国理4)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点A、B、CO ABACPOP,OA，,(，),，,,0,，,满足， ，则点的轨迹一定通过的( B ) ,ABC ABAC A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 ABAC？、分析:分别为方向上的单位向量， AB、AC ABAC ABAC，？平分, ，BAC ABAC PB？点的轨迹一定通过的内心，即选. ,ABC P例3:是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足A、B、CO ABACPOP,OA，,(，),，,,0,，,， ，则点的轨迹一定通过的,ABC ABcosBACcosC ( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 分析:如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足. AABAC(，),BC EABcosBACcosC AB,BCAC,BC=， ABcosBACcosCBDC ,ABBCcosBACBCcosC =， ABcosBACcosC =+=0 ,BCBC PD点的轨迹一定通过的垂心，即选. ？,ABC 练习: PPA，PB，PC,01(已知三个顶点及平面内一点，满足，若实A、B、C,ABC AB，AC,,AP数满足:，则的值为( ) ,, 3A(2 B( C(3 D(6 2 OA，OB，OC,0OA,OB,2(若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则( ) ,ABC 11A( B(0 C(1 D(, 22 OA，2OB，2OC,03(点在内部且满足，则面积与凹四边形,ABC,ABCO 面积之比是( ) ABOC 354A(0 B( C( D( 243 HOH,OA，OB，OC4(的外接圆的圆心为O，若，则是的( ) ,ABC,ABC A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 222 5(是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若 A、B、COA，BC,OBO 222，则是的( ) ，CA,OC，AB,ABCO A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 6(的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，， OH,m(OA，OB，OC),ABC 则实数m = ????ABACABAC1???7((06陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则2????|AB|AC|AB|AC||||?ABC为( ) A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形 C(等腰非等边三角形 D(等边三角形 28(已知三个顶点，若，则A、B、CAB,AB,AC，AB,CB，BC,CA,ABC 为( ) ,ABC A(等腰三角形 B(等腰直角三角形 C(直角三角形 D(既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C