不定积分的换元积分法

不定积分的换元积分法 第四节 不定积分的换元积分法 不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题，且被积函数中含有复杂的量(如:、 n、等)，则可以考虑使用换元积分法. axb，arcsinx，， 一、换元积分法 1dx例6(4(1 求不定积分. ,1，x 2xt,解 这里主要障碍是 “”，不妨令 此时 xt, x这样把复杂的量“”换元成最简单的变量“” t1dx则 ,1，x 12 ,dt,1，t 2t ,dt,1，t t，,11 ,2dt,1，t 1 ,,2(1)dt,1，t ,,，，22ln1ttC . ,,，，22ln1xxC，， 1dx例6(4(2 求不定积分. x,1，e x解 同样令主要障碍e，此时 xt,ln,t 1dx则 x,1，e 1 ,dtln,1，t 1,dt ,1，tt，， 11 ,,()dt,tt1， ,,，，lnln1ttC x,,，，xeCln(1). 例6(4(3 求不定积分. arcsinxdx,解 令，此时，则 arcsinxt,xt,sin arcsinxdx, ,tdtsin , ,,tttdtsinsin , ,，，tttCsincos 2. ,，,，xxxCarcsin1 2xdx例6(4(4 求不定积分. 10,x，1，，解 令，此时，则 xt，,1xt,,1，， 2xdx 10,x，1，， 2t,1，， ,,dt1，，,10t 2tt,，21,dt 10,t ,,,8910,,，(2)tttdt , 111 ,,，,，C789749ttt 111. ,,，,，C789714191xxx，，，，，，，，， 从以上例题可见，换元可使复杂积分变得简单，可关键是怎么换. 二、换元积分举例 例6(4(5 用换元法求下列不定积分: xx，,11x(1); (2)edx; (3); dxdx,,,1，xx，，11 11dx(4); (5); (6). xxdx25,dx,,,x3xx1，e，1，，解 x(1) dx,1，x t2,tdt x,1，t 22t,dt ,1，t 2t,，11,2dt ,1，t 1,,,,，21tdt ,,,1，t,, 2= tttC,，，，22ln1 =; xxxC,，，，22ln1，， xedx(2) , t2xtedt, , t,2tedt , tt,,22teedt , t ,,，21etC，， x=21exC,，; ，， x，,11(3) dx,x，，11 t,12 xtdt，,,11，，,t，1 2tt,,2dt ,t，1 2tt,,，22,2dt ,t，1 2,,,,，22tdt ,,,t，1,, 2 ,,，，，tttC44ln1，，=; xxxC，,，，，，，1414ln11，， (4) xxdx25,, 2222,,tt25(),,xttd ,554224tt,,dt ,25 2453 ,,，ttC12575 5324=; 2525,,,，xxC，，，，12575 1(5) dx,3xx1，，， 166 xtdt,,32tt1，，，26t66，,,dt 2,1，t ,,，66arctanttC 6666arctanxxC,，=; 1(6) dx,xe，1 1x2 etdt，,,1ln(1),t 1 ,2dt2,t,1 11,,,,dt ,,,tt,，11,, t,1,，lnC t，1 2,,e，,11,，lnC. ,,2,,e，，11,, 可见前边例子中直接令“”或其它复杂的量“”也就行了.可若“”下含有,t 2“”项，问题就不是那么简单了. x ,,，，22t,,,1,xdx例6(4(6 利用三角公式()换元，求积分. 1sincos,,tt,,,22，， 21,xdx解 , xttdt,sincossin , 2,costdt , 1cos2，t ,dt,2 11 ,，dttdtcos22,,24 11 ,，，ttCsin224 11 ,，，tttCsincos22 11. ,，，arcsincosarcsinxxxC，，22 ,,1，，2t,,,dx例6(4(7 利用三角公式()换元，求积分. 1tansec，,tt,,,222，，4，x 1解 dx ,24，x 1 xtdt,2tan2tan,2sect ,sectdt, ,，，lnsectanttC xx,,. ,，，lnsecarctanC,,22,, ,dx，，2t,0,例6(4(8 利用三角公式()换元，求积分. sec1tantt,,,,,322，，xx,9 dx解 ,32xx,9 dt3sec xt,3sec3,27sec3tantt, 11 ,dt2,27sect 12 ,costdt,27 1 ,，(1cos2)tdt,54 11 ,，，ttCsin254108 11 ,，，tttCsincos5454 1313,,,，，arccossinarccosC. ,,5418xxx,,例6(4(9 求下列不定积分: sinx1，x2xxdx,3(1);(2);(3). dxdx,,,sincosxx，1,x 解 sinx(1) dx,sincosxx， 1 ,dx,1cot，x 1cotxt, darctcot,1，t11 ,,dt2,11，，tt 111t,,,,,,dt ,,2,211，，tt,, 1111t, ,,，dtdt2,,2121，，tt 11111t ,,，,dtdtdt22,,,212121，，，ttt1112 ,,，，，，，ln1ln1cotttarctC，，242 1112=; ,，，，，，ln1cotln1cotxxxC，，242 1，x(2) dx,1,x 1，t2xtdt, ,21,t 2tt， ,2dt,21,t 2tt,，11 ,，22dtdt,,2211,,tt 122,,,,,，21212ttdtdt 查《积分》(见文献文献×) ,,21,t 1t,,22,,,,，,，，212arcsin12arcsinttttC ,,22,, 22 ,,,,,，，211arcsinttttC =; ,,，，2+1arcsinxxxC，， 2xxdx,3(3) , 3sectx,3sec3tan3secttdt , 22,33sectanttdt , 2 ,33tantantdt, 3,，3tantC ,,33; ,，3tanarcscoC,,,,x,, 此题还可以用另一个很简单的解法: 2xxdx,3 , 122 ,,xdx3,2 11222,,,xdx33 ，，，，,2 3122,,，xC3; ，，3 可见换元积分法不是一个很好的方法，凑微分法、分部法均解决不了，再考虑用它. 思考题6.4 1(本节介绍的换元积分法中，换元的根本目的是什么,应注意什么问题, 2(总结一下利用三角公式换元积分法(三角代换法)的三种类型. 3(思考凑微分法、分部法及换元法三种积分方法的优先次序，如何选用, 练习题6.4 1. 用换元法求下列不定积分: 1xxdxdx(1); (2); (3). dx3,,,31，x12，，x1,x，，2. 利用三角代换求下列不定积分: 1122axdx,dxdx(1); (2); (3)( a,0a,0，，，，,,,2222xxa,xx，4 练习题6.4 1.解 xdx(1) ,1，x 2t,1211，,,xtdt ，，,t2 ,,21tdt，，, 23 ,,，ttC23 32=; 121，,，，xxC3 1dx(2) ,312，，x 133 xtdt，,,22，，,1，t 23t,dt ,1，t 2t,，11,3dt ,1，t 1,,,,，31tdt ,,,1，t,, 32= tttC,，，，33ln12 23333=; xxxC，,，，，，，2323ln12，，2 x(3) dx3,1,x，， 1,t-x=t 11dt,，，3,t t,1 ,dt3,t 11,,,,dt ,,23,tt,, 12 ,,，，C2tt 12=. ，，C2x,11,x，， 22axdx,2. 解(1) a,0，，, xatatdat,sincos(sin), 22 ,atdtcos, 2a,，1cos2tdt ，，,2 22aa,，，ttCsin2 24 2axx22arcsin，,，axC=; 22a 1dx(2) ,22xx，4 1 x2tan2tan,tdt2,4tan2sectt 1cost,dt 2,4sint 11 ,dtsin2,4sint 1 ,,，C4sint 1x,,,,，cscarctanC; ,,42,, 1dx(3) a,0，，,22xxa, 1 xsecsec,atdat,atatsectan 1 ,dt,a 1 ,，tCa 1a( ,，arccosCax