如何求双曲线方程的标准方程

如何求双曲线方程的标准方程 黄薄喆 求双曲线的标准方程主要是求实半轴长(a)和虚半轴长(b)。基本思路有两条途径:一是根据条件直接求得a与b的值;二是根据设条件设出 (a>0，b>0)标准方程，再建立关于a与b的方程组，进而求得a与b的值。 一、直接法 直接法就是不设出双曲线的标准方程，而是根据双曲线及相关圆锥曲线的几何性质等建立方程(组)直接求出a与b的值。但是求解时，必须首先明确焦点在哪条坐标轴上。 例1 已知双曲线的离心率为2，焦点是(,4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A. B. C. D. 分析:由焦点坐标可以知道双曲线焦点位置及半焦距的长c，由离心率可得到实半轴长a与c的关系。 解:由条件知双曲线的焦点在x轴上，半焦距c=4，离心率。所以a=2，=，所以双曲线方程为，故选A。 点评:解答此类题型的关键是要正确判定双曲线焦点的位置(有焦点在x轴或y轴上或两种情况并存的情况)，以确定标准方程的类型及所求方程的个数。 二、定义法 此主要适用于求动点的轨迹方程，解答时必须首先根据题设条件判定所求点的轨迹为双曲线，然后根据条件中的其他条件确定a、b的值，进而得到双曲线的标准方程，即为所求点的轨迹。 regularly, neat in appearance, the main-beam with small harness line must be smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90-degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should 例2 已知动圆M与C:，C:均外切，则动圆圆12 心M的轨迹方程是____________________。 分析:根据两圆相切的条件可以确定出等式。由此知动圆圆心M的轨迹为双曲线的一支，然后再根据相关条件求得实半轴长a与虚半轴长b的值。 解:设动圆M的半径为r， 则，。 ?， 故点M的轨迹是以C、C为焦点， 12 实轴长为1的双曲线的一支， 。 ?(x<0)， M的轨迹为该双曲线的左支。 点评:本题充分挖掘题设中所给的几何性质，巧妙运用平面几何的知识，得到相关线段间的几何关系，结合圆锥曲线的定义判断所求点的轨迹的类型，这体现了平面几何知识在解析几何中的简化作用。 三、待定系数法 利用待定系数法，就是根据题设条件设出所求的双曲线方程，然后建立方程或方程组求得参数。但在求解过程中，若能将条件与双曲线标准方程特征联系起来，巧妙设出相应的双曲线标准方程或变式方程，则可达到避繁就简的目的。 例3 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P()和Q(，6)两点的双曲线方程。 分析:此题若设双曲线的标准方程，需分两种情况来解，比较繁琐，如果设方程(mn?0)来解，则要简单得多。 解:设双曲线方程为。 regularly, neat in appearance, the main-beam with small harness line must be smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90-degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should 因为点P、Q在双曲线上， 所以， 解得， 所求双曲线方程为。 点评:若已知曲线经过两点，则求椭圆或双曲线标准方程时，都可将方程设为 =1。 而且这种设法，可用来解决焦点不确定的情况。 regularly, neat in appearance, the main-beam with small harness line must be smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90-degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should