行列式计算方法

行列式计算方法 目 录 中文摘要、关键词 ................. 错误～未定义书签。II 绪 论 ............................................... 1 1行列式的定义及性质 ................................. 1 1.1行列式的定义 .................................... 1 1.2行列式的性质 .................................... 2 2求解行列式的方法 ................................... 3 2.1行列式的常用方法 ................................ 3 2.2其它方法 ....................................... 15 2.2.1拆项法 ...................................... 15 2.2.2因式分解法 .................................. 16 参考文献 ........................................... 18 英文摘要、关键词 ............. ...错误～未定义书签。III 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业下载 QQ625880526 行列式计算方法 摘要 行列式的计算在代数中具有重要地位，对于行列式的计算，往往由于方法的不同难易繁简程度差别甚大，欲使计算过程简单明了，要善于选择适当的方法，掌握一定的技巧。初学者会感到计算行列式很困难，行列式的计算方法主要是运用行列式的性质，但如果没有掌握计算方法往往花费许多时间还是得不出结果，因此按方法类型学习，一般效果较好。而对行列式进行计算不是唯一目的，主要是利用行列式去解决一些问题，使复杂问题简单化。懂得如何计算行列式显得尤为重要，行列式的计算方法多种多样。本文先给出行列式的定义以及基本性质，然后介绍各种具体的计算行列式方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法来提高我们对行列式的认识，给我们以后的学习奠定坚实的基础。 关键词 行列式，上三角，范德蒙行列式，递推法 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 The calculating methods of determinant Abstract The determinant computation plays an important role in algebraic. Some of the determinants are easy but some are difficult. That is all depend the method we selected. We must have the ability to select appropriate method in order to make the calculation process simple and clear. Beginners will feel difficult to calculate the determinant. the calculation of determinant always use the properties of the determinant.But if we have not master the method of calculation, we may spend a lot of time in calculating it and get nothing. So knowing kinds of determinant is help for the result. On the determinant calculation is not the only purpose, mainly using determinant to solve the problems, so that the complex question simplification.Knowing how to calculate determinants appears particularly important. The calculating methods of determinant variety.This paper first presents the definition and basic properties of determinant, then introduced some methods of calculation of determinant, the determinant and other knowledge links in several other ways.Through this series of methods to enhance our understanding of the determinant,we will fell easy when we are calculating a determinant in the later learing. Keywords determinant, triangle, Vandermonde determinant,Recursive method 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 绪 论 行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，因此对行列式的学习应予以重视。计算行列式的基本方法奠定了高等数学的理论基础，同时也为数学在现实生活中的广泛运用提供了理论依据，总而言之，其具有实质上的研究价值。 总的原则是:充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值;有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。 1行列式的定义及性质 1.1逆序数和行列式定义 在引进行列式的定义之前,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念. (1),级排列:由1，2，3…,组成的一个n元有序数组称为一个,级排列。 (2)在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即:前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。 (3)逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列。 下面，引入行列式的定义: aaaa1112131n aaaa2122232n aaaa定义:n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的3132333n aaaannnnn123 aaaa乘积的代数和,这里j,jjj为1,2,3,……,n的一个排列,每一项都按下12,3,……n 123jjjnj123n aaaa列规则带有符号,当jjjj是偶排列时, 带有正号,当jjjj是奇123……n123……n123jjjnj123n aaaa排列时,带有负号。 123jjjnj123n : 即 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 aaaa1112131n aaaa2122232ntjjj()12n(1)aaaaaaaa,,， ,3132333123njjjnj123njjj12n aaaannnnn123 这里为的逆序数。 tjjj()jjj12n12n 注: 对于用逆序数给出的行列式的定义应该抓住如下四条: (1)行列式与矩阵不同，行列式的值是一个数。 (2)n阶排列的总数是n～个，故n阶行列式的展开式中共有n～项。 (3)每项是取自不同行不同列的n个元素的乘积。 (4)在行下标按自然顺序排列的前提下，每项前面的正负号取决于列下标组成的排 列的逆序数的奇偶性，其中一半取正号一半取负号。 0010 0200 例1 。 计算行列式　D,n n,1000 n000 (1)(2)nn,, 2Dn,,(1)!解:不为零的项只有,所以。 D　aaaan,～nn,,,,2211nnnn,, 1.2行列式的性质 行列式基本性质: 性质1 行列式的行列互换，行列式不变。 性质2 某行(列)的公因子可以提到行列式符号外。 性质3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行 列式的和，这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行 (列)元素与行列式相同。 性质4 两行(列)对应元素相同，行列式的值为零。 性质5 两行(列)对应元素成比例，行列式的值为零。 性质6 某行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式的值不变。 性质7 交换两行(列)的位置，行列式的值变号。 下面来证明性质7 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 aaaaaa11121n11121n aaaaaaaaa，，，iiin12ikikinkn1122 证明: = aaaaaakkkn12kkkn12 aaaaaannnn12nnnn12 aaaaaaaaa11121n11121n11121n aaaaaaaaaaaa，，，ikikinkn1122kkkn12kkkn12 === ,,,aaaaaa,,,aaaiiin12iiin12iiin12 aaaaaaaaannnn12nnnn12nnnn12 这里，第一步是把k第k行加到第i行，第二步是把第i行的(-1)倍加到第k行，第三步是把第k行加到第i行，最后再把第k行的公因子(-1)提出。 2求解行列式的方法 2.1行列式的常用方法 常用的行列式求解技巧包括化三角形解行列式法，降阶法，递推法，利用范德蒙行列式的结论，数学归纳法，加边法等等。 2.1.1可直接利用性质计算的行列式 对于2阶行列式，可以采用对角线法则来记它的值: aa1112， =aaaa,11221221aa2122 即对角线上2个元素的乘积取正号，反对角线上2个元素的乘积取负号，再求其代数和。 情形1 奇数阶反对称行列式 aaa例2 在n阶行列式=中，若元素满足=-(i，j=1,2，…，n)，则称DDijijijnn为反对称行列式。证明奇数阶反对称行列式的值为零。 aa,,　证明: 由知，即.故行列式可示为: aa,,ain,,0,1,2,ijjiiiiiii 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 0aaa12131n ,aaa012232n 　　Daaa,,,0, nn13233 ,,,aaa0123nnn 由行列式的性质AA,'， 00,,,aaaaaa1213112131nn aaaaaa00,,,1223212232nnnnDaaaaaa,,,,,,0(1)0 ,,1D，，nnn1323313233n aaaaaa00,,,123123nnnnnn 由于n为奇数，所以，即，故。 DD,,20D,D,0nnnn 注: 偶数阶的反对称行列式不一定为零。 0bcd ,,bdc02222如4阶反对称行列式。 Dbcd=(+),，n,,cdb0 ,,dcb0 情形2 各元素均为两数之和的行列式 ababab，，，11121n ababab，，，21222n例3 计算n阶行列式 D,。 n ababab，，，nnnn12 解: 将第一行的(-1)倍加到2，3，…，n行，得 ababab，，，11121n aaaaaa,,,212121D,。 n aaaaaa,,,nnn111 当n?3时，由于上式右端的行列式中至少有两行成比例，故。 D,0n abab，，1112当n=1时，Dab,，;当n=2时，有 D,1112abab，，2122 ,，，,，，()()()()abababab,,,()()aabb112212211221情形3 参数取值使行列式为零的行列式 当行列式的元素中含有参数x，且参数x的某些取值，如x=a,使行列式的表达式中 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 应含因子x-a。如果可以找出行列式的所有因子，求出特定常数即可得到行列式的值，这种求行列式的方法叫作析因子法。 1123 212x23,例4 计算行列式。 D=42315 22319-x 22x=1,解:观察可知，当，即x=+1或-1时，中第1,2行对应的元素相等，从D4 29x=5,而这表明有因子(x-1)(x+1);而当，即x=+2或-2时，中第3,4行D,0DD444对应元素相等，于是=0，这表明有因子(x+2)(x-2)。根据行列式的定义知，为DDD444x的4次多项式，故D,,,，，kx1x2x1x2其中k为待定常数，取x=0，则上，，，，，，，，4 式右边为4k，而左边为 11231123 12230100， D===-124231500-3-1 23190004 即-12=4k，于是k=-3，故=-3(x-1)(x-2)(x+1)(x+2) D4 2.1.2 计算行(列)和相等的行列式 对于各行(列)相等的行列式，将其各列(或行)加到第1列(或行)或第n列(或行)，把行列式化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 abbb babb 例5 。 计算阶行列式　nD,bbab bbba 解: 这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，列都加到第1列上，行列式值不变，即 n anbbbbbbb，,(1)1 anbabbabb，,(1)1 Danb,,，,　　　[(1)]anbbabbab，,(1)1 anbbbabba，,(1)1 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 1bbb 000ab, n,1 　　　,，,anb(1),，,,　　[(1)]()anbab000ab,,, 000ab, 1111,,x 1111,，,x计算行列式例6 。 1111x,, x，,,1111 解: 这是每行和相等的行列式，把第2、3、4均加到第一列，得 xxx,,,,1111111 xxx,，,,，,1111111,,x原式 xxx,,,,1111111 x,,,,1111111 1111,,x111, 00xx,24,,,,xxxx00 00xx,00x 000,x 2.1.3降阶法(按行(列)展开法) 降阶法是按某一行(或一列)展开行列式，这样可以降低一阶。更一般地是用拉普 拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利 用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。 a0001 0000a 0000a例7 计算行列式 。 D,n 0000a 1000a 解: 按第1行展开: aa000000 000000aa n，～,,　　，　 Da(1)000an 000a 0001000a 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 nnnnnnnn，,,,1222aaaaaa，,,,,,,(1)(1) =。 2.1.4三对角行列式计算 (1)这种行列式利用递推公式法，根据行列式的构造特点，建立起与的递DDnn，1推关系式，逐步推下去，从而求出的值,有时也可以找到与,的递推关系，DDDDnnn，1n最后利用得到的值. D,DD12n 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 ,,,,，000 100，,,,, 0100，,,例8 计算行列式 。 D,n 000，,,,, 0001，,, 将行列式按第n展开，有解: DDD,，,(),,,,,nnn,,12 DDDD,,,,,,(),nnnn,,,112 DDDD,,,,,,(),nnnn,,,112 n22nn,得 。同理，得 , DDDDDD,,,,,,,,,,,,,()()DD,,,,nn,1nnnn,,,12321 n,(1),;n，,,,, ,，，11nn所以 D,,,,,n,.,,,,,,,, 1000,aa ,,1100aa D,0110,,aa例9 计算五阶行列式 的值。 5 0011,,aa 00011,,a 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 解:(1)按第一行展开，得递推关系式: DaDaDaaDaDaD,,，,,,，，(1)1[(1)]543323 2 ,,，，,[(1)](1)aaDaaD32 2 ,,，,，,，,(1)[(1)(1)](1)aaaDaaaaD22 222 ,,，,,，，,，,,，(1)[(1)(1)(1)](1)(1)aaaaaaaaaaa 2345,,，,，,1aaaaa (2)这种行列式还可以用数学归纳法证明。即验证n=1时结论成立，设n=k时结论成立，若证明n=k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立。 cos100, 12cos10,例10 证明 ,,。Dnacosn0 0012cos, 分析:所给行列式是三对角行列式，如果按第1行(或列)展开，虽然行列式降了，但得不到相应的递推公式，所以该行列式宜按第n行(或列)展开。 证明:按第n行展开得 cos1, 12cos,nn，，1 。 DD,，,,,2cosDD2cos1*(1),nn,1nn,,121 12cos, 采用数学归纳法证明。当n=1时，，结论成立。设n?k时，结论成立。则当D,cos,1 n=k+1时，有 DDDkk,,,,,2cos2coscoscos(1),,,,k11，,kk ,,，2coscos(coscossinsin),,,,,,kkk ,,,，coscossinsincos(1),,,,,kkk 注:第二数学归纳法是先验证n=1时命题成立，假设命题对于n?k的一切自然数成立，如果推出n=k+1时命题也成立，则命题对于所有的自然数n都成立。由于上题的递推公式中与和都有关系，所以采用第二数学归纳法来证明。 DDDk，1kk,1 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 x,1000 0100x, 例11 证明行列式 D,。 0001x, aaaaax，nnn,,2321 证明:结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式 进行求解 x,12时， 。 当n,2Dxaxaxaxa,,，，,，，　()21212axa，22 kkk,,12假设当时，结论成立，即。 nk,Dxaxaxaxa,，，，，，kkk121, 当时，把按第一列展开，得 nk,，1Dk，1 kkk,,12 DxDaxxaxaxaxaa,，,，，，，，，()kkkkkk，，,，111211 kk，12 ,，，，，，xaxaxaxa111kkk,， 由此，对任意的正整数，有 n nn,12. Dxaxaxaxa,，，，，，nnnn121,, 2.1.5箭形行列式的计算 对于形如，，，的所谓箭形(或爪形)行列式，可以直接利用行列 式性质化为三角或次三角形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一边消为 零。 例12 计算n+1阶行列式 a1110 100a1 ,Da100 。 (0)aaa,n，1212n 100an 解: 11a,,,1110aan1 nna11。 Daa,,,,,()，ni10,,ii11aa2i an 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 1111 0021 D,。例13 计算 n n, 0101 n 001 11111(1),,,2n 0020 D,解: n 0100n, 000n nn(1),112,,,,,n(1)!(1)。 n2 2.1.6可采用升阶法计算的行列式 加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 行列式的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n阶行列式，如除对角元(或次对角元) 外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一边一列变成n+1的阶行列式，特别是 T第一列为并适当的选择第一行的元素，就可以使消零化简更方便，且化简后(1,0,0) 变成箭形行列式，这一方法为升阶法或加边法。 xaaaa， 123n axaaa， 123n Daaxaa,，。nn123例14 计算阶行列式 n aaaxa，123n 解:该行列式除对角元之处，各行的元素均为(,,,)aaa12n 1aaa12n1aa1n,100x第行减第i1行0D, in,，2,,1,100xnDn 0,100x 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 na j1，aaa,n12xj1,n a,,jn1,，x,,,,000x 。 x,1j,,000x x000 21，xxxxx1211n 2xxxxx1，2122nD,。例15 计算n阶行列式 n 2xxxxx1，12nnn T成比例。 分析:该行列式除除对角元外，各列元素均与(,,,)xxx12n 解: 10001,,,xxx12n2 x100xxxxxx，1111211n升阶2,x010Dxxxxxx，1 2nn22122, 2x001xxxxxx，1nnnnn12 221000，，，xx1nn x100122,,，，，1xx。 x010n12 x001n 1111，a1 1111，a2 Da,，1111例16 计算n阶行列，其中。 aaa,0n312n 1111，an 解: 该行列式除对角线元素外，其余元素均为1，给行列式加一行一列变为 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 1111 ，a01111 DaD,，0111= nn，12 ，a0111n 的第一行的-1倍加到其他各行，得 将Dn，1 1111 100,a1 100Da,, 12n， 100,an 1iin(2,,1),，已知，将行列式第一列加上第列的倍，得到: a,0iai,1 n11111，1111,ai,1i,100a1000a1 DDa,,,,100 nn，12000a2 ,100an000an a001 nn00a,,,,112,，,， 1 1aaa。 ,,,,,,12naa11ii,,ii,,,, 00an 2.1.7相邻行(列)元素差1的行列式计算 以数字1,2，…，n为(大部分)元素，且相邻两行(列)元素差1的n阶行列式可以如下计算:自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列);或自第n行(列)减去前行(列)，即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步简化即出现大量的零元素。 对于相邻两行(列)元素相差倍数k的行列式，采用前行(列)的-k倍，或后行(列)减去前行(列)的-k倍的步骤，即可使行列式出现大量的零元素。 aij,,例17 计算元素满足的n阶行列式。 Dijn 解:根据题设写出n阶行列式 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 01221nn,, 10132nn,, 21043nn,, D,n nnn,,,23401 nnn,,,12310 这是相邻两行(列)元素差1的行列式，习惯用前行(列)减去后行(列)的方法 计算，得 ,11111 ,,11111 ,,11011 D,n ,,,,11111 nnn,,,12310 ,10000 ,,12000 ,,,12200 ,。 ,,,,12220 nnnnn,,,,123241 例18 计算n阶行列式 221nn,,1aaaa nnn,,,132aaaa1 nnnn,,,,2143aaaa1 D,。n 234aaaa1 231n,aaaa1分析:这是相邻两行(列)相差倍数a的行列式，可采取用钱行(列)减去后行(列) -a倍的方法化简。 解: n10000,a n01000,a n00100,ann,1 Da,,,(1)。n n00010,a n231,aaaa1 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 2.1.8范德蒙形行列式的计算 范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点，因此遇到具有逐行(列)元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值。 范德蒙(Vandermonde)行列式: 1111 aaaa123n2222,,,aaaaaa() 123nij,,,nij1 ,,,,nnnn1111aaaa123n * ， ()()*aaaa,,()aa,,,,,()()()*aaaaaa322nnn,121311n 即等于这n个数的所有可能的差的乘积。 aajin,,,,(1)aaa,,,ij12n 111 xxx，，，11112n222Dxxxxxx,，，，例19 计算行列式 。 1122nn ,,,n-12n-12n-12nnnxxxxxx，，，1122nn 解:从第一行开始，依次用上一行的(-1)倍加到下一行，便得到范德蒙行列式 111 xxx12n222,,,Dxxxxx()。 ,12nij,,,nij1 ,,,nnn111xxx12n 例20 计算4阶行列式 1111 abcd D,。2222abcd 4444abcd 分析:D不是范德蒙行列式，但具有该行列式的特点，可考虑构造5阶范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果，简接的求出D的值。 解:构造5阶范德蒙行列式 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 11111 abcdx 22222 D,abcdx 33333abcdx 44444abcdx 则 按列展开5234 DAxAxAxAxA====，，，，1525354555 345，x其中的系数为。进而利用范德蒙行列式的结果得: ADD,,,,(1)45 Dbacadaxacb,,,,,,()()()()() ()()()()()dbxbdcxcxd,,,,, ,,,,,,()()()()()bacadacbdb 43 ()[()]dcxabcdx,,，，，， 3x,,,,,,,，，，()()()()()()()bacadacbdbdcabcd其中的系数为故Dbacadacbdbdcabcd,,,,,,,，，，()()()()()()()。 2.2其它技巧 学习中还会有其他类型的行列式，下面对一些不是很常用的行列式的解法，如拆项法，因式分解法等进行归纳。 2.2.1拆项法 拆项法是将给定的行列式的某一行(列)的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的，使问题简化以利计算。 例21 计算n阶行列式 ababab，，，11121n ababab，，，21222nD,。 n ababab，，，nnnn12 解: 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 a，ba，b？a，bba，b？a，b11121n121na，ba，b？a，bba，b？a，b21222n222nD,， n？？？？？？？？a，ba，b？a，bba，b？a，bn1n2nnn2nn ab？b1a，b？a，b12n121n ab？b1a，b？a，b22n222n ,，b1？？？？？？？？ ab？b1a，b？a，bn2nn2nn ab？b1a？a12n11 ab？b1a？a22n22,， b1？？？？？？？？ ab？b1a？a2nnn =0 ,a，a？a112n ,aa，a122n例22 计算行列式 D,。 n？？？？ aa？a，,12nn 解: ,aa？aa？a12n12n ,,aa，aaa，a122n122nD,， n？？？？？？？？ aa？a，,aa？a，,12nn12nn ？aaa12n ,0a2n 　,，,D1n,1？？？？ 00？,n n,,ai,,,,,,,,。 ,，,，？？？？1aD,12n1n,112n,,,i,1i,, 2.2.2因式分解法 f(x)f(x)D如果行列式是某个变数的多项式，可对行列式施行某些变换，求出的x g(x)D,f(x),cg(x)f(x)互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为，则，再比较 g(x)与的某一项的系数，求出c值 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 123n 113xn，例23 计算行列式 Dxn,，123。n 1231x， x,1时x,2,？,x,(n,1)解:当,所以，同理均为的因式,又因D,0,x,1|DDnnnx,j(i,j)为与各不相同，但的展开式中最高所以　(x,1)(x,2)？(x,n，1)|DDx,innn,1x次项的系数为1，故。 D,(x,1)(x,2)？(x,n，1)n 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526 参考文献 [1] 徐仲 陆全 张凯院 吕全义 安晓红《高等代数考研》 西北工业大学出版社 2009 年7月修订版 44-82 [2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编 《高等代数》 北京: 高等教育出版 社(第二版) 1987 51 -103 [3] 熊廷煌 《高等代数简明教程》 湖北教育出版社(第一版) 1987 83-113 [4] 张禾瑞. 郝炳新 《高等代数》北京: 高等教育出版社(第四版)1999 103-140 [5] 王品超 《高等代数新》 山东教育出版社 1989 45 - 46 [6] 许甫华 张贤科 《高等代数解题方法》 请华大学出版社2001年9月第一版 36 - 63 《高等代数题解精粹》 中央民族大学出版社 2002年10月第一版 22 - 56 [7] 钱吉森 [8] 钱芳华 黎有高 卜淑云 邓培民 《高等代数习题课教材》广西师范大学出版社 1997年2月第一版77-106 [9] 王萼芳 《高等代数教程习题集》 清华大学出版社 1997.5月第一版 1 - 36 论文写作指导、各类文案代写、各类毕业设计下载 QQ625880526