魔方公式

，形成： 做好这一步其实你只要学会一招就够了。那个蓝色的角 色块，转来转去之后就6种位置， 注意哦，我们归位的小角块的。比如这里的小角块必须上到角，不能上错哦，否则T字就出不来啦。可能有的朋友已经觉得我 像唐僧了，不过确实有的朋友有这个问的，我还是要说的详细一点。位置转法如下： 此步很巧妙，同时达成两个目 的:一个是让顶层的目标角位让角块 转到置到底层来“接应”角初始状态 转回顶层。 目标位。 块，另一个是让角块也 准备到了应有的位置。 ，变成形如 由上一步到这一步的图，大家肯定看出了这步我们要 处理的是中间层，，，四个。这 次，你先把魔方翻过来了，朝下，朝上，再看看 以上4个棱色块哪些位于顶面（为中心的面），随便 选择一个，我们就从它开始，这里以为例，通常，你 会碰到两种情况， 我们要把顶层棱色块插入到上图所指的位置，你应该把所夹的角放在最靠近你的位置（右前），然后一、二种情况非常好识别了， 分别在和。 对于，使用下面的算法， , 整个算法是，是不是很有规律？我们看，好 像后一半正好是 前一半的吧，是 吧？我们看前四步的作用是把左图里我们要的两个小 块组合起来，上表中标为红色的第5图显示了组合好的两个 色块，而后四步则是把我们组合好的两个小块 , 所以，如果你碰见， 该怎么办呢？可能好多朋友都看出了，我们的算法应该是上 面算法的，因为我们所要做的就是对着照个镜子，因为前半后 半互为，所以算法就是前半后半颠倒过来，成为， 会有一些情况下，你需要的棱色块不在顶面，而在第二层的 错误位置或者朝向，这时咋办？首先，你要先做在顶面上的那些， 可能不听话的棱色块会自己变到顶面上，如果最后他还是不听话， 如左图，我们就用上面算法把个无关大局的棱色块搞到该位置， 我们要的那个棱色块就自然换到顶层了，这稍微有点麻烦， 不过对于我们初等解法只能这样先忍忍了。 同样重复做其他三个棱，第三步就完成了。我们到现在为止一共就学了2个算法吧，所以大家要加油啊。 变成： 下面我们要学一个新的算法，这个算法会把顶层在如下4种情况中，顶面的4个棱色块在旋转之后，也只可能有这4种情况， 1 2 3 4 概率1/8 概率1/4 概率1/2 概率1/8 这步我们 把角色块都当成的，只看棱色块，比如你要见 到左图这样，就算是上面第3种情况,见到右图这样，就算上面 第2种情况。 在应用算法前，你应该参照上图顶面的样子来确定你 ，我们只要对出十字就好啦，并不需要十字侧面 的颜色和下两层吻合。请注意，这个算法在这4种情况中切换，也就是如 果你遇见“点”(就是上面第一个图)，你就要应用3次这个算法( )，遇见“一”字就要应用2次算法，我越来越觉得自己像唐僧了。 另外，在“一字”的时候，你也可以试试 转换算法：R' F' U' F U R F' U' U F R R' 你观察一下就知这个算法是上面算法的逆算法。他可以直接从“一”字就对 好十字的。 , , ：这里有一个问题，为什么说只有这4种情况呢，这样不会 出现吗？ 答案是不会， 如果你的魔方真出现了上面的情况， ，如果他随机组装， ，解决的办法是，你 翻转的这个棱，也就是说魔方你单独只翻转一个棱就不能还原了，但是你任意的翻转两个棱就一定可以还原，这是可以数学证 明的。 魔方顶面的四角只可能有8种情况，第一种就是， 而其他7种如下。 4/27 4/27 4/27 4/27 4/27 2/27 4/27 如果你想了解上面的概率怎么算出的可以看看这页，上面7个数字加起来是26/27,还有1/27的概率就是对应已经对好。 。 关于为什么只有这8种情况，我又要发一通大道理了，如果急着要看算法可 以先跳过：） 首先我们观察1，2两种情况，在这两种情况里，3个未对好的块在旋转意 义下是处于的位置的，对吧。这是他们一个特点。绿色在每个角有3种朝向，如果我们对4角进行标记，不妨把1情况叫做(1113从右上角开始标号），2情况叫做（2223），括号里的3就代表绿色块已经在顶面了，3情况（1233），4情况（2133），5情况（1323），6情况（1212），7情况（2112），你有没有发现一些规律呢？括号里数字的和一定是3的整数倍！为啥非得是3的整数倍？建议你去看看一开始的魔方总变化数道理，那里面证明了角块朝向的角度和应该 是360度的整数倍。这个限制，决定了我们只能有8种情况。 这个问题真是不特别简单，首先，我们出个题啊，要是魔方顶面4个角位置可以标号1、2、3，就像上面一样可以标成是（1113）（1233）等等，去除旋转后相同的情况，共有多少种标法？ 如果不去除旋转相同，那么4个角就是可以区分的，这个答案很简单就是 3^4=81种情况，对吧，但是如果去除旋转相同，就 比较复杂了，比如1113和3111是同一种标法，只是魔方顶面转了90度而已，你可以自己先想想这个题。 这是个组合数学的经典问题，叫做Necklace problem（就是用几种颜色的 珠子穿项链），或者叫做polya定理，如果有兴趣也可以到这里看看，不过我还是推荐你先自己想一下，这里面的公式会一下子让你很faint，如果你对“欧拉数”之类的概念不熟或根本没听说过的话。 我们这种情况不用mathworld里面的那个公式，枚举法就可以啦：）不过要 想的周密一点，答案是24种，我验算了和那个恐怖公式给出的答案一样。而在 这24种里，4个数字的"和"被3除的余数，应该是平均分配给0，1，2吧，这个我没有证明，呵呵，这样被3整除的应该就有8个了吧。就是 对好+这7种： 现在我们开始说算法了，对于，我们应该把顶面已经是那个角放在最上面(也就是"左后角")，这时你不用关心下面两层 的哪面朝前， 应用下面算法，这个算法的作用就是 ，同时把下面三个角的翻上去。 对于,我们应该发现他就是一情况的是 吧,所以上面算法去做对角线镜像就得到了情况二的算法： 你有2/3的概率碰到他们，其实你完全可以自己用1，2算法试试翻这么几次，看看会发生什么，慢慢就找到规律了。3-7情况都是用1，2算法的组合解决，最多用2个算法。 这步很简单，首先转转顶面看看是不是已经对好（概率 1/6），如果不是就首先找一条边，这条边的两个角 （概率2/3），像以下这些例子，另有1/6的概率你找不到这 样的一条边，我们一会儿再说。 两角中间的棱颜色和下面两层的颜色我们不用关心。现在把这条边 ，以上表最后一个为例，变成， 正面 然后应用下面算法， 如果应用完算法 ，四个角还没有和下面两层的颜色吻合，转转就可以了。 这步本质上的作用就是。或者说做了这样的 ，这两个作用在顶面旋转过后是等效的。 如果你碰到的情况， ，就一定可以找到啦，如果你感兴趣这是为什么，可以看看这页。 这种情况其实是你需要交换一个对角线上的两个角。 另外，你也可以试试下面这个算法的左右镜像，使用方法一样，效果也一样。 F R R' R' B2180 F' R2180 R' B2180 最后一步啦，大家是不是都很兴奋啊，好不容易啊，胜 利就在前方了。最后一步很简单，你只要看准魔方的方向就 行啦。 ，你想让3个棱旋转。(概率1/3) 首先你要把已经对好颜色的那条边放在 再用的算法1++算法2+就行啦。也就是 第五步算法1 第五步算法2 算法1、2中间的也可以换成旋转你的整个魔方180?,这样最后一个 也不需要了。 ，你想让3个棱旋转。(概率1/3) 那么要把已经对好颜色的那条边放在。这时你会发现第 二个图就是第一个图的。 所以就是算法2++算法1+ 第五步算法2 第五步算法1 或者，去掉中间的改成旋转整个魔方180?， 上面这个顺时针逆时针怎么摆先用哪个算法不用死记，死记也很难记，你只 要注意： 转顶面的方向就是； 魔方开始摆放的方位会使你，你就知道该先用那个算法，魔方怎么摆了。 概率1/12 概率1/6 如果你碰到了需要如上这样变的情况。其实很简单，你随便应用一遍上面顺 时针或逆时针的算法，然后他就会变成顺时针或逆时针的情况了。