兴趣对低年级学生学习数学的作用

nullnullnull第八章 扭转 §8-1 扭转的概念和实例 §8-2 扭转内力的计算 §8-3 薄壁圆筒的扭转 §8-4 圆轴扭转的应力分析 · 强度条件 §8-5 圆轴在扭转时的变形 · 刚度条件 §8-6 非圆截面杆的扭转null §8-1 扭转的概念及实例 一、工程实例nullnullnullnull易拉罐扭转失稳null二、受力特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶.三、变形特点杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.null §8-2 扭转内力的计算从动轮主动轮从动轮一、外力偶矩的计算Me—作用在轴上的力偶矩( N · m )P—轴传递的功率(kW或PS) n—轴的转速( r/min )null 在n-n 截面处假想将轴截开，取左侧为研究对象二、内力的计算1.求内力截面法null2.扭矩符号的规定— 右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)null3.扭矩图 用平行于杆轴线的坐标 x 表示横截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标 T 表示横截面上的扭矩；正的画在 x 轴上方；负的画在x轴下方。 null 扭转内力null 扭转内力图nullMe4ABCDMe1Me2Me3n例1 一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min，主动轮A输入的功率为P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率。三个从动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW ，P3 = 150 kW ， P4 = 200 kW。 试绘制扭矩图.null解: 计算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3nnull 计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩.假设 T 2为正值.结果为负号,说明T 2 应是负值扭矩由平衡方程ABCD Me1Me3Me2同理,在 BC 段内Me4nullABCD同理,在 BC 段内在 AD 段内注意：若假设扭矩为正值, 则扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2作出扭矩图从图可见，最大扭矩在 CA段内.讨论：主动轮、从动轮的布局null §8-3 薄壁圆筒的扭转 1.实验前（1）画纵向线，圆周线; （2）施加一对外力偶.一、应力分析2.实验后（1）圆筒表面各圆周线形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.null3.推论（1）横截面上无正应力，只 有切应力；（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切. 圆周各点处切应力的方向与圆周相切， 且数值相等，近似认为沿壁厚方向各点处 切应力的数值无变化。null此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的.4.推导公式 薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直， 指向与扭矩的转向一致。 null 薄壁圆筒的扭转null二、切应力互等定理 1. 单元体左、右平面（杆的横截面）只有切应力，方向： y 轴 由平衡方程其矩为( dy dz) dx 两侧面的内力元素  dy dz 大小相等，方向相反，组成一个力偶，null2. 满足平衡方程 在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素. 它们组成力偶，其矩为此力偶矩与数量相等，( dy dz) dx3.切应力互等定理 单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，共同指向（或背离）该两平面的交线.4.纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.转向相反，从而可得null思考题 已知单元体上、下面上的剪应力，判断单元体其它面上的剪应力。××∨×null式中, r 为薄壁圆筒的外半经.三、剪切胡克定律由几何关系null三个弹性常数的关系从 T 与  之间的线性关系,可推出  与 间 的线性关系.该式称为的剪切胡克定律 (Hooke’s law for shear)G –剪切弹性模量null 剪切胡克定律只有在剪应力不超过材料的剪切比例极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。null思考题：指出下面图形的切应变20null变形几何关系物理关系静力关系§8-4 圆轴扭转的应力分析 · 强度条件null1.变形现象 （1） 轴向线仍为直线，且长度不变； （2） 横截面仍为平面且与轴线垂直；一、变形几何关系 （3） 径向线保持为直线，只是绕轴 线旋转. 2.平面假设 变形前为平面的横截面 ，变形后仍保持为平面.nullO1O23.几何关系 倾角  是横截面圆周上任一点A 处的切应变, d 是 b-b截面相对于a-a 截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度. 经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度 r ,也就是横截面半径上任一点E处的切应变null 同一圆周上各点切应力  均相同，且其值与 成正比，  与半径垂直. 二、物理关系由剪切胡克定律null三、静力关系1.公式的建立代入物理关系中得到T — 横截面上的扭矩  — 求应力的点到圆心的距离Ip —横截面对圆心的 极惯性矩 nullWt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.rOTdAdAρρρnull（1）实心圆截面3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算（2）空心圆截面null例题2 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的剪切模量 G=80GPa.（1） 绘制轴的扭矩图；（2） 求轴的最大切应力，并指出其位置。null解:（1）画轴的扭矩图BC段T1+Me2=0T2+Me2-Me1=0T2 =2kN·m AB段（+）最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kN·mnull（2）求轴的最大切应力, 并指出其位置max 最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径.maxnull1. 表达式四、强度条件nullABC解：绘制轴的扭矩图MeAMeBMeC分别校核两段轴的强度例题3 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC段的直径d2= 100mm。扭转力偶矩为MA = 22 kN·m, MB = 36 kN·m, MC= 14 kN·m。已知材料的许用切应力[] = 80MPa。试校核该轴的强度.因此，该轴满足强度.例题4 实心圆轴1和空心圆轴2材料相同，扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比  = 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.例题4 实心圆轴1和空心圆轴2材料相同，扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比  = 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.ll(a)(b)解：d1d2D2null因此解得 两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.null1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角来度量的。 §8-5 圆轴扭转时的变形 · 刚度条件一、扭转变形其中 d 代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角.长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角  可按下式计算—扭转角；GIp 称作抗扭刚度 null3.刚度条件2.单位长度扭转角null例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性 模量G=80GPa，DB=1°. 试求： （1） AD杆的最大切应力; （2）扭转角 CA解：画扭矩图计算外力偶矩Me DB=  CB+  DC=1°Tmax= 3Menull（1）AD杆的最大切应力（2）扭转角 CAnull例题6 某汽车的主传动轴 是用 40 号钢的电焊钢管制成，钢管 外径D=76mm，壁厚d=2.5mm，轴传递的转矩Me=1.98kN·m， 材料的许用切应力 [] = 100MPa，剪切弹性模量 G = 80GPa, 轴的许可扭角[′] = 2/m 。试校核轴的强度和刚度.null解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内、外径之比由强度条件 由刚度条件null将空心轴改为同一材料的实心轴,仍使 max=96.1MPa两轴材料、长度均相同,故两轴重量比等于两轴的横截面积比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.其截面面积为空心轴的截面面积为§8-6 非圆截面杆的扭转§8-6 非圆截面杆的扭转 非圆杆，如矩形截面杆扭转后横截面将发生翘曲(warping) 而不再是平面。一、基本概念null （2）若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同，这将在横截面上引起附加的正应力。 这一情况称为约束扭转(constraint torsion). （1）等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲(warping)，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲程度完全相同。横截面上仍然只有切应力而没有正应力。这一情况称为纯扭转(pure torsion) 或自由扭转(free torsion)。null 矩形截面扭转时，横截面切应力如图所示，边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流。 整个横截面上的最大切应力发生在 长边的中点.二、矩形截面null 切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其数值除在靠近顶点处以外均相等.三、狭长矩形狭长矩形截面的 It 和 Wt狭长矩形截面上切应力的分布情况见图表3-1 矩形截面杆在纯扭转时的系数αβνnull 作业： 习题 8-1、8-4、8-5、8-11