序数和基数

                    序数和基数 1. 序数 定义1.1 对于任何集合，若其任何元素都是其子集，则称该集合是传递的（transitive）。 定义1.2 若某集合是传递的且在该集合上是良序，则称该集合为序数（ordinal number，简称ordinal）。 根据定义，所有自然数都是序数，称为有限序数。所有自然数组成的集合是一个序数，它是最小的无穷序数，记为或者N。 后继序数：若α是序数，则α的后继也是序数，称为后继序数。 极限序数：若α>0且不是后继序数，则称为极限序数。极限序数一定是一个无穷递增的后继序数序列的并集。例如， 定义1.3偏序集的同构：isomorphic 定理1.4 每个良序集与一个唯一的序数同构。 定理1.5 （超穷归纳）令C是序数构成的类，并且满足如下3个条件： （i） （ii） （iii）若是非零极限序数且任何小于它的序数都在C中，则也在C中。 则任何序数都在C中。 定义1.6 （1）有穷序列： （2）无穷序列： （3）超穷序列： 定义1.7（序数序列的极限） 设是一个大于0的极限序数，是以为定义域的单调非减序列，则该序列的极限定义为 定义1.8 序数算术： （1） 加法（addition）： （2） 乘法（multiplication）： （3） 指数（exponentiation）： 2. 基数 集合论的出现源于康托当时所思考的一个问题，即比较实数集与自然数集的大小。实数是无穷多的，自然数也是无穷多的。这两个无穷是一样的吗？康托选择了一个合适的比较方法，即在两个集合之间建立映射。若存在从一个集合到另一个集合的单射，则前者不比后者大。采用这个比较方法，不难证明，整数集和自然数集是一样大的，有理数集与整数集是一样大的。康托发明了一种新颖的反证法：对角化方法，用此法证明了实数集比自然数集大。 定义2.1 若一个序数与其任何真子集之间不存在双射，则称为基数（cardinal number，简称cardinal）。若一个集合A与某基数之间存在双射，则称该集合的基数为，记为                                     定理2.2（Cantor）对于每个集合X， 证明：参考Thomas Jech所著《Set Theory》第27页上的简短证明。              证毕 定理2.3（Cantor-Bernstein）若且，则 证明：参考Thomas Jech所著《Set Theory》第28页上的简短证明。              证毕 定义2.4 基数算术 引理2.5 若集合X的基数为，则其幂集的基数为。 证明：请读者完成。                                                        证毕 阿列夫（Alephs） 自然数都是基数，称为有穷基数。序数是最小基数，记为，读作“阿列夫零”。对于任何序数，定义为比大的最小基数。对于任何极限序数，令                           易知，是基数。 实数集合的基数： 康托猜想（Cantor’s conjecture）或称连续统假设（Continuum Hypothesis），简称CH： 康托于1878年提出，在1900年第二届国际数学家大会上，大卫·希尔伯特把康托尔的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首。1938年哥德尔证明，若ZFC公理系统是没有矛盾的，则连续统假设与ZFC公理系统不矛盾。1963年美国数学家Paul Cohen证明：若ZFC公理系统没有矛盾，则连续统假设独立于ZFC公理系统，即用这个公理系统既不能证明该假设为真，也不能证明其为假。Cohen因此获得1966年的菲尔兹奖章（Fields medal），数学界的“诺贝尔奖”。