关于函数的连续点与不连续点的讨论_毕业设计论文

毕 业 设 计（论 文） 目：关于函数的连续点和不连续点的讨论 院 （系）： 专 业： 班 级： 学生姓名：*** 导师姓名： **** 职称：教授 起止时间：2013 年3月4日至 2013 年 6月7日 毕业设计（论文）诚信声明书 本人声明：本人所提交的毕业论文《关于函数的连续点和不连续点的讨论》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，论文中所引用他人的文献、数据、图件、资料均已明确标注；对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。 本人完全清楚本声明的法律后果，申请学位论文和资料若有不实之处，本人愿承担相应的法律责任。 论文作者签名： 时间： 年 月 日 指导教师签名： 时间： 年 月 日 毕业设计(论文)任务书 学生姓名 指导教师 职称  教授 系别   专业   题目  关于函数连续点及不连续点的讨论     任务与要求  1. 学习有关于函数连续性的知识。 2. 完成毕业论文。     开始日期  2013-03-04 完成日期  2013-06-07 系主任(签字)    2013 年  3 月  20 日   西 安 邮 电 大 学 毕 业 设 计 (论文) 工 作 计 划 学生姓名     指导教师    职称   教授   系别     专业   题目 连续点及不连续点的讨论 工作进程 起止时间 工作内容  第01周3.04---3.08  学习关于函数连续性的有关基础知识，完成知识储备.  第02周3.11----3.15  熟悉讨论函数连续性的基本思想 ，提交毕业论文开题报告。  第03周3.18----3.22  学习讨论函数连续性的基本技巧。  第04周3.25----3.29  完成问题分析报告。  第05周4.01---4.05  完成问题分析报告。  第06周4.08----4.12  对初步所得结果进行分析，提出改进方向。  第07周4.15----4.19  提供分析整理报告，并进行中期检查。  第08周4.22----4.26  进行分析和比较，提出较合理的研究方法。  第09周4.29----5.03  得到结果，并对结果进行分析。  第10周5.06----5.10  提供毕业论文初稿。  第11周5.13----5.17  对毕业论文进行修改，并进行后期检查。  第12周5.20----5.24  毕业设计论文。  第13周5.27----5.31  完成毕业设计论文。  第14周6.03----6.07  完成毕业设计答辩。 主要参考书目(资料)  1．陈建功著，实函数论，科学技出版社，北京，1978年9月第三次印刷。 主要仪器设备及材  提供上网查资料,上机编程,及复印打印资料所需设备. 论文(设计)过程中教师的指导安  1.每周听取学生工作汇报，并进行专门指导至少一次; 2.随时解决学生在毕业设计中遇到的问题. 对的说明  学生必须严格按照计划进度完成论文,如有更改需经过指导老师同意.   毕业设计(论文)开题报告      系   专业    级  班     课题名称：   关于函数连续点及不连续点的讨论                学生姓名：      学号：         指导教师：                       报告日期：   2013-03-20                       1．本课题所涉及的问题及应用现状综述    　自然界中许多现象，如气温的变化、河水的流动、动植物的生长等等都是连续的变化着的，这种现象在数学上的反应就是函数的连续性。 函数的一致连续性是数学分析的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．函数的连续应用的非常的广泛，生物学、物理学等学科都需要用到和函数连续息息相关的知识。 2．本课题需要重点研究的关键问题、解决的思路及实现预期目标的可行性分析    　关键问题：在研究普通函数的连续性时，需要判断其是否在某一区间内有间断点或一直连续，通过判断来确定函数是否一致连续。 　　　解决思路：函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因为也可以直接用该点的极限来判断函数在此点是否连续或间断，间断点包括可去间断点、跳跃间断点和第二类间断点，然后通过判断得出间断点和连续点，再比较讨论间断点和连续点之间的判断方法和联系。 　　　 　　　可行性分析：在做此课题之前学过一些有关函数连续的知识，但是从来没有讨论过连续点和间断点的区别，连续的问题很广泛，在接下来的课题中，我会通过已经学过的知识和一些新的知识，来分析判断连续点和间断点之间的区别，通过一些实际的运算和应用来进一步比较连续和间断的差别和联系。在此课题的分析会遇到一些难题，只要利用好函数连续性的知识，相信会的到一个可行的结果。 　　　   3．完成本课题的工作   起止时间 工作内容 第01周3.04---3.08 学习函数连续问题的有关基础知识，完成知识储备. 第02周3.11----3.15 熟悉讨论函数连续问题的基本方法和基本思路，提交毕业设计论文开题报告 第03周3.18----3.22 学习讨论函数连续问题的基本技巧。 第04周3.25----3.29 完成问题分析报告。 第05周4.01---4.05 完成问题分析报告。 第06周4.08----4.12 对所讨论结果进行分析，提出改进方向。。 第07周4.15----4.19 提供分析整理报告，并进行中期检查。 第08周4.22----4.26 对所获得的结果进行分析和比较，提出较合理的改进。 第09周4.29----5.03 得到结果，并对结果进行分析。 第10周5.06----5.10 提供毕业论文初稿。 第11周5.13----5.17 对毕业论文进行修改，并进行后期检查。 第12周5.20----5.24 毕业设计论文。 第13周5.27----5.31 完成毕业设计论文。 第14周6.03----6.07 完成毕业设计答辩。 4．指导教师审阅意见  同意开题         指导教师(签字)：                     年   月   日   说明： 本报告必须由承担毕业论文(设计)课题任务的学生在毕业论文(设计) 正式开始的第1周周五之前独立撰写完成，并交指导教师审阅。   毕业设计 (论文)成绩评定表 学生姓名 性别 男 学号 专 业班 级 课题名称 关于函数的连续点和不连续点的讨论 课题 类型 理论 研究 难度 较难 毕业设计（论文）时间 2013 年3月7日～6月 10日 指导教师 (职称：教授) 课题任务 完成情况 论 文 (千字)； 设计、计算说 明书 (千字)； 图纸 (张)； 其它(含附 件)： 指导教师意见 分项得分：开题调研论证 分； 课题质量（论文内容） 分； 创新 分； 论文撰写（） 分； 学习态度 分； 外文翻译 分 指导教师审阅成绩：　　指导教师(签字)：　　 　 　　年 月　日 评 阅 教 师 意见 分项得分：选题 分； 开题调研论证 分； 课题质量（论文内容） 分； 创新 分； 论文撰写（规范） 分； 外文翻译 分 评阅成绩：　　评阅教师(签字)：　　　 　 年　月　日 验收小组意见 分项得分：准备情况 分； 毕业设计（论文）质量 分； （操作）回答问题 分 验收成绩：　　验收教师(组长)(签字)：　　 　　年　月　日 答 辩 小组 意 见 分项得分：准备情况 分； 陈述情况 分； 回答问题 分； 仪表 分 答辩成绩： 答辩小组组长(签字)： 年 月 日 成绩计算方法 (填写本院系实用比例) 指导教师成绩 20 (％) 评阅成绩 30 (％) 验收成绩 30 (％) 答辩成绩 20 (％) 学生实得成绩(百分制) 指导教师成绩 评阅成绩 验收成绩 答辩成绩 总评 答辩委员会意见 毕业论文(设计)总评成绩(等级)： 院（系）答辩委员会主任(签字)： 院（系）签章) 年 月 日 备 注 目录 I摘要 IIAbstract 1引 言 3一 相关概念的阐述及例题分析 31.1 函数在一点处连续 1.2 函数在区间上连续 3 1.3 函数在区间上一致连续 4 1.4 函数在区间上绝对连续 4 6二 相关概念的比较及例题分析 62.1函数在区间上连续与在区间上一致连续的区别与联系 72.2函数的一致连续性与绝对连续的区别与联系 9三 函数连续性的相关性质 93.1在闭区间上连续函数的基本性质包括 93.2在局部上连续函数具有的性质包括 11四 函数连续性的应用 114.1函数连续性在求函数极限中的应用 114.2函数连续性在求方程的根达到的指定精确度的近似值中的应用 114.3函数连续性在求闭区间上连续函数最值点中的应用 124.4函数连续性在判断函数在区间上是否有界中的应用 13五 函数的连续性与间断点 135.1函数的连续性 145.2函数的间断点 155.3间断点的分类 20结 论 21致 谢 22参考文献 摘要 函数连续性是自然界中广泛存在的一种性质，同时也是函数理论中最基本最重要的问题之一。本文首先阐述并分析了函数在一点连续，在区间上的连续和一致连续，等概念，对这些基本概念进行比较后又分析了函数连续点和不连续点性质。最后阐述了函数连续性在其他方面的应用。 关键词：连续性 一致连续性 连续点 间断点 Abstract Continuity is a natural function of the existence of a widespread nature, but also the most basic function theory one of the most important issues. This paper describes and analyzes the function is continuous at a point in the interval of continuous and uniformly continuous, concepts such as comparison of these basic concepts and then analyzed the function point and continuous nature of discontinuities. Finally the continuity of the function described in other applications. Key words: Continuity，Uniform continuity，Consecutive points， Discontinuities 引 言 在研究普通函数的连续性时，需要判断其是否在某一区间内有间断点或一直连续，通过判断来确定函数是否一致连续。函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因为也可以直接用该点的极限来判断函数在此点是否连续或间断，间断点包括可去间断点、跳跃间断点和第二类间断点，然后通过判断得出间断点和连续点，再比较讨论间断点和连续点之间的判断方法和联系。之前学过一些有关函数连续的知识，但是从来没有讨论过连续点和间断点的区别，连续的问题很广泛，在接下来的课题中，我会通过已经学过的知识和一些新的知识，来分析判断连续点和间断点之间的区别，通过一些实际的运算和应用来进一步比较连续和间断的差别和联系。在此课题的分析会遇到一些难题，只要利用好函数连续性的知识，相信会的到一个可行的正确结果。 　　　 在高等数学中，函数 在一点上的连续性，在区间上的连续性与一致连续性属于最基本的概念.函数 在区间上连续是指 在该区间上每一点都连续；而函数 在区间上的一致连续性则反映了函数在区间上更强的连续性.下面就从对这些基本概念的分析中得出概念间的区别与联系，再从具体应用中体会这些概念的深刻含义. 一 相关概念的阐述及例题分析 1.1 函数在一点处连续 若函数 在点 的某邻域内有定义，若 ， 则称函数 在点 连续。若函数在区间 内的任一点处都连续，则称 为区间上的连续函数. 1.2 函数在区间 上连续 若对任给 ，任给 ，存在 使得当 且 时，就有 . 例1、设 和 .对于数值 求出充分小的正数 ，使得可从不等式 推出不等式 可否对于已知的 选出 来，使它对于区间 中的一切 值都适用，换句话说，对于任意的值 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，若 ，则 ？ 解： （1） 由于 或， ，故有 （在此，我们已假设了 ，这一点是可以办到的）. 于是要 ，只要 即只要 . 取 ，则当 时，恒有 . 我们取近似值， ①当 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ②当 时， ③当 时， 由表达式（1）可知，对于不论怎样小的正数 （固定），则当 及 时， 可任意地大.因此，无法选出一个公共的正数 来. 1.3 函数在区间 上一致连续 若对任给 ，存在 ，使得当 ，且 时，就有 . 例2、圆柱形鞘筒之宽度为 ，长度为 ，将鞘筒套在曲线 上且沿此曲线滑动，但筒之轴须保持平行于 轴.为了使此筒顺利地经过此曲线上由不等式 所限定的部分，问 应等于什么？设 为任意小数. 解: 。对于 ，由于 即 或 对于任给的 ，要 ，只要 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 或 即可. 取 ，则当 时，恒有 当 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 时， ； 当 时， 当 时， 当 为任意小数时， 1.4 函数在区间 上绝对连续 设 为定义在闭区间 上的实值函数，若对任给 ，存在 ，使得对任意 ，当 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， 则称函数 在区间 上绝对连续. 例3、设 是闭区间 上的 可积函数，则 的不定积分 （其中C是任意常数）是闭区间 上的绝对连续函数. 证明： 由积分的绝对连续性,对任意的 ，存在 ，使得对 中的任意可测集A，当 时， ,于是对闭区间 上的任意有限个互不相交的开区间 ，当 时，令 ，则 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ,于是 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 因此F是 上的绝对连续函数. 二 相关概念的比较及例题分析 2.1函数在区间上连续与在区间上一致连续的区别与联系： 函数的连续与一致连续的区别在于 的选取是否与 或 有关.若函数 在区间 上连续，是用在区间 上每点处都连续来定义的，因此， 的选取与 的选取无关.而一致连续性不然， 的选取只与 的大小有关，与 ， 的选取无关，这表明函数在区间的一致连续性不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上的连续是“一致”的，这是对函数的“整体性”的要求的增强.函数的连续性是函数一致连续的必要条件.函数一致连续性的实质，就是当这个区间的任意两个彼此靠近的点上的值的差，就绝对值来说，可以任意小，即任意的 ，当 时就有 .一般地，函数的连续性以及一致连续性反映的是函数的自变量的变化与函数值变化之间的关系，与可微性无关.总的来说，函数 在一点处的连续性是局部性质，而函数 在区间 上的连续性和一致连续性等表示整体性质.例如函数 在区间 就是如此. 但是函数在某些条件下是一致的，我们从定理中可以得到，如：(函数 在 上连续当且仅当函数 在 上一致连续。(、如果函数 在 上连续，如果 在 点的右极限、在 点的左极限均存在，那么可将函数 延拓为 上的连续函数.(、若函数 在 上一致连续，则 在 点的右极限、在 点的左极限均存在. 以上三条定理说明，有界区间上的一致连续函数均可看作有界闭区间上的连续函数. 例4、证明：函数 在区间 上是连续的，但在此区间上并非一致连续的. 证明： 连续性是显然的，先证其不一致连续.考虑 上的两串点 ， 则当 时，不论 取得多小，只要 取得充分大，总可以使 但是， 因而， 在 上并非一致连续. 例5、证明：若函数 在域 上有定义并且是连续的，而且 存在，则 在此域上是一致连续的. 证明： 任给 。由于 存在，故必存在 ，使当 时，恒有 。 由于 在 上连续，故一致连续，从而必有正数 存在，使当 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 时恒有 。 令 现设 为满足 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的任何两点。由于 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，故 或同时属于 ，或同时满足 ，因此，恒有 ， 故 在 上一致连续.证毕. 2.2函数的一致连续性与绝对连续的区别与联系： 一致连续与绝对连续的差别在于 的选取，一致连续性对 的要求是 与 有关，还要与数对 的“个数”n有关，即 ；而绝对连续性不然，它只与 有关，与数对 的“个数”无关。绝对连续的函数一定是一致连续的，而反之不然。但要深入了解二者的内在特征，还需从其他方面做深入的剖析与对比. 例6、证明：设函数 在 上 -可积，若对任意的 ，存在 ，使当可测子集 且 时，就有 ，则称函数 在 上的 -积分具有绝对连续性。 证明：事实上，只要函数 在 上 -可积，则其积分必具有绝对连续性. 如果函数 在 上 -可积，则对任意的 ，存在 ，使得对任意 ，当且 时，就有 其中 例7、证明：函数 在 上一致连续当且仅当对任给 ，对任意的 ，存在 ，而当 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， 满足 时，就有 证明：只要取 ，即可知定理的充分性成立.下面证明必要性. 设函数 在 上一致连续，当且仅当对任给 ，对任意的 ，存在 ，当 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 满足 时，就有 成立.证毕. 三 函数连续性的相关性质 3.1在闭区间上连续函数的基本性质包括： 1、最大、最小值定理：若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有最大值与最小值. 2、有界性定理：若函数 在闭区间 上连续，则 在 上有界. 3、介值性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 若 介于 与 之间的任何实数 或者 ，则至少存在一点 ，使得 4、根的存在定理：若函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ），则至少存在一点 ，使得 即方程 在 内至少有一个根. 3.2在局部上连续函数具有的性质包括： 1、局部有界性：若函数 在点 连续，则 在某 内有界. 2、局部保号性：若函数 在点 连续，且 （或 ），则对任何正数 (或 ），存在某 ，使得对一切 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 有 （或 ） 例8、证明：若 ，n为正整数，则存在唯一证书 ，使得 （ 成为r的n次正根（即算数根），记作 = ）. 证明：先证存在性.由于当 时有 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，故必存在正数 ,使得 .因为 在 上连续，并有 ，故由介值性定理，至少存在一点 ，使得 . 再证唯一性.设正数 使得 ，则有 由于第二个括号内的数为正，所以只能 即 . 例9、设函数 在区间 上连续并有界，证明：对于任何数 ，可求得序列 ，使 证明：不妨设 ，及 取一叙列 且当 时， .易见， 是 上连续且有界的函数，今按下法取 使 ，如果 异号，则由连续函数介值定理，存在 ，且 使得，这时取 若 同号，且 ， 都是同号的不妨设它们均大于0，那么我们可以证明，必存在一个自然数 使得 .因为，若对于一切自然数 ，则由 的定义， ... 则 这与 在 内有界矛盾，故必存在自然数 ，使得 ，取 然后，取自然数 ，通过考虑 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 的符号；仿上，可取 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，使 .依此类推，我们就可得到一叙列 适合要求. 四 函数连续性的应用 4.1函数连续性在求函数极限中的应用 例10、求 解： 原式= = = = = 4.2函数连续性在求方程的根达到的指定精确度的近似值中的应用 例11、求 中根 的近似值 解： 先取 的中点 ，因 ，所以 中至少存在一个根，再取 的中点 ，算得 ，则 中至少存在一个根，不断这样作下去，可将一定存在一个根的范围缩小到很小的一个区间，以至这个小区间的长度小于所指定的精确度. 这时，我们就可以取小区间的左端点（或者右端点）作为根 的一个不足（或者过剩）近似值，它与根 的精确值误差已不超过所制定的精确度. 4.3函数连续性在求闭区间上连续函数最值点中的应用 例12、设 在 上连续，且 存在.证明： 在 上有界，又问 在 上必有最大值或者最小值吗？ 证明：因为 存在（设极限为B），可以推出：对 ，存在 ，当 时有 （2） 所以 而在闭区间 上，因为 连续，所以有界，即存在 ，使任意 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，有 所以任意 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，恒有 即 在 上有界.但它未必有最大值，也未必一定有最小值.如 在 上无最大值，但是无最大值者必有最小值，无最小值者必有最大值，因为若记 是 在 上的最大值，T是最小值，改写（2）式为 （这里 为任意整数） 当 时，总存在 使得 ，这时无非M变成更大的 ，但是 仍存在，从而有最大值 ； 当 时，总存在 使得 ，类似推得，这时有最小值 当 时，要保持上述两结果不出现，必须在 变得任意大时，在闭区间 上，恒有 自然最大值、最小值都是 4.4函数连续性在判断函数在区间上是否有界中的应用 例13、判断函数 在区间 上是否有界 解： 因为 是初等函数，在定义域连续 所以 ，即有界. 例14、证明：若函数 在区间 内连续，且 为此区间中的任意值，则在它们之间可找到一个数值 ，使得 证明：不妨设 ，此时设 ；当 时结论显然成立.由于 在 上连续，于是， 在 上取得最大值和最小值： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT . 从而有 . 由连续性的性质，总存在 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，使 五 函数的连续性与间断点 5.1函数的连续性 1．1 增量：变量 从初值 变到终值 ，终值与初值的差叫变量 的增量，记作 ，即 ＝ － 。（增量可正可负）。 1．2函数在点连续的定义　　 　定义１：设函数 ＝ 在点 的某个邻域内有定义，如果自变量 的增量 = 趋向于零时，对应的函数增 ＝ 也趋向于零，则称函数 ＝ 在点 处连续。 　定义２：设函数 ＝ 在点 的某个邻域内有定义，如果函数 当 时的极限存在，即 ，则称函数 ＝ 在点 处连续。 定义3：设函数 ＝ 在点 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，所对应的函数值 都满足不等式： ，则称函数 ＝ 在点 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数 在点 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数 ＝ 在点 的某个邻域内有定义（函数 ＝ 在点 有定义），（2） 存在；（3） 。 1．3函数 ＝ 在点 处左连续、右连续的定义： （1）函数 ＝ 在点 处左连续( 在 内有定义，且 （即 ）。 （2）函数 ＝ 在点 处右连续( 在 内有定义，且 （即 ）。 显然，函数 ＝ 在点 处连续(函数 ＝ 在点 处既左连续又右连 续。 (3)、函数 ＝ 在点 处连续是 存在的充分条件，而非必要条件。 1.4函数在区间上连续的定义 定义4：如果函数 ＝ 在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数 ＝ 在该区间上是连续的。 5.2函数的间断点 如果函数 在点 处不连续，则称 在点 处间断，点 叫做 的间断点。 函数在点 处连续，必须同时满足三个条件： （1）在点 及其附近有定义； （2）极限 存在； （3） 。 如果上述三个条件中至少有一个条件不满足，则点 叫是函数 的间断点。 如何寻找函数的间断点？一般来说，初等函数无意义的点是间断点；分段函数的分段点可能是间断点。 例2 讨论函数 在 点处的连续性。 解 因为函数 在 点没有定义，故此函数在 处不连续。所以， 是函数的间断点。 =3，如果补充定义：令 ，则所给函数在 处连续。所以 称为该函数的可去间断点。 例3 讨论函数 在 点处的连续性。 解 因为函数 在 点无定义；当 (0时，函数值在-1与1之间振荡（图），所以点 称为函数 的振荡间断点。 例4 判断函数 在 点处的连续性。 解 显然函数 在点 及其附近有定义，又 = = 。 所以， 不存在。因函数 的图形在 处产生跳跃现象，我们称 为函数 跳跃间断点。 例5 判断函数 在点 处的连续性。 解 显然函数 在点 点及其附近有定义，又 = ， , 因为 。所以函数 在点 处间断。 但如果修改函数 在 处的定义：令 ，则 在 处连续。所以 称为该函数的可去间断点。 上面列举了一些间断点的例子。通常我们把间断点分成两类：如果 是函数 的间断点，且左极限 及右极限 都存在，那么 称为函数 的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点。上面例2、例4、例5中间断点是第一类间断点，其中例2和例5是可去间断点；例3是第二类间断点。 5.3间断点的分类 设 为函数 的一个间断点， 3.1、第一类间断点 ， 都存在， （1）若 = ，即 存在，此类间断点称为可去间断点。 函数 在点 无定义，函数 在点 有定义，但 。 （2）若 ( ，即 不存在，此类间断点称为跳跃间断点。 3.2 第二类间断点 与 中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷 间断点和振荡间断点。 下面我们来观察下述几个函数的曲线在 点的情况，给出间断点的分类： 在 连续． 在 间断， 极限为2． 在 间断， 极限为2． 在 间断， 左极限为2，右极限为1． 在 间断， 极限不存在． 像②③④这样在 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令 ，则在 函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断． 就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果 是函数 的间断点，但左极限 及右极限 都存在，那么 称为函数 的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点． 　　例1　确定a、b使在处连续． 解：在处连续 因为；； 所以时，在处连续． 　　例2　求下列函数的间断点并进行分类 1、 分析：函数在处没有定义，所以考察该点的极限． 解：因为 ，但在处没有定义 所以 是第一类可去间断点． 2、 分析：是分段函数的分段点，考察该点的极限． 解：因为 ，而 所以 是第一类可去间断点． 总结：只要改变或重新定义在处的值，使它等于，就可使函数在可去间断点处连续． 3、 分析：是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限． 解：因为 ； 所以 是第一类跳跃间断点． 4、 分析：函数在处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限． 解：因为 ； 所以 是第一类跳跃间断点． 5、 解：因为 所以 是第二类无穷间断点 6、 解： 极限不存在 所以 是第二类振荡间断点 7、求的间断点，并将其分类． 解：间断点： 当时，因，故是可去间断点． 当时，因，故是无穷间断点． 小结与思考： 本节介绍了函数的连续性，间断点的分类． 1、求 分析：通过极限运算，得到一个关于x的函数，找出分段点，判断． 解：因为； 所以是第一类跳跃间断点 因为；； 所以是连续点． 结 论 通过对数学分析中函数连续性相关概念及其应用的系统研究，充分掌握了函数连续性的知识体系，由此可以归纳出课程中有关函数导数及连续性连续点和间断点的理论基础；此外，充分掌握了函数连续性的相关知识后也可以更好的系统研究复变函数以及实变函数的知识体系.此次对函数连续点和间断点的讨论让我更深的体会到了函数连续性的相关知识是数学研究中的根基. 致 谢 四年的大学生活即将在这个炎热的季节划上一个句号，而于我的人生却只是又跳了一级台阶，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，我要感谢那些帮助过我的人。首先我要感谢指导我论文的冯锋老师。然后我要感谢并肩作战的各位同学们，特别是我的舍友，在我遇到瓶颈的时候，他们给我安慰，给我力量，我才能顺利完成毕业设计，再一次感谢你们。最后我要感谢我的父母，在我的学习生涯中，他们给我莫大的鼓舞，祝福他们身体健康，永远幸福。还有许许多多给予我帮助的人们，在这里，请接收我诚挚的谢意。 参考文献 [1] 费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集解析 山东科学技术出版社 [2] 华东师范大学数学系 数学分析（第三版上册） 高等教育出版社 [3] 李峰杰 关于函数的一致连续问题 烟台师范学院学报，2001，17（4）：305-309 [4] 王向东 数学分析的概念与方法（上册）.上海：上海科学技术文献出版社.1989. [5] 刘玉链傅沛仁:数学分析讲义 [6] 樊映川:高等数学讲义 图1-17 � EMBED PBrush ��� 图1-18 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� ② � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� ① � EMBED Equation.3 ��� ③ � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� ④ � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� ⑥ � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 在 间断 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� ⑤ � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� _1234568017.unknown _1234568145.unknown _1234568209.unknown _1234568273.unknown _1234568305.unknown _1234568321.unknown 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_1234568233.unknown _1234568237.unknown _1234568239.unknown _1234568240.unknown _1234568238.unknown _1234568235.unknown _1234568236.unknown _1234568234.unknown _1234568229.unknown _1234568231.unknown _1234568232.unknown _1234568230.unknown _1234568227.unknown _1234568228.unknown _1234568226.unknown _1234568217.unknown _1234568221.unknown _1234568223.unknown _1234568224.unknown _1234568222.unknown _1234568219.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568213.unknown _1234568215.unknown _1234568216.unknown _1234568214.unknown _1234568211.unknown _1234568212.unknown _1234568210.unknown _1234568177.unknown _1234568193.unknown _1234568201.unknown _1234568205.unknown _1234568207.unknown _1234568208.unknown _1234568206.unknown _1234568203.unknown _1234568204.unknown _1234568202.unknown _1234568197.unknown _1234568199.unknown _1234568200.unknown _1234568198.unknown _1234568195.unknown _1234568196.unknown _1234568194.unknown _1234568185.unknown _1234568189.unknown _1234568191.unknown 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