2022年甘肃省武威市中考数学试卷真题及答案定稿

第PAGE1页（共NUMPAGES1页）2022年甘肃省武威市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）的相反数是　　A．B．2C．D．2．（3分）若，则的余角的大小是　　A．B．C．D．3．（3分）不等式的解集是　　A．B．C．D．4．（3分）用配方法解方程时，配方后正确的是　　A．B．C．D．5．（3分）若，，，则　　A．B．C．D．6．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神舟十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是　　A．完成航天医学领域实验项数最多B．完成空间应用领域实验有5项C．完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的7．（3分）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为　　A．B．C．D．8．（3分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过天相遇，根据题意可列方程为　　A．B．C．D．9．（3分）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为　　A．B．C．D．10．（3分）如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为　　A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）计算：　　．12．（3分）因式分解：　　．13．（3分）若一次函数的函数值随着自变量值的增大而增大，则　　（写出一个满足条件的值）．14．（3分）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为　　．15．（3分）如图，是四边形的外接圆，若，则　　．16．（3分）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是　　．17．（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间　　．18．（3分）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为　　．三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（4分）计算：．20．（4分）化简：．21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科《最新中学教科书用器画》由国人自编（图，书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，为直角，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；作射线，．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．22．（6分）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：设计：如图2，点为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取，两处分别测得和的度数，，，在同一条直线上），河边处测得地面到水面的距离，，在同一条直线上，，，．数据收集：实地测量地面上，两点的距离为，地面到水面的距离，，．问题解决：求灞陵桥拱梁顶部到水面的距离（结果保留一位小数）．参考数据：，，，，，．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．23．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：．云顶滑雪公园、．国家跳台滑雪中心、．国家越野滑雪中心、．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．（1）小明被分配到．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24．（7分）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】7865910467511128764636891010136783510【数据整理】将收集的30个数据按，，，，五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：，，，，，其中表示锻炼时间）；【数据分析】统计量平均数众数中位数锻炼时间7.37请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：　　；（2）补全频数分布直方图；（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．25．（7分）如图，，是反比例函数在第一象限图象上的点，过点的直线与轴交于点，轴，垂足为，与交于点，，．（1）求此反比例函数的表达式；（2）求的面积．26．（8分）如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．27．（8分）已知正方形，为对角线上一点．【建立模型】（1）如图1，连接，．求证：；【模型应用】（2）如图2，是延长线上一点，，交于点．①判断的形状并说明理由；②若为的中点，且，求的长．【模型迁移】（3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：．28．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接．①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；②如图3，连接，当时，求的最小值．2022年甘肃省武威市中考数学试卷参考与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）的相反数是　　A．B．2C．D．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得的相反数是：．故选：．2．（3分）若，则的余角的大小是　　A．B．C．D．【分析】根据互余两角之和为计算即可．【解答】解：，的余角为：，故选：．3．（3分）不等式的解集是　　A．B．C．D．【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．【解答】解：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：．故选：．4．（3分）用配方法解方程时，配方后正确的是　　A．B．C．D．【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：，，即．故选：．5．（3分）若，，，则　　A．B．C．D．【分析】根据，可以得到，然后根据，，即可得到的值．【解答】解：，，，，，故选：．6．（3分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神舟十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”．其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是　　A．完成航天医学领域实验项数最多B．完成空间应用领域实验有5项C．完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多D．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的【分析】应用扇形统计图用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．进行判定即可得出答案．【解答】解：．由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以选项说法正确，故选项不符合题意；．由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的，项，所以选项说法错误，故选项符合题意；．完成人因工程技术实验占完成总实验数的，完成空间应用领域实验占完成总实验数的，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多说法正确，故选项不符合题意；．完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的，所以选项说法正确，故选项不符合题意．故选：．7．（3分）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为　　A．B．C．D．【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形的边长．【解答】解：连接，，、交于点，如右图所示，六边形是正六边形，的长约为，，，和约为，约为，故选：．8．（3分）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过天相遇，根据题意可列方程为　　A．B．C．D．【分析】设总路程为1，野鸭每天飞，大雁每天飞，当相遇的时候，根据野鸭的路程大雁的路程总路程即可得出答案．【解答】解：设经过天相遇，根据题意得：，，故选：．9．（3分）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为　　A．B．C．D．【分析】根据题目中的数据和弧长，可以计算出这段弯路的长度．【解答】解：半径，圆心角，这段弯路的长度为：，故选：．10．（3分）如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为　　A．B．C．D．【分析】根据图1和图2判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可．【解答】解：在菱形中，，为等边三角形，设，由图2可知，的面积为，的面积，解得：，（舍去），故选：．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）计算：　　．【分析】根据同底数幂的乘法法则化简即可【解答】解：原式．故答案为：．12．（3分）因式分解：　　．【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式，故答案为：13．（3分）若一次函数的函数值随着自变量值的增大而增大，则　2（答案不唯一）　（写出一个满足条件的值）．【分析】根据函数值随着自变量值的增大而增大得到，写出一个正数即可．【解答】解：函数值随着自变量值的增大而增大，，（答案不唯一）．故答案为：2（答案不唯一）．14．（3分）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为　8　．【分析】由菱形的性质可得，，由勾股定理可求，即可求解．【解答】解：四边形是菱形，，，，，，，，，故答案为：8．15．（3分）如图，是四边形的外接圆，若，则　70　．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：四边形内接于，，，故答案为：70．16．（3分）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是　（答案不唯一）　．【分析】先证四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：需添加的一个条件是，理由如下：，，四边形是平行四边形，又，平行四边形是矩形，故答案为：（答案不唯一）．17．（3分）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间　2　．【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：，且，当时，取最大值20，故答案为：2．18．（3分）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为　　．【分析】根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而可得，进而可得，再证明，利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，，是的中点，，，，，，，，，，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共26分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（4分）计算：．【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式．20．（4分）化简：．【分析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．【解答】解：原式．21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图，书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，为直角，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，；以点为圆心，以长为半径画弧与交于点；再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点；作射线，．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．【分析】（1）按题干直接画图即可．（2）连接，，可得和均为等边三角形，则，进而可得．【解答】解：（1）如图，射线，即为所求．（2）．理由：连接，，则，，即和均为等边三角形，，，．22．（6分）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图2，点为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取，两处分别测得和的度数，，，在同一条直线上），河边处测得地面到水面的距离，，在同一条直线上，，，．数据收集：实地测量地面上，两点的距离为，地面到水面的距离，，．问题解决：求灞陵桥拱梁顶部到水面的距离（结果保留一位小数）．参考数据：，，，，，．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．【分析】设，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．【解答】解：设，由题意得：，在中，，，，，在中，，，，经检验：是原方程的根，，灞陵桥拱梁顶部到水面的距离约为．23．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：．云顶滑雪公园、．国家跳台滑雪中心、．国家越野滑雪中心、．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．（1）小明被分配到．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）小明被分配到．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为．四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．24．（7分）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】7865910467511128764636891010136783510【数据整理】将收集的30个数据按，，，，五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：，，，，，其中表示锻炼时间）；【数据分析】统计量平均数众数中位数锻炼时间7.37请根据以上信息解答下列问题：（1）填空：　6　；（2）补全频数分布直方图；（3）如果学校将管理目标确定为每周不少于，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．【分析】（1）由众数的定义可得出答案．（2）结合收集的数据，求出组的人数，即可补全频数分布直方图．（3）用总人数乘以样本中每周不少于的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．【解答】解：（1）由数据可知，6出现的次数最多，．故答案为：6．（2）补全频数分布直方图如下：（3）（名．答：估计有340名学生能完成目标．目标合理．理由：过半的学生都能完成目标．25．（7分）如图，，是反比例函数在第一象限图象上的点，过点的直线与轴交于点，轴，垂足为，与交于点，，．（1）求此反比例函数的表达式；（2）求的面积．【分析】（1）根据直线求出点坐标，进而确定，的值，再确定点的坐标，代入反比例函数的关系式即可；（2）求出点坐标，进而求出，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）当时，即，，即直线与轴交于点的坐标为，，又，点的坐标为，而点在反比例函数的图象上，，反比例函数的图象为；（2）方程组的正数解为，点的坐标为，当时，，点的坐标为，即，，，答：的面积为1．26．（8分）如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是，得出，根据圆周角定理得出，推出即可得出结论；（2）根据得出，再根据勾股定理得出即可．【解答】（1）证明：是的直径，，，，，又，，，，是的半径，是的切线；（2）解：由（1）知，，在和中，，，，即，，在中，，，，解得，即线段的长为4．27．（8分）已知正方形，为对角线上一点．【建立模型】（1）如图1，连接，．求证：；【模型应用】（2）如图2，是延长线上一点，，交于点．①判断的形状并说明理由；②若为的中点，且，求的长．【模型迁移】（3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：．【分析】（1）先判断出，，进而判断出，即可得出结论；（2）①先判断出，进而判断出，即可得出结论；②过点作于，先求出，，进而求出，进而求出，最后用勾股定理即可求出答案；（3）先判断出，由（1）知，，由（2）知，，即可判断出结论．【解答】（1）证明：是正方形的对角线，，，，，；（2）解：①为等腰三角形，理由：四边形是正方形，，，由（1）知，，，，，，，，，，是等腰三角形；②如图，过点作于，四边形为正方形，点为的中点，，，，由①知，，，，在与中，，，，，在中，；（3），，在中，，，由（1）知，，由（2）知，，．28．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接．①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；②如图3，连接，当时，求的最小值．【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；（2）根据函数解析式求出的长度，根据三角函数求出的长度，根据点的坐标得出的长度，根据得出结论即可；（3）①连接交于点，设，则，得出，，根据点在抛物线上得出的值，即可得出点的坐标；②方法一：在的下方作，且，连接，，构造，得出当、、三点共线时，最小，最小为，求出的值即可．方法二：过点作轴，使得．证全等于，则所以、、三点共线时取到最小值，求出此时的长即可．【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，，解得，，即抛物线的表达式为；（2）在中，令，得或4，，，，，，，，，轴，，，，；（3）①如下图，连接交于点，与关于轴对称，，，设，则，，，，点，在抛物线上，，解得或3（舍去），，；②如下图，在的下方作，且，连接，，，，，当、、三点共线时，最小，最小为，过点作，垂足为，，，，，，，，，，即的最小值为；方法二：过点作轴，使得，作延长线于点，，又，，，，、、三点共线时取到最小值，，，，的长．