9167一次函数与二次函数

书书目　　录!!!!!!目!!录!一次函数的图象与性质$$0二次函数的图象与性质$0函数与一元二次方程$!!$函数与二次不等式$<3%函数的最值$24有关整数根问题$3'函数的应用$1<!!习题解答$41书书书一次函数的图象与性质!!!!!!!一次函数的图象与性质函数!$%!!称为一次函数若!则称为正比例函数'一次函数的图象是过!!$!!两点的直线'正比例函数!$!!的图象则是过原点的一条直线'根据和的符号可确定直线经过的象限如下图所示'!$$!且$!时!%$!且%!时!%!且$!时!'%!且%!时!($!且!时!)%!且!时由函数的单调性可知在一次函数!$%!!中当$!时!随着$的增大而增大即单调递增%当%!时!随着$的增大而减小即单调递减'另外正比例函数!$!!的图象关于原点(成中心对称'在解决有关一次函数的问题时常运用分类讨论和数形结合的思想方法'对分类讨论在解题过程中经常分$!或%!等情况进行分步解决'而对于数形结合一方面是由数定形确定图象的大致位置%另一方面是!!!!!!!!一次函数与二次函数由形导数即从给定的函数图象上获得信息确定图象上点的坐标及解析式'把一次函数解析式!$中的!移到右边就得到一个关于$$!的二元一次方程$!!这时适合一次函数的一组$$!的值就是相应的二元一次方程的一组解'因此一次函数'$二元一次方程'$直线'这三个名词有时在不至于引起混淆的情况下通用'例!!把函数!%$的图象向右平行移动个单位求(!$平移后得到的直线解析式%!%平移后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标'解!!$因为直线!%$向右平移个单位则平移后经过点!!'设所求解析式为!%$%将!!代入得))'所以所求直线解析式为!%$))'!%因为到两坐标轴距离相等的点在直线!$或!)$上所以解方程组!%$))!$)和!%$))!)$)得$)!))和$%!)%)'所以在直线!%$))上到两坐标轴上的距离相等的点为!))和!%%'例!已知%)++)%+)%%+且,%槡(%%%+)'问关于自变量$的一次函数!$%,%的图象一定经过哪几个象限!黄冈初中数学竞赛解!由题意得%)++)%+)%%+'(三式相加得!%%+!%%+'当%%+!时$%当%%+!时)%'又由,%槡(%%%+)!!$!!!!!一次函数的图象与性质整理得,%槡(%!)%!所以,(则一次函数为!)%$)%或!$)%'因此图象一定经过第三$四象限'例!设)$)$)%求.$)%.)$%.$.%.$%%.的最大值与最小值之差为多少'!江苏省数学竞赛!因为$的范围为)$)$)%所以.$)%.%)$.$%%.$%%而$不确定故对$分类讨论'解!!$当)$)$%!时得原式%)$%$%$%$%%$%$%'则最大值为'最小值为,%'!%当!)$)%时得原式%)$)$%$%$%%)$%$%'则最大值为'最小值为'所以原式的最大值与最小值之差为$'例$!设$是实数求.$%$.%.$%%.%.$%.%.$%'.%.$%(.的最小值'!北京中学生数学竞赛图!!解!根据绝对值的几何意义在数轴上画出实数$$%$$'$(分别对应的点$0$1$2$3如图$$设$对应动点4则根据绝对值的几何意义得!!%!!!!!!一次函数与二次函数!.4.%.40.%.41.%.42.%.43.+.10.%.12.%.1.%.13.%%')'因此当$)时取得最小值为)'评注!本题也可利用分段函数的图象求解但相对来说运算较繁琐'一般地本题还可推广为求.$)$.%.$)%.%+%.$).!,%的最小值则当为偶数且%)$)%%$时取得最小值为%'%当为奇数且$%$%时取得最小值为%)$''图!例!如图$%在平面直角坐标系$(!中多边形(0123的顶点坐标分别是(!!!$!!)$0!')$1!''$2!)'$3!)!'若直线5经过点6!%且将多边形(0123分割成面积相等的两部分则直线5的函数表达式是!!!!!!!!'解!如图$延长01交$轴于点7%连结(07%连结1327且相交于点8'由已知得点6!%是(07的中点即点6为矩形07(的中心所以直线5把矩形07(分成面积相等的两部分'又因为点8!(%是矩形1237的中心所以过点8!(%的直线把矩形1237分成面积相等的两部分'图!于是直线68即为所求的直线5'设直线5的函数表达式为!$%则%%(%%)解得)$$$'('故所求直线5的函数表达式为!)$$%$$'例'!已知一次函数的图象经过点!%%它与两坐标轴所围成的三角形!!!!!!!一次函数的图象与性质的面积等于$求这个一次函数的解析式'解!设一次函数为!$%它的图象经过点!%%则点坐标满足函数关系式得%%%'又因为直线!$%与$轴交于)!!与!轴交于点!!所以三角形面积为9$%..)$%%..$即%%'解方程组%%%%:%)得%)%)或$%$'('所以函数关系式为!%$)%或!$%$%$'例(!甲$乙两车分别从地将一批物品运往0地再返地如图表示两车离地的距离;!千米随时间<!小时变化的图象已知乙车到达0地后以!千米,小时的速度返'请根据图象中的数据答(!$甲车出发多长时间后被乙车追上!%甲车与乙车在距离地多远处迎面相遇!甲车从地返的速度多大时才能比乙车先到地解!!$由图知可设甲车由地前往0地的函数解析式为;<'将图!$!%'''代入解得%!所以;%!<'由图可知在距地!千米处乙车追上甲车所以当;!千米时<;%!!%!$'(!小时'即甲车出发$'(小时后被乙车追上'!%由图知可设乙车由地前往0地函数的解析式为;=<%,将!$'!!和!$'(!代入得!!'!!!!!!一次函数与二次函数!=%,!$'(=%,)解得=)!,))!)'所以;)!<))!'当乙车到达0地时;'千米'代入;)!<))!得<$'小时'又设乙车由0地返地的函数的解析式为;)!<%将!$''代入得')!>$'%解得$!%'所以;)!<%$!%'当甲车与乙车迎面相遇时有)!<%$!%%!<解得<%'!'小时代入;%!<得;'!'千米'即甲车与乙车在距离地'!'千米处迎面相遇'!当乙车返到地时有)!<%$!%!解得<''小时'甲车要比乙车先到地速度应大于''')%'''!千米,时'例)!已知$$!$?都不小于!且满足!%%?)$及!%?')$求函数@$)%!%'?的最大值和最小值'解!由题意得$+!!+!?+!'由!%%?)$!%?')$)可得!(!$)$?%$)$'('因为要使!+!$?+!则可求得$%)$)$'又因为!!!!!!@$)%!%'?$)%(!$)$.%'!%$)$$!'$)%%所以当$$%时@取最小值)$)%当$$时@取最大值,'!!(!!!!!一次函数的图象与性质图!例!如图$(直线!)$%!$!与双曲线!$!$!在第一象限的一支分别交于$0两点与坐标轴交于1$2两点4是双曲线上的点且4(42'!$试用$来表示1$4两点的坐标%!%若4(2的面积等于$试求双曲线在第一象限的一支函数解析式%!在第!%小题的结论下若'求(0的面积'解!!$由已知得1点坐标为!!2点坐标为!!'又因为4(424点在双曲线!$上所以4点的坐标为%%!'!%因为94(2$即94(2$%%$故$所以所求函数解析式为!$$!$$!'!由题意得!$'!$$'(解得$%%槡!%)槡'(或$%)槡!%%槡'(即交点坐标为!槡%槡%0!槡%槡%所以!!!!!!9(09(2)90(2$%>'>!%%槡)$%>'>!%)槡槡''例!+!设是整数关于$的方程..$)$.)%.!!)!!!!!!一次函数与二次函数只有三个不同的整数解求这三个解'图!'解!先作出.$)$.的图象然后向下平移%个单位得到.$)$.)%的图象'再把$轴下方的图象关于$轴翻上去便得到!..$)$.)%.的图象如图$)'!要使方程只有三个不同的整数解只有当%时成立即原方程的三个整数解分别为$)$$$('评注!本题也可以分区间把函数!$$%改写成分段函数再通过讨论来求解但有一定的运算量'例!!!已知曲线由方程.$)$.%.!)$.$确定'!$判别曲线所围成的图形的形状%!%求所围成的图形的面积'解!!$根据题意当$+$且!+$时有$)$%!)$$即!)$%%当$+$!%$时有$)$%!$)!$即!$)$%当$%$!+$时有!$)$%!!)$$即!$%$%图!(当$%$!%$时有!$)$%!$)!$即!)$%$'所以由方程.$)$.%.!)$.$确定的曲线所围成的图形如图$,所示构成四边形012'!!!!!!!一次函数的图象与性质!%要求四边形的面积关键是判定四边形的形状'如图$,设直线!)$%和!$%$交于点则点坐标满足!)$%!$%$)从而求出点坐标为!$%'同理可求得0!%$1!$!2!!$'因为2!$)!%%!%)$槡%槡%01210槡%且20%所以2%%0%20%所以四边形012为正方形面积为9012%'评注!从本题可以看出我们在处理有关一次绝对值问题的时候基本的方法是(!$分区间进行讨论把绝对值去掉然后再分步解决%!%通过数形结合画出函数的图象往往对解题能起到事半功倍的效果'图!)例!!如图$直线!%$%,!,$!与$轴交于点直线!)$%!$!与$轴$!轴分别交于点0$2并与直线!%$%,相交于点1若0'四边形1(2的面积为$!求,$的值'分析!要求,$两个值关键找两个关于,$的方程'一个是利用0'这个条件另一个方程利用四边形(21的面积为$!这个条件'解!直线!%$%,与$轴的交点),%!!直线!)$%与$轴的交点为0!!与!轴的交点2!!则0%,%''!解方程组!%$%,!)$%)!!!!!!!一次函数与二次函数得$),!,%%'(即1点坐标为),,%%!'因为!!!!!!!!9四边形(21910)92(0$%>'>,%%)$%>>$!化简后得%))',%%!!联立方程!解得,'%)'例!!函数!槡$$的图象与$轴$!轴分别交于$0两点1点在第一象限内且01是等腰直角三角形.01+!.有一点4$!%使04和01的面积相等求的值'图!分析!如图$+根据题意要使04和01的面积相等点4应在平行于直线0且距离等于1的两条平行线上所以本题关键是求出这两条直线方程'解!易知点坐标为!槡!0点坐标为!!$故1%'设直线5$5%0且5$$5%到0的距离都等于1'过0作0705$于7点直线5$交!轴于3点'易知.307!.07%所以03'槡!!!!!一次函数的图象与性质则直线5$$5%的方程分别为!)槡$%$%槡'和!)槡$%$)槡'把$!$%代入上面两直线方程得槡%%'或槡%)''图!!+例!$!如图$$!直线(0是一次函数!%$的图象点的坐标为!!%在直线(0上找点1使得1(为等腰三角形求点1的坐标'解!分三种情况讨论(!$若此等腰三角形以(为一腰且为顶点则(1%'设1!$%$得$%%!%$)%%'解得$('则1($)!('!%若此等腰三角形以(为一腰且以(为顶点则((1%'设1!$%$得$%%!%$%'解得$:槡%(('则1槡%((槡'(!(或1)槡%(()槡'(!('!若等腰三角形以(为底边则点1的纵坐标为$则横坐标为$%即1$%!$'所以满足题意的1有'个分别为1($)!(1槡%((槡'(!(!1槡%((槡'((和1$%!$'!!!!!!一次函数与二次函数例!!已知以!!%$0!%!$(!!!三点为顶点的三角形被直线!$分成两部分设靠近原点(一侧那部分的面积为9试写出用表示的9的解析式'分析!如图$$$直线!$)是通过定点1!$!的在绕着定点1!$!动的过程中可能和线段(相交也可能和线段0相交则靠近原点(一侧的图形可能是三角形也可能是四边形故分两种情况讨论'图!!!解!易知直线0的方程为!)$%%!!)$)%直线!$)过定点1!$!'下面分两种情况讨论'!$直线!$)与线段(相交设交点为3则靠近原点(一侧的图形是三角形'在方程!$)中令$!得!)$!所以9$%>(3>(1$%>!)>$)%'因为!%(3)%所以)%)%!得9)%!)%)%!'!%直线!$与线段0相交设交点为2则靠近原点(一侧的图形是四边形'由!$)!)$%%)解得2点的坐标为%%$%$%!'所以要求的四边形面积为99(0)9210即9%)$%>$>$%'%%!$%'!$!!!!一次函数的图象与性质由于点2在0上所以它的坐标要适合!)%%$%%%!%$%)%'(解得))%或$!所以9'%%!$%!))%或$!'综合!$$!%得9)%!)%)%!'%%!$%!))%或$!'('!!!!习题!!有$!条不同的直线!$%!$%+$!其中)+',$!!则这$!条直线的交点个数最多有!!!'0'(个10'!个20+个30$个在一次函数!)$%图象上取点4作40$轴垂足为%作400!轴垂足为0%且矩形(40的面积为%求点4的坐标'设$$!满足$%!%.$)!.1$+%$%!)求$$!'$已知..%$.$.%$求.$)$.).$%$.%%的最大值和最小值'在平面直角坐标系中已知直线($%!)$(!分别交$轴$!轴于2$直线$%(!)$(!分别交$轴$!轴于0$1且2与01相交于点3求03的面积'!第'题'如图在直角坐标系中矩形(01的顶点0的坐标为!$()直线!$$恰好将矩形(01分成面积相等的两部分求的值'(设关于$的一次函数!$$%$与!!%!!!!!一次函数与二次函数%$%%则称函数!,!$$%$%!%$%%!其中,%$为此两个函数的生成函数'!$当$$时求函数!$%$与!%$的生成函数的值%!%若函数!$$%$与!%$%%的图象的交点为4判断点4是否在此两个函数的生成函数的图象上并说明理由'!第)题)如图在直角坐标系中已知直角梯形(01的顶点(为坐标原点!!0!%,1!!,'4为线段(1上一点若过0$4两点的直线为!$$$%$过$4两点的直线为!%%$%%且4004求$%!$%%的值'在直角坐标系$(!中已知$轴上的动点6!$!到定点A!(($4!%$的距离分别为64$6A当点6的横坐标为何值时646A的值最小!+在直角坐标系中已知四个点为!$0!'($1!!$2!,!当四边形012的周长最短时求,4的值'!第!!题!!如图已知边长为$的正方形(01在直角坐标系中$0两点在第一象限内(与$轴的夹角为!.求点0的坐标'!市$0市分别有某种库存机器$%台$)台现决定支援给1市$!台$2市台'已知从市调运一台机器到1市$2市的运费分别为'!!元$!!元%从0市调运一台机器到1市$2市的运费分别为!!元$(!!元'!$设0市运往1市的机器为$台求总运费B关于$的函数关系式%!%若要求总运费不超过+!!!元问共有几种调运!求出总运费最低的调运方案及最低运费是多少元!反比例函数!($图象在第一象限的一支上有一点1!$(过点1的直线!$!$!与$轴交于点!!'!$求点的横坐标与之间的函数关系式%!%当该直线与反比例函数图象在第一象限的另一交点2的横坐标为+时求1(的面积'!$已知一次函数!$$$的图象经过!$)和!%两点它与$轴$!轴的交点分别为0$一次函数!%$%的图象经过点!%!!!!!一次函数的图象与性质%在!轴上的截矩为它与$轴$!轴的交点分别为2$1'!$求这两个一次函数的解析式并在同一直角坐标系中画出它们的图象%!%求四边形012的面积%!若直线0$12交于点3$013和23的面积比是多少!已知一次函数!,$%'具有性质(!随$的增大而减小又直线!,$%'与直线$$$$'分别相交于点$2且点在第一象限内直线$$$$'分别与$轴交于点0$1'!$要使四边形012为凸四边形试求,的取值范围%!%已知四边形012为凸四边形直线!,$'与$轴相交于3且323',时求一次函数的解析式%!在!%的条件下直线!,$%'与!轴交于点7求证(点2是3(7的外心'二次函数的图象与性质!'!!!!!一次函数与二次函数!!一!二次函数的解析式形如!C!$$%%$%+!!的函数叫做二次函数'上述解析式称为二次函数的一般形式'二次函数的标准式!即顶点式为!C!$!$)D%%!!其中D$满足D)%'+)%''当二次函数的图象与$轴有两个交点!$$!$0!$%!时由多项式因式分解可知二次函数的解析式又可写为!C!$!$)$$!$)$%!!其中的对称轴方程为$$$$%%顶点坐标为$$$%%!$$$%%!''当已知二次函数图象上三点的坐标为!$$C!$$$0!$%C!$%$1!$C!$时二次函数的解析式为C!$C!$$!$$)$%!$$)$!$)$%!$)$%C!$%!$%)$$!$%)$!$)$$!$)$%C!$!$)$$!$)$%!$)$$!$)$%'在解题时可根据条件选择不同的函数形式来解题'!!二!二次函数的图象与性质一元二次函数!C!$$%%$%+!!的图象是一条抛物线'!(!!!!二次函数的图象与性质当$!时抛物线的开口向上图象在区间)5)%!.上!随着$的增大而减小!单调递减%图象在区间)%%5上!随着$的增大而增大!单调递增'因此当$)%时C!$有最小值C)%!'+)%''当%!时抛物线的开口向下图象在区间5%!.上!随着$的增大而增大!单调递增%图象在区间%5上!随着$的增大而减小!单调递减'因此当$)%时C!$有最大值C)%!'+)%''解题时若画抛物线的草图则要体现抛物线的下列特征(对称轴$顶点位置$开口方向与坐标的交点等'例!!!$设抛物线!%$%把它向右平移=个单位或向下移E个单位都能使抛物线与直线!$)'恰好有一个交点求=$E的值'!%把抛物线!%$%向左平移=个单位向上平移E个单位则得到的抛物线经过点!$和!'+求=$E的值'!把抛物线!$%$+向左平移个单位向下平移%个单位后所得抛物线为!$%其图象经过点$!$%求原解析式'解!!$抛物线!%$%向右平移=个单位后得到!%!$=%'由!%!$)=%!$)')得方程%!$)=%$)'即%$%)!'=%$$%%=%%'!'因为抛物线与直线恰好有一个交点所以上述方程有两个相同的实数根故判别式!'=%$%)'>%>!%=%%'!得=$这时的交点为!$'抛物线!%$%向下平移E个单位得到抛物线!%$%)E于是得方程!)!!!!!一次函数与二次函数%$%)E$)'即%$%)$%!')E!该方程有两个相同的实数根故判别式$)'>%>!')E!得E$这时的交点为$'$(!''!%把!%$%向左平移=个单位向上平移E个单位得到的抛物线为!%!$%=%%E'于是由题设得%!$%=%%E+%!'%=%%E)解得=)%E$)即抛物线向右平移了两个单位向上平移了一个单位'!首先抛物线!$%经过点$$!%可求得$%设原来的二次函数为!)$%!$)D%%可得)D%!)%!)解得D%)所以原二次函数为!)$%!$)%%%即!)$%$%%$)(%'说明!将抛物线!$%%$%+向右平移=个单位得到的抛物线是!!$)=%%!$)=%+%向左平移=个单位得到!!$%=%%!$%=%+%向上平移E个单位得到!$%%$%+%E%向下平移E个单位得到!!!!!二次函数的图象与性质!$%%$%+)E'例!已知二次函数的图象过点!'且在$轴上的两个交点为!$!!%!求这个二次函数的解析式'解法一!设一般式为C!$$%%$%+则由题意知C!'C!$C!)%!得方程组+%%+'%%+!')%%+!'(解得%(%(+'('(所以C!$%($%%%($)'('解法二!设两点式C!$!$)$!$%%由题设C!'则!)$!%%'得%(所以C!$%(!$)$!$%%%($%%%($)'('评注!还可以直接用三点式写出或者先确定对称轴方程$$)%%)$%'!例!设二次函数C!$$%%$%+满足条件(C!!%C!$)$且其图象在$轴上所截得的线段长为槡%%'求这个二次函数的解析式'解!由C!!%C!$$得+%%%+)$)!!!!!!!一次函数与二次函数即+%)!%)因此C!$$%)!%$%%'设图象与$轴的交点坐标为!$$!!$%!则!!!!!!!!!%槡%.$$)$%.!$$$%%'$$$槡%!%'6%槡整理得,%%%)+!则$或)+,'所以C!$$%)'$%%或者C!$)+,$%)$%,$%%'例$!已知抛物线!$%$+的一段图象如图%$所示'图!!$确定$$+的符号%!%求%%+的取值范围'解!!$由抛物线开口向上所以$!'又抛物线经过点!!)$所以+)$%!'因为抛物线的对称轴在!轴的右侧从而)%$!结合$!便可知%!'所以$!%!+%!'!%设C!$$%$+由图象及!$可知C!)$)%+!$!%!+)$'(即)$%%$)$%%!+)$'('!!!!!二次函数的图象与性质因为!!+!$$%所以)%%%%+%!'例!已知两个二次函数!$和!%当$!$!时!$取得最大值(且!%%(又!%的最小值为)%!$%!%$%%$)$%$'求的值及二次函数!$$!%的解析式'!全国初中数学竞赛天津赛区初赛解!设!$,!$)%%(则!%$%%$)$%$),!$)%)('又因为当$时!%%(即%%$)%%(解得$$或%)$,!舍去故!%$%%$)$%$),!$)$%)(!$),$%%!$)%%,$%!),'因为!%的最小值为%所以有'!$),!),)'!%,%'!$),)%解得,)%'所以!$)%$%%'$%!%$%%$%$%$!'例'!证明(无论取何实数值抛物线!$%%!%$$%$%%$'恒过定点而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上'证明!由!$%%!%$$%$%%$'$%%$%$'%$%!$%$%!$%%%$%!$%《数学奥林匹克小丛书》以专家讲座的形式展开由浅入深、夹叙夹议、讲练结合在知识学习中实现能力培养薄薄的小册子助你透析每一个专题从奥委会委员到国家队教练从大学教授到金牌教练员聚集了国内最顶尖的奥数辅导专家为你打造了一套最经典奥数专题辅导丛书数学奥林匹克小丛书第二版）初中卷初中卷1单墫著因式分解技巧初中卷2葛军编著方程与方程组初中卷3一次函数与二次函数李惟峰编著初中卷4三角形与四边形沈文选编著初中卷5柯新立编著圆初中卷6冯志刚著整除、同余与不定方程初中卷7周建新编著组合趣题初中卷8冯志刚顾滨主编初中数学竞赛中的解题方法与策略数学奥林匹克小丛书第二版）·卷高中卷1刘诗雄编著集合高中卷2熊斌朱臻苏勇编著函数与函数方程高中卷3曹瑞彬周益忠编著三角函数高中卷4李胜宏边红平编著平均值不等式与柯西不等式高中卷5苏勇熊斌编著不等式的解题方法与技巧高中卷6冯志刚著数列与数学归纳法高中卷7范端喜邓博文编著平面几何高中卷8张思汇编著复数与向量高中卷9冷岗松著几何不等式高中卷10余红兵著数论高中卷11张垚编著组合数学高中卷12熊斌郑仲义编著图论高中卷13冯跃峰编著组合极值高中卷14熊斌何忆捷编著高中数学竞赛中的解题方法与策略学奥数，这里总有一本适合你自从2000年《奥数教程》中首次在图书中使用“奥数”一词以来，华东师范大学出版社已陆续出版近200种“奥数”图书,形成多品种、多册层次全系列。“奥数”入门篇——《从课本到奥数》1‐9年级）Ａ、B版“奥数”智优篇——《优等生数学》1‐9年级）“奥数”辅导篇——《奥数教程》、《学习手册》、《能力测试》一至高三年级）“奥数”小学顶级篇——《高思学校竞赛数学课本》、《高思学校竞赛数学导引》“奥数”专题篇——《数学奥林匹克小丛书》小学、初中、高中共30种）“奥数”题库篇——《多功能题典数学竞赛》小学、初中、高中共3种）“奥数”高中预赛篇——《高中数学联赛备考手册预赛试题集锦）》“奥数”联赛冲刺篇——《高初）中数学联赛考前辅导》“奥数”IMO终极篇——《走向IMO：数学奥林匹克试题集锦》“奥数”域外篇——《日本小学数学奥林匹克》、《全俄中学生数学奥林匹克》