韦达定理及其应用

韦达定理及其应用 浙江省舟山市定海五中 薛晓波 1、 知识要点 1、若一元二次方程 中，两根为 ， 。则 ， ，；补充公式 2、以 ， 为两根的方程为 3、用韦达定理分解因式 2、 例 1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差： （1） （2） （3） 2、 已知关于 的方程 ，是否存在负数 ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的 的值；若不存在，理由。 3、 已知方程 ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。 4、 解方程组 5、 分解因式： （1） （2） 3、 练习 1、 在关于 的方程 中，（1）当两根互为相反数时 的值；（2）当一根为零时 的值；（3）当两根互为倒数时 的值 2、 求出以一元二次方程 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。 3、 解方程组 4、 分解因式 （1） = （2） 4、 聪明题 1、 已知一元二次方程 的两个实数根满足 ， ， ， 分别是 的 ， ， 的对边。（1）方程的两个根都是正根；（2）若 ，求 的度数。 2、在 中， ，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于 的方程 的两个实数根，求 的值。 韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中 字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 5.已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次 方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0 6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c = a(x- x1)(x- x2) 题1： （1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= ________ （2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0 的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = __________ 解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a•5b=30ab 解法二：由题意知 ∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a•5b=30ab ∵ab=1， a+b=-200 ∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2) = （ ab +2006a+a2)（ ab +2005b+b2) =a(b +2006+a) •b( a +2005+b) =a(2006-2000) •b(2005-2000) =30ab 解法三：由题意知 ∵ a2 +2000a+1=0； b2 +2000b+1=0 ∴ a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b ∴ （1+2006a+a2)（1+2005b+b2) =（2006a - 2000a)（2005b - 2000b) =6a•5b=30ab 题2： 已知:等腰三角形的两条边a,b是方程 x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另 一条边c=1， 求:k的值。 浅谈韦达定理在解题中的应用 　 韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考． 一、直接应用韦达定理 若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理． 例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d． 求证： (1)c＋d＝2bcosA； (2)c·d＝b2－a2． 分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明． 证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有 a2＝b2＋c2－2bccosA； a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)． ∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0， d2－2bdcosA＋b2－a2＝0． 于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根． 由韦达定理，有 c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2． 例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值． 分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解． 解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b． 由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1． 故ab＋a＋b＝－2． 二、先恒等变形，再应用韦达定理 若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理． 例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y． 证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9． 由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根． ∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0． 则z2≤0，又∵z为实数， ∴z2＝0，即△＝0． 于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y． 由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理 INCLUDEPICTURE "http://kecheng.edu.people.com.cn/classonline/contentrj/3b/3b1/html/Image14941.gif" \* MERGEFORMATINET 三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理 例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程． 解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有 a＋2a＝－P， ① a·2a＝q， ② P2－4q＝1． ③ 把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1． ∴ 方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0． 解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2． 例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4． 证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇． 由题意知α－β＝α＇－β＇， 故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2． 从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．① 把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0． 故p－q＝0或p＋q＋4＝0， 即p＝q或p＋q＝－4． 四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理 例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根． 解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α． 由韦达定理，得α(m＋α)＝3， ① α(4－α)＝－(m－1)． ② 由②得m＝1－4α＋α2， ③ 把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0， 即(α－3)(α2＋1)＝0． ∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3． 把α＝3代入③，得m＝－2． 故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3． 　 PAGE 3 _1167586249.unknown _1167586947.unknown _1167587200.unknown _1167587271.unknown _1167587393.unknown _1167587454.unknown _1167587555.unknown _1167587440.unknown _1167587318.unknown _1167587239.unknown _1167587252.unknown _1167587207.unknown _1167587219.unknown _1167587168.unknown _1167587193.unknown _1167587071.unknown _1167586523.unknown _1167586774.unknown _1167586888.unknown _1167586646.unknown _1167586428.unknown _1167586491.unknown _1167586368.unknown _1167585335.unknown _1167585672.unknown _1167585989.unknown _1167586219.unknown _1167585843.unknown _1167585406.unknown _1167585464.unknown _1167585534.unknown _1167585381.unknown _1167584912.unknown _1167585212.unknown _1167585237.unknown _1167585180.unknown _1167584806.unknown _1167584853.unknown _1167584753.unknown _1167584780.unknown _1167584702.unknown