稳定性M06

nullnull第六章 稳定性模型6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 微分方程的稳定性理论 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食null稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。null6.1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景null产量模型假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率, N~最大鱼量h(x)=Ex, E~捕捞强度x(t) ~ 渔场鱼量null一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程null产量模型稳定性判断x0 稳定, 可得到稳定产量x1 稳定, 渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率null平衡点及其稳定性6.2 微分方程组的稳定性理论1.线性常系数微分方程组null1,2为负数或有负实部p < 0 或 q < 0nullnull判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程null6.3 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。null模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律; 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1) 的 1 倍。模型null模型分析模型null种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定2>1,1>1, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点1<1, 2<1P1稳定的条件 1<1 ?1<12<1稳定条件null平衡点稳定性的相轨线分析从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0) (t)P1(N1,0)是稳定平衡点(1) 2>1, 1<1null有相轨线趋向P1有相轨线趋向P2P1稳定的条件：直接法2>1(3) 1<1, 2<1(2) 1>1, 2<1(4) 1>1, 2>1加上与(4)相区别的 1<1 P2 稳定 P3 稳定null结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1 倍。 P1稳定的条件：1<1, 2>12>1 甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝 P2稳定的条件：1>1, 2<1 P3稳定的条件：1<1, 2<1通常1  1/2，P3稳定条件不满足null6.4 种群的相互依存甲乙两种群的相互依存有三种形式1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。null模型假设 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic规律)。模型乙为甲提供食物是甲消耗的1 倍甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍null种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点null平衡点P2稳定性的相轨线 1<1, 2>1, 12<1 P2稳定null12<1 ~ 2>1 前提下P2存在的必要条件结果解释2>1 ~ 甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的 2 倍1<1 ~ 2>1, 12<1 的需要，且1必须足够小，才能在2>1条件下使12<1 成立 P2稳定条件：1<1, 2>1, 12<1null6.5 种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型) 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？null食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t)甲独立生存的增长率 r乙使甲的增长率减小，减小量与 y成正比乙独立生存的死亡率 d甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比方程(1),(2) 无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a ~捕食者掠取食饵能力b ~食饵供养捕食者能力null一.用数学软件MATLAB求微分方程数值解null计算结果（数值，图形）x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线x(t), y(t)的周期约为9.6xmax 65.5, xmin  6, ymax  20.5, ymin  3.9用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10。食饵-捕食者模型(Volterra)null二.从理论上讨论方程的平衡点及其稳定性平衡点稳定性分析 p =0, q > 0 P: 中心 不稳定 q < 0 P´ 不稳定 null1.相轨线的方向nullx(t) 的“相位”领先 y(t)nullnull模型解释r ~食饵增长率d ~捕食者死亡率b ~食饵供养捕食者能力a ~捕食者掠取食饵能力捕食者数量与r成正比, 与a成反比食饵数量与d成正比, 与b成反比null模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1, dd+1加入人工捕捞战时捕捞rr-2, dd+2 , 2 < 1食饵(鱼)减少， 捕食者(鲨鱼)增加自然环境