角平分线

角平分线 角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.（“3-1-4”定理） 逆定理：到角两边距离相等的点在角的角平分线上. 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 方法总结： （1）有角平分线时，常国角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.（利用角平分线翻折） 一、基本性质及简单应用 例1. 如图，MP⊥NP，MQ为ΔNMP的角平分线，MT=MP，连接TQ， 则下列结论中，不正确的是（ ） A. TQ=PQ B. ∠MQT=∠MQP C.∠QTN=900 D. ∠NQT=∠MQT 例2．已知：如图，BD是 的平分线， ，P在BD上， ， . 求证： . 例3．如图，已知：在 中，外角 和 的平分线BF，CF相交于点F. 求证：点F在 的平分线上. 例4. D是 的平分线与 的外角平分线的交点，DE∥BC，交AB于E，交AC于F. 求证： 例5.如图，CE⊥AB于E，BD⊥AC于点D,BD,CE交于点O，且AO平分∠BAC. （1）求证：OB=OC; (2 )若将条件“AO平分∠BAC”和结论“OB=OC”互换，命题还能成立吗？请说明理由. 例6. 如图， 是等腰直角三角形， ，BD是 的平分线， 于E， ，求 的周长. 针对练习： 1．如图，已知：AD是 的角平分线，DE、DF分别是 和 的高. 求证： . 2．如图，已知：在 中AD是 的平分线， 于E， 于F. 求证： . 3．已知：如图，在 中， ， ，AD是 的平分线. 求证： . 4．如图，已知： ， 于F， 于E.求证：D在 的平分线上. 二、拓展应用 例1. EG，FG分别是∠MEF和∠NFE的平分线，交点是G点，BP，CP分别是∠MBC和∠NCB的平分线，交点是P点，点F,C在AN上，点B,E在AM上. (1) 如果∠G＝470，那么∠P的度数大小你能知道吗？ (2) 试求出来.点A,P,G的位置关系如何？证明你的结论. 例2. 如图，BD平分∠ABC，AD=DC，BC>AB,问∠A与∠C有怎样的关系？ 变式题：若上题中条件该为“BD平分∠ABC，BC>AB, ∠A＋∠C＝1800.”求证：AD=DC. 例3.如图,在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AC=AB+BD.求证：∠B=2∠C 变式题: 如图,在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C. 求证： AC=AB+AD 例4.如图，BD＝DC,ED⊥BC交∠BAC的平分线于E，作EM⊥AB,EN⊥AC,求证：BM＝CN. 例5. 如图，∠B=∠C=900,M点是BC中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB. 变式题. 如图，AB∥CD, ∠ABC、∠BCD的平分线恰好交于AD上一点E，试说明BC＝AB+CD. 针对练习： 1.如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB， DBP＝ DBC.求证： P＝ 2、已知：如图，在△ABC中，∠B＝ ，△ABC的角平分线AD、CE线相交于点O 求证：AE+CD＝AC 3.如图，在△ABC中，∠A＝90°，且AB=AC，BE平分∠ABC交AC于F，过C作BE的垂线交BE于E.求证：BF=2CE 巩固性练习 1、下列说法正确的有几个（ ） （1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； （2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等； （3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等； （4） 点E、F分别在∠AOB的两边上，P点到E、F两点距离相等，所以P点在∠AOB的平分线上； （5） 若OC是∠AOB的平分线，过OC上的点P作OC的垂线，交OB于D，交OA于E，则线段PD、PE的长分别是P点到角两边的距离 A．2 B 3 C 4 D 5 2、在△ABC中，∠C＝ ，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则D到AB的距离等于＿＿＿＿ 3、已知：如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E， AB＝18cm,BC＝12cm, 求DE的长 4．已知：如图，在 中，BE、CF分别平分 、 ，且交于点O， 求证：点O在 的平分线上. 5、.如图在 △ABC中,∠BAC＝100°,∠ACB＝20°,CE 是∠ACB的平分线,D是BC上一点,若∠DAC＝20°,求∠CED的度数. 6.在四边形ABCD中,BC﹥BA,AD＝CD,BD平分∠ABC,∠C＝72°,求∠BAD的度数 M N P Q T C E F D B A FA A E D B C A B CC E D O D C A B A B D C A B D C B M E D N C A D C A B M B A C D E A B D P C D O A B C E A B C E F C B A D E O B F C E A E D C B A C A B D 第 5 页 共 5 页 _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567921.unknown _1234567925.unknown _1234567929.unknown _1234567931.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown