用向量方法解决数学问题

用向量方法解决数学问题 用向量方法解决数学问题 将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。这是由于向量知识具有以下几大特点和需要。 首先，利用向量解决一些数学问题，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。 其次，向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。 向量具有很好的“数形结合”特性。一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。 第三，向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量，即物理学中所称的“矢量”的研究。其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量。几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。矢量广泛地应用于力学（如力，速度，加速度等）和电学（如电流方向，电场强度等）理论之中，在高中新教材中引入向量章节，对向量进行系统深入的学习和研究。对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利。同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情。 如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用。 第四，把向量理论引入高中教材，也是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。 追溯向量在数学上的兴起与发展，还是近几十年的事。翻阅早期一些关于数学学史的书藉，很少有关于向量发展史的介绍。随着向量研究的深入，在许多方面已经取得了突破，向量理论也象函数、三角、复数等数学分支一样日趋完备，形成了独立的数学理论体系。越来越多的数学教育者认识到向量不象其他新兴数学学科那么深奥难懂，易于处于高中文化水平之上的学生理解和接受，且其所具有的良好的“数形结合”特点使它与高中数学知识能够融汇贯通，相辅相承。因此，为了保持与世界数学教育发展同步，使当代中学生能够较早接触当代数学的前沿，在高中数学教育中引入向量是非常必要和可行的。 将“向量”引入高中数学教材后，值得探讨和深思的几个问题 首先，从运用向量解题的方法和未运用向量的解题方法的比较中，可以看到向量解题的优势就在于只运用了向量公式的简单变形就解决了一个通过繁琐解析几何分析方能解决的问题。“这是未来数学的解题模式，是数学的进步。”同样，这一思想也是对笛卡尔“变实际问题为数学问题，再变数学问题为方程问题，然后只需求解方程便可使问题得以解决”这一数学哲学思想的完美体现。然而，高中一线的数学教师都知道：培养学生的“运算能力、分析能力、空间想象能力”这三大能力是高中数学教学的最主要目标之一。而采用这样一种单纯得只需代入公式，并在解题过程中无需任何几何分析甚至连图都可不画的解法，对学生又怎能算得上是一种能力的培养。如果单单要求学生做这样的一些题目，会把学生培养成只会按步照搬，缺乏创造力、分析力、想象力的“数学机器”。这与当代数学的培养目标是背道而驰的。 其次，大多数已经从事过向量教学的老师会有这样的感受。即向量的引入虽然给其他后继数学理论的推导和难题的解决带来了便利，但其本身的理论和由其理论介入的一些解题过程，在教学过程中却很难使学生理解和接受。这无形中加大了中学数学教育者的教学负荷。某些题目的作法，虽然在运用该向量公式时解题很简单，但要使学生明白这条公式的由来和演化过程却要花去课程的不少时间。要解决这一问题，笔者认为归根结底要依靠通过加强对向量部分知识的细致教学，加深学生对向量知识的理解和灵活运用来完成。 第三，对于新教材引入向量章节，教育上层机关还应该积极做好对一线教师的宣传、工作，必要时应该动用政策性指令加以干预和指导，促使向量教学在中学教学中的顺利开展。然而许多中学教师对向量编入高中教材提出了反对意见，甚至不能理解。对于这点，究其原因有二：一方面是由于新教材刚刚实施，大家还没有实践体验，很难发现向量的优势所在。另一方面，许多一线教师，尤其是老教师，教授老教材多年，教学已经形成固定的有效模式，且其自身的向量知识和对向量教学优势的认识都比较缺乏所致。由此可见，在普及新教材的过程中，对从事新教材教学的数学教师进行短期向量知识的教学培训是相当必要的。另外，新教材中大量向量知识的引入和合理编排也是使教育者和被教育者感受到应该教好和学好向量知识的最具说服力的佐证。笔者自己在教学中对待向量的态度，随着教学的深入也经历了一个从开始不能理解，到逐渐领会其用意和精髓，到最后赞成并认真在教学实践中加以贯彻的过程。 另外，在中学数学教学中，对向量章节轻视，粗略带过，甚至不教不学的现象在多数学校也普遍存在。要根本上杜绝这些现象的发生，还需依靠教育改革的正确引导。 班级：2016届 班 指导教师： 课题组长： 一 问题提出：学习平面向量后，根据课本活动，进行“平面向量的应 用研究” 二 研究内容、方法及过程： 制定。 得出结论。 组内讨论。 三 结果与结论：经组内讨论认为，平面向量有着广泛的应用。 四 研究体会与收获：通过这次活动我们认识到教学圆形手工制作，在生活中的广泛应用，让我们了解到数学圆形在生活中发挥着很大的作用。 指导教师评语： 通过同学们的分工和合作，进行数据搜集和整理工作。调查方法科学合理，记录简洁，明了清晰。通过同学们研究性学习活动的开展，培养了合作团队精神，达到了预期的目的。 用向量方法解决数学问题 将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。这是由于向量知识具有以下几大特点和需要。 首先，利用向量解决一些数学问题，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。 其次，向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。 向量具有很好的“数形结合”特性。一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。 第三，向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量，即物理学中所称的“矢量”的研究。其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量。几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。矢量广泛地应用于力学（如力，速度，加速度等）和电学（如电流方向，电场强度等）理论之中，在高中新教材中引入向量章节，对向量进行系统深入的学习和研究。对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利。同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情。 如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用。 第四，把向量理论引入高中教材，也是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。 追溯向量在数学上的兴起与发展，还是近几十年的事。翻阅早期一些关于数学学史的书藉，很少有关于向量发展史的介绍。随着向量研究的深入，在许多方面已经取得了突破，向量理论也象函数、三角、复数等数学分支一样日趋完备，形成了独立的数学理论体系。越来越多的数学教育者认识到向量不象其他新兴数学学科那么深奥难懂，易于处于高中文化水平之上的学生理解和接受，且其所具有的良好的“数形结合”特点使它与高中数学知识能够融汇贯通，相辅相承。因此，为了保持与世界数学教育发展同步，使当代中学生能够较早接触当代数学的前沿，在高中数学教育中引入向量是非常必要和可行的。 将“向量”引入高中数学教材后，值得探讨和深思的几个问题 首先，从运用向量解题的方法和未运用向量的解题方法的比较中，可以看到向量解题的优势就在于只运用了向量公式的简单变形就解决了一个通过繁琐解析几何分析方能解决的问题。“这是未来数学的解题模式，是数学的进步。”同样，这一思想也是对笛卡尔“变实际问题为数学问题，再变数学问题为方程问题，然后只需求解方程便可使问题得以解决”这一数学哲学思想的完美体现。然而，高中一线的数学教师都知道：培养学生的“运算能力、分析能力、空间想象能力”这三大能力是高中数学教学的最主要目标之一。而采用这样一种单纯得只需代入公式，并在解题过程中无需任何几何分析甚至连图都可不画的解法，对学生又怎能算得上是一种能力的培养。如果单单要求学生做这样的一些题目，会把学生培养成只会按步照搬，缺乏创造力、分析力、想象力的“数学机器”。这与当代数学的培养目标是背道而驰的。 其次，大多数已经从事过向量教学的老师会有这样的感受。即向量的引入虽然给其他后继数学理论的推导和难题的解决带来了便利，但其本身的理论和由其理论介入的一些解题过程，在教学过程中却很难使学生理解和接受。这无形中加大了中学数学教育者的教学负荷。某些题目的作法，虽然在运用该向量公式时解题很简单，但要使学生明白这条公式的由来和演化过程却要花去课程的不少时间。要解决这一问题，笔者认为归根结底要依靠通过加强对向量部分知识的细致教学，加深学生对向量知识的理解和灵活运用来完成。 第三，对于新教材引入向量章节，教育上层机关还应该积极做好对一线教师的宣传、培训工作，必要时应该动用政策性指令加以干预和指导，促使向量教学在中学教学中的顺利开展。然而许多中学教师对向量编入高中教材提出了反对意见，甚至不能理解。对于这点，究其原因有二：一方面是由于新教材刚刚实施，大家还没有实践体验，很难发现向量的优势所在。另一方面，许多一线教师，尤其是老教师，教授老教材多年，教学已经形成固定的有效模式，且其自身的向量知识和对向量教学优势的认识都比较缺乏所致。由此可见，在普及新教材的过程中，对从事新教材教学的数学教师进行短期向量知识的教学培训是相当必要的。另外，新教材中大量向量知识的引入和合理编排也是使教育者和被教育者感受到应该教好和学好向量知识的最具说服力的佐证。笔者自己在教学中对待向量的态度，随着教学的深入也经历了一个从开始不能理解，到逐渐领会其用意和精髓，到最后赞成并认真在教学实践中加以贯彻的过程。 另外，在中学数学教学中，对向量章节轻视，粗略带过，甚至不教不学的现象在多数学校也普遍存在。要根本上杜绝这些现象的发生，还需依靠教育改革的正确引导。 班级：2016届 班 指导教师： 课题组长： 一 问题提出：学习平面向量后，根据课本设计活动方案，进行“平面向量的应 用研究” 二 研究内容、方法及过程： 制定计划。 得出结论。 组内讨论。 三 结果与结论：经组内讨论认为，平面向量有着广泛的应用。 四 研究体会与收获：通过这次活动我们认识到教学圆形手工制作，在生活中的广泛应用，让我们了解到数学圆形在生活中发挥着很大的作用。 指导教师评语： 通过同学们的分工和合作，进行数据搜集和整理工作。调查方法科学合理，记录简洁，明了清晰。通过同学们研究性学习活动的开展，培养了合作团队精神，达到了预期的目的。