不连续的自然数的立方和等于其和的

不连续的自然数的立方和等于其和的 不连续的自然数的立方和等于其和的平方 的一个特例及其证明 大家知道，13+23+……+n=（1+2+……+n)= 3 2 14 n(n1) 2 2 。即从1开 始连续自然数的立方和等于其和的平方。那么，有没有不连续的自然数的立方和等于其和的平方呢？是有的。请看下面的例子： 1+2+2+4=（1+2+2+4)=9=81； 3 3 3 3 2 2 333++++31224+6=（1+2+2+3+4+6)=18=324； 3 3 3 2 2 以上两个式子可不是随便写的。第一个式子中的1、2、2、4分别是6的因数1、2、3、6的因数个数，第二个式子中的1、2、2、3、4、6分别是12的因数1、2、3、4、6、12的因数个数。 6和12都是合数，是不是所有合数的因数的因数个数的立方和都等于其和的平方呢？答案是肯定的。证明如下： 1、若N=q(N是合数，q是素数，r是大于等于1的自然数。）N的因数则有1、……q，它们各自的因数个数是1、2、3、……q、q、（r+1）。显然13+23+……+(r1)=（1+2+……+(r1))= 3 2 r 2r 1 4 (r1) 2 (r2) 2 。 2、若N=q1q2……qn(N是合数，q1、q2……qn是素数，n是大于1的自然数。）N的因数则有1；q1、q2……qn；qiqj（1≦i、j≦ 2 共cn个；qin） qq（1≦i、j、k≦n）共c j k 3 n 个；……；q1q2……qn， 2 一共有2n个。它们各自的因数个数是1、2（共n个2）、4（共cn个4）、38（共cn个8）、……2n。它们的立方和是 1+2 33 n+4c+8 2 n 33 3323 +(23)cn……+(23) c……+(2n)=1+2n+(23)cn3 n 323n n3=(12)=(32)=(3n) n2 而（1+2n+4c+8c+……+2 2 n 3n n ) 2 =（1+2n+2c+2c+……+2 2n 3n 23n ) 2 = ((12)n)=(3n) 22 它们的立方和等于它们和的平方。以上证明两次用到了牛顿二项式定理。 3、若N=q1r 1 qr……qr(N是合数，q 2 n 2n1 、q2……qn是素数，r1、 2 3 ）N的因数是（1+q1+q1+q1+……r2……rn和n是大于1的自然数。 r）展开式中的+q1r）（1+q2+q2+……+qr）……（1+++……qqqnn2n 1 2 2 2 n 每一项，共有（r1+1）（r2+1）……（rn+1个数都等于组成它的不同素数幂的因数个数之积。所以N的所有因数的因数个数的立方和可以这样计算： （1+2+……+(r11)）（1+2+……+(r21)）……（13+23+…… 3 3 3 3 3 3 +(rn1) (rn1) 2 3 1 ）=（ 4 2 (r11)(r12) 22 ）（ 1 4 (r21)(r22) 14 2 22 ）……（ 14 (rn2)） 所有因数的因数个数的和的平方也是（ (r11)(r12) 22 ）（ 1 4 (r21)(r22) 22 ）……（(rn1) 4 1 2 (rn2)） 二〇一七年五月十日