河流混合污染物浓度二维移流扩散方程的解析

年 月 水 利 学 报 第 卷 第 期 收稿日期 作者简介 武周虎 男 陕西岐山人 硕士 教授 主要从事环境水力学与水污染防治研究 文章编号 河流混合污染物浓度二维移流扩散方程的解析计算 及其简化计算的条件 顺直宽河流不考虑边界反射 武周虎 武 文 路成刚 青岛理工大学 环境与市政学院 山东 青岛 中国科技大学 工程科学学院 安徽 合肥 摘要 在恒定连续点源条件下 从移流扩散方程的二维解析解出发 给出了顺直宽河渠无边界反射情况下 污染混 合区的二维解析计算方法和等浓度曲线方程 了污染混合区的形状变化规律 以简化二维移流扩散条件下的 污染混合区长度为特征长度 流速 和纵向扩散系数 定义了贝克来数 ? 给出了污染混合区无量 纲上 下游长度 最大宽度及相应纵坐标和面积的试算公式及诺莫图 结果表明 污染混合区的无量纲长度主要取 决于贝克来数 而无量纲最大宽度和面积既取决于贝克来数也与横向与纵向扩散系数的比值 有关 在此基础 上 给出了非保守物质污染混合区的修正计算方法 以及保守与非保守物质的计算分区图 系统地提出了二维移 流扩散方程的简化计算条件 关键词 污染混合区 二维解析方法 无量纲诺莫图 移流扩散方程 简化条件 非保守物质 中图分类号 文献标识码 研究背景 河流沿岸地区工业废水或城镇生活污水处理后 经管道或暗渠排入河道 在排污口附近形成污染混 合区 通常河流水深远小于宽度 污水进入该区后很快达到垂线上浓度的均匀混合 因此排污口上 下 游附近污染物的移流扩散和污染混合区的空间分布特征多属于平面二维问 河流岸边水域是人类生 产生活对水质要求较高的区域 对岸边污染混合区允许范围的确定 是实施总量控制 确保水环境功能 目标实现的关键所在 国内外对于河流 水库中污染混合区的计算与移流扩散方程分类简化条件的研究成果 大多是采用 移流扩散方程与边界简化条件下的解析方法和实际工程条件下的数值求解方法获得 武周虎等 采 用理论方法给出了河流一维移流离散模型新的简化 分类判别条件 并采用解析方法推导了简化二维和 简化三维移流扩散的污染混合区最大长度 最大宽度与相应纵坐标 面积以及后者的最大深度等理论公 式 李锦秀等 对三峡水库采用整体一维水质数学模拟方法研究了污染物浓度的沿程变化情况 陈永灿 等 对三峡水库采用二 三维水质数学模拟方法研究了交汇河段和岸边污染混合区范围 在 洪水漫滩条件下分析了河流中污染物的混合过程 水质模型具有地形适应性强等特点 但不能给出污 染混合区尺度和最大允许污染负荷与水文 水力条件和扩散参数之间的具体函数关系 给计算数据的归 纳分析和结果应用带来不便 本文在恒定连续点源条件下 从移流扩散方程的二维解析解出发 对顺直宽河渠污染混合区进行解 析计算 推导污染混合区范围的各特征尺度和最大允许污染负荷量的理论公式 分析提出移流扩散方程 的分类简化条件 进行污染混合区解析结果分析与非保守物质的计算 污染混合区的解析计算 等浓度曲线方程 污染混合区是从水环境功能区管理的角度出发 针对排污产生的污染超标区域 提出来的概念 它是指由于排污而引起污染物超标水域的影响范围 基于二维移流扩散方程 在恒定连续点源条件下的解析解 式中 ? 为沿河流流向的纵坐标 为垂直于 的横向坐标 坐标原点取在排污点 为单位时间的排污强度 为平均流速 为纵向 横向扩散系数 为边界反射系数 对于中心排 放取 对于岸边排放取 考虑两岸多次反射的情形另文研究 为第二类修正的零阶贝 塞耳函数 在采用 计算时 对应的函数形式为 为自变量 根据式 污染物浓度分布的衰减特征 令排污引起的允许浓度升高值 与背景浓度 叠加等 于水环境功能区所执行的浓度值 即 则该等浓度线所包围的区域为污染混合区 令等标污染负荷 ? ? 其中 为排污流量 为排污浓度 则由式 可知 污染混合区 外边界等浓度曲线方程为 岸边排放计算的定义域为 不计对岸反射 中心排放计算的定义域为 不计岸边反射 污染混合区长度 以简化二维移流扩散条件下的污染混合区长度 ? 为特征 长度 定义贝克来数 ? 表示纵向移流作用与纵向扩散作用的比值 并对 坐标进行无量纲 化 则式 污染混合区外边界等浓度曲线方程变为 式中 ? ? ? ? 当 时 由式 可以得到污染混合区的无 量纲上游 长度 和下游 长度 所满足的关系式分别为 ? 或 或 污染混合区无量纲总长度 等于上 下游长度之和 即为 由式 式 试算点绘污染混合区无量纲上 下游长度和总长度与贝克来数的关系曲线见图 由图 可以看出 岸边污染混合区无量纲下游长度随贝克来数的增大而迅速增大 说明纵向移流作 用与纵向扩散作用的比值越大 污染混合区无量纲下游长度越大 最后增大到 当 很小时 污 图 岸边污染混合区无量纲尺度与贝克来数的关系 染混合区无量纲上 下游长度趋于相等 当 时 污染混合区无量纲上游长度随贝克来 数的增大而增大 当 时 污染混合区无量纲上游长度随贝克来数的增大而减小 最后接近于 说明污染混合区无量纲上游长度随贝克来数的变化存在极大值 该极大值出现在 点 其值为 当 时 污染混合区无量纲总长度达到最大值 污染混合区形状 宽度 对于不同的贝克来数 令 在式 中预设 通过试算获得 以此可计算并绘制一系列污染混合区外边界等浓度曲线见图 对于中心排放污 染混合区在 轴两侧为对称形 图 当 时对不同的贝克来数岸边污染混合区无量纲曲线分布 由图 可以看出 贝克来数对污染混合区的形状 范围大小起着决定性的作用 当贝克来数趋于零 时 污染混合区接近标准椭圆 当 时 污染混合区无量纲上游长度达到最大值 污染混合区无 量纲下游长度随贝克来数的增大而增大 当 时 令对应的 由式 得到污染混合区无量纲宽度 所满足的关系式为 对于不同的贝克来数 给定 可由式 试算污染混合区在 处的无量纲宽度 对于中心排放 污染混合区在 处的无量纲宽度为 由式 可以得到污染混合区无量纲最大宽度 与相应纵坐标 所满足的关系式为 对于不同的贝克来数 令 由式 采用试算比较法确定污染混合区无量纲最大宽度 和 相应纵坐标 并将其结果点绘于图 对于中心排放污染混合区最大宽度为 在图 中 ? 和 是 时的结果 由于 与 成正比 由式 可知 和 ? 一样 与 无关 由图 图 可以看出 岸边污染混合区无量纲最大宽度 随贝克来数的变化规律与无量纲上游 长度基本相同 即呈现为随贝克来数的增大无量纲最大宽度先增大而后减小的变化趋势 无量纲最大宽 度的极大值出现在 点 其值为 相应纵坐标 当贝克来数很小时 移 流作用远小于纵向扩散作用 无量纲最大宽度趋近于 相应纵坐标 由文献 可知 当贝克来数很大时 移流作用远大于纵向扩散作用 ? ? 对岸边污染混合区形状 的进一步分析表明 无量纲最大宽度与无量纲总长度的比值 即宽长比 随贝克来数的增大而减小 说明 当移流作用远大于纵向扩散作用时 污染混合区在排污口下游拉成细长带状 当 很小时 污染混合 区宽长比为 ? 当 很大时 污染混合区宽长比为 ? 污染混合区面积 由于污染混合区外边界等浓度曲线无量纲方程式 是一个隐函数关系 直接 采用积分求解不同贝克来数时的污染混合区面积有一定困难 由上面分析可知 当 时 污染混 合区外边界等浓度曲线无量纲方程是一个标准椭圆方程 常数或 ? 常数 则有污染混合 区无量纲面积计算公式为 由文献 可知 当贝克来数很大时 方向的纵向扩散作用可以忽略不计 此时污染混合区为近似 椭圆 无量纲面积计算公式为 由式 式 图 和图 分析认为 对于不同的贝克来数污染混合区均为近似椭圆 随着 增大该近似椭圆更加细长 并且随 的增大 污染混合区无量纲面积系数 也增大 即无量纲面积计 算公式可表示为 其中无量纲面积系数为 在式 中无量纲面积系数的变化范围很小 通常可取平均值 或最大值 进行计算均 能满足实际工程的精度要求 选取后者对于环境管理偏于安全 对于中心排放污染混合区无量纲面积 为 岸边污染混合区无量纲面积与贝克来数的关系见图 由图 可以看出 岸边污染 混合区无量纲面积的最大值出现在 点 其值为 当贝克来数很小时 无量纲面 积趋近于 ? 当贝克来数很大时 无量纲面积趋近于 ? 移流扩散方程的简化条件 根据污染混合区上 下游影响长度的比值与贝克来数 的关系可以确定物质纵向输移的形式 由图 可以得到 当 ? 时 相应的 比简化条件 ? 更加全面 系统和可操作 性 可忽略纵向扩散作用按简化二维移流扩散 问题处理 其污染混合区采用本文方法 中贝克来数很大的情况或文献 提出的方法计算 当 ? 时 相应的 此时 纵向移流和扩散作用都比较重要 按二维移流扩散 问题处理 其污染混合区采 用本文提出的方法计算 当 ? 时 相应的 可忽略纵向移流作用按二维扩散 问题处理 其污染混合区按贝克来数很小的情况进行简化计算 当 时 由图 可知 污染混合区近似为标准椭圆 则 另由高等数学可知当 ? 时 ? ? 由此可将式 式 简化得到污 染混合区的无量纲上 下游长度为 同样可以得到 时 污染混合区的无量纲最大宽度为 此时 污染混合区的无量纲面积为 该简化计算公式在贝克来数稍大接近 时误差较大 其误差值为正 对环境管理偏于安全 一般 适用于河流下游感潮河段排污量小的污染混合区计算 结果分析与非保守物质的计算 结果分析 本文对于污染混合区的解析计算结果给出了无量纲尺度及 时的诺莫图 污染 混合区的无量纲长度主要取决于贝克来数 无量纲最大宽度和面积主要取决于贝克来数 与 污染混合区各长度量等于 ? 乘以相应的无量纲尺度 污染混合区的面积等于 乘 以无量纲面积 因此 在 为定值的情况下 贝克来数 ? 具有反映排污口附近污染混合区尺 度的重要意义 在这里贝克来数之所以能够作为移流扩散方程的简化参数 是因为贝克来数的物理意义可表示为 纵向移流尺度的平方 纵向扩散尺度的平方 即当 很大时纵向移流作用占主要地位 当 较小时纵向扩散作用占主要地位 将特征长度 代入 式 得到贝克来数的具体表达式为 由式 可以进一步看出 贝克来数 与 ? 的平方成正比 与 成反比 但与 流速无关 纵向流速主要影响特征长度 不影响 即在水深 纵向和横向扩散系数不变的情况下 对 于不同的等标污染负荷 排污量?允许浓度升高值 和边界反射系数 排污口附近污染混合区中物质的纵 向输移形式仍然会有很大的差别 在河流水文 水力条件和扩散参数以及排污强度 不变的情况下 贝克来数 与水环境功能区标准值或允许浓度升高值 的平方成反比 也就是说 即使其它条件都 不变 对于不同的水环境功能区标准值或允许浓度升高值 污染混合区的形状和尺度范围仍然会发 生较大的变化 非保守物质的修正计算 对于非保守物质的二维移流扩散方程 在恒定连续点源条件下的解析解 式中 降解与纵向扩散作用纵向移流作用 为 数 为反应降解系数 其他符号同前 当 时 由式 可以得到非保守物质污染混合区的下游 长度 所满足的关系式为 在已知排污口附近污染混合区贝克来数 和 数的条件下 采用式 试算求解污染混 合区的无量纲下游长度 并以此值对保守物质的污染混合区尺度范围进行修正 可以得到相应情 况下非保守物质的污染混合区尺度范围 保守与非保守物质计算分区 当 时 由式 可以得到忽略反应降解作用按保 守物质处理所满足的关系式为 或 其中 见图 则可以得到忽略反应降解作用按保守物质处理的 条件为 在 数和贝克来数 满足式 的条件下 可以忽略反应降解作用按保守物质计算污染 混合区范围 见图 在实际应用中 按保守物质处理对环境管理偏于安全 图 保守与非保守物质污染混合区的计算分区 结论 从移流扩散方程的二维解析解出发 给出了顺直宽河渠污染混合区的二维解析计算方法和等浓度 曲线方程 分析了污染混合区的形状变化规律 以 ? 为特征长度 定义了贝克来数 ? 给出了污染混合区无量纲上 下游长度 最大宽度及相应纵坐标和面积的试算公式及 时的诺莫图 系统地提出了二维移流扩散方程的分类简化条件 具有很好的可操作性和实用性 给出了非保守物质污染混合区的修正计算方法 公式以及保守与非保守物质的计算分区图 参 考 文 献 黄真理 李玉　 陈永灿 等 三峡水库水质预测和环境容量计算 北京 中国水利水电出版社 廖文根 李锦秀 彭静 水体纳污能力量化问题探讨 中国水利水电科学研究院学报 周丰 刘永 黄凯 等 流域水环境功能区划及其技术关键 水科学进展 武周虎 河流移流离散水质模型的简化和分类判别条件分析 水利学报 武周虎 贾洪玉 河流污染混合区的解析计算方法 水科学进展 武周虎 水库倾斜岸坡地形污染混合区的三维解析计算方法 科技导报 李锦秀 廖文根 黄真理 三峡水库整体一维水质数学模拟研究 水利学报 陈永灿 刘昭伟 李闯 三峡库区岸边污染混合区数值模拟与分析 ??中国水力学 成都 四川大学出 版社 张书农 环境水力学 南京 河海大学出版社 余常昭 环境流体力学导论 北京 清华大学出版社 ? 编辑 韩 昆