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题根研究 其 逆 定 理 的 题 根 浙江 楼 可飞 三垂线定理及其逆定理是 立体几何 中的 2个重 要定理，在解决 某些立体几何 问题 时，具有较大的优 越 性 ，尤其在 处 理垂 直问题 的时候． —雕 如果一个角所在 平面外 一点 到角的两边 的距离相等 。那么这点在平面 内的射影在这个角的平 分线 上． 0 如图1， BAc在平面a内，点P a，PE上 。解 析 AB 、 PF上Ac、P0上 ，垂 足分 别 为 E、F、0， PE— PF ． 求证 BA0一 CAO． 证明 因为 PE上AB、PF 上AC、PO上 a，所 以 AB上OE、 A OF(三垂 线 定 理 的 逆 定 理)．因 为 PE—PF、PA—PA， 所 以 Rt&PEAcoRt△PFA 所 以 AE—AF 又 A0一 A0，所 以 图 1 Rt ： t△AFD，所 以 B4( ( 联系 (1)i垂线定理可以简记为“垂直射影，则 垂 直斜 线 ”；i垂线 定 理 的逆定 理 可 以 简记 为 “垂 直斜 线 ，则垂 直射 影 ”； (2)在三 垂线定 理 的逆 定 理 中 ，其 内涵 特征 是 “三 垂 ”：一垂 (直 线 和平 面 垂 直 )+二 垂 (垂 直 射影 )一三 垂 (垂 直斜 线 )，这里 的第 一垂 是 “P0上 a”，第 二垂 是 “PE上AB ”，第 j垂 是“AB上OE”．特 别要 注意 ：没有 第一垂 (线 面垂直 )，不能体现斜线在平面内的射影 ， 也就没 有这 样 良好 的定理 了； (3)在三 垂线 定理 中 ，其 内涵 特 征也 是 “ 垂 ”：第 一 垂 (直 线 和平 面垂 直 )+第 二垂 (垂 直 斜 线 )一第 垂 (垂 直 射影 )． 第 1变 把条件中的“距离相等”改为“角相等” ． 例 1 经 过 一 个 角 的顶 点 引所 在 平 面 的 斜 射 线 ，设 它 和已 知角 两 边 的夹 角 为锐 角 且 相 等 ，求 证 这 条斜线 在 平 面内 的射 影是 这个 角 的平分 线． 分 析 已知 直 线 和平 面 垂 直 ，即“第 一 垂 ”，如 何 设 计 、构造 出“第 二垂 ”，才 能应 用 垂线 定 理 得 出“第 三 垂 ”?这 也是 应用 i垂线 定理及 其 逆定理 的关 键． 已知 BAC 在 平 面 a内，点 P ，两 锐角 PAB一 PAC、P0上a，垂足 为 0． 求证 BAO= CAO． 证明 如图 1，作 PE上AB、PF上AC，垂足分别 为 E、F，连 接 EO、FO．因为 PE上AB、PF上AC，P0上 a ，所 以 AB上 OE、AC上 OF (三 垂 线 定 理 的逆 定 理 )． 因为 PAE一 PAF， PEA一 PFA一90。，PA— PA，所 以 Rt△PEA Rt△ PFA，AE—AF．又 AO— A0，所 以Rt△AE() Rt△ AFO，故 BAO= CAO． 联系 (1)可以看出，例 1与原题的证法有一定 的共 性 ；(2)解 答 中 ，若 设 OE上AB、OF上 AC，垂 足 分 别为 E、F，则 可 由 垂 线 定 理 得 出 PE上 AB、PF上 AC．这 2种 处理 都是 可行 的． 例 2 PA、PB、PC是 从点 P 弓『出 的 3条 射线 ， 每 2条夹角均为 6O。，求直线 PC和平面 PAB所成角 的 大小 ． 分析 一 般地 ，立体几何 解答 题有 以下 4个步 骤 ：①作(作 图)、②指(具体指出所要求 的度量)、③算 (计算 )、④ 答 (作 答 )．其 中在 计 算 时 ，往 往 将 空 间 图形 平 面化 、平 面 图形 角形化 ． 解 如图 2(与图 1类似 )， CP0 就 是 直 线 PC 和 平 面 PAB所 成 的角．同理 PE—PF． 设 PE— PF一 1．在 △PEQ 中 ， EP上EQ， P一6O。，得 PQ一2． 在 △ PE0 中 ，EP上 )， P— r) 30。，得 PO一 ．在 △ POQ 中 ， 图2 OP~OQ，cos~QPO--器一 ，所以 arccos ． 联系 (1)在计算时，往往从最基础的i角形算 起 ；(2)PC是面 a的任意一条斜线 ，PO是 PC在面 a内 的射影 ，PA是面 a内过点 P的一条直线 ，若记 ~CPA= ， OPC=O1， 4 P()一 ，则 COS 一COS O1COS ，所 以动 角 Ol< (定 角 )，这 就 是 “最 小 角 定 理 ”．在 例 2中，COS CPA=cos~CPOcos ()PA，COs 一 一争 即 CPO=areeos ． 第 2变 与两条已知直线成等 角的直线有几条 已知异 面 直线 a、b成 6O。角 ，P 为 空 间一 冯道与和凝，是五代时的两个大官．前者性子慢，后者正相反．一天，和凝见冯道买了一双新靴，便问：“花了多少钱?” 冯道慢慢抬起一只脚：“九百文．”和凝一听，顿时火冒三丈，回头便骂仆人：“你替我买的那双靴，为什么要一千八?’’和凝越 说越气，却见冯道又慢慢抬起另一只脚，慢条斯理地说：“别急嘛，这只也是九百文．” 例 翟 维普资讯 http://www.cqvip.com 点 ，过 P可作 几条 直线 与 a、6所成 的 角都 为 60。? 分析 在 图 2中 ，PA (设 为 “)、 PB(设 为 6)、PC 3条 直线 两两所 成 的 角都 为 6O。，很显 然是 满 足题 意的 。 解 如图 3，直线 Pc2与 Pc 关 于平 面 a对 称 ，直 线 P 是 APB一 6O。的补 角 APD= 120。的角 平 分 线 所 在 直线 ，所 以共 有 3条 直 线 (且 2条 在 面 a外 、1条 在面 a内 )满 足题 意． 探讨 (1)在 例 3中，将 “都 为 60 ’改 为“都 为 3O”’，则答 案是 多少 ? 设 直线 PC在面 a内 的射影 为 PCo，由例 1可 知 ， P 即为 APB的 角平分 线所 在 直线 ，设 PC与 PCo 所 成 角为 0l，这 里 02一 一30。， 一30。，代 人 COS 一 COS 0l COS 02，得 cos01—1，即 0l一0。，直 线 PC与 它 在 面a内的射影 PC。重合 ，所以共有 1条直线 (且在面 a 内 )满 足题 意 ； (2)若将“都为 60”’改为“都为／?(pE(0。，30。))”， 则 是多 少 ? 这 里 02一 o。y_u 一 30。，0一p(p∈ (0。，30。))，从 而 c。s0 一 > 1，所 以共 有 0条 直线 满足题 意 ； (3)若将“都为 60 ’改为“都为 B(P∈(30。，60。)U (60。，90。)”，则答案是多少? 这里 02一 60~=300 ，从 而 c。s 一 < 1，所 以 共有 2条直线 (关于 面 a对称 ，且 都在 面 a外 )满足 题 意 ； 一 (4)若 将 “都 为 60 ’改为 “都 为 90”’，则 PC_La，所 以共 有 1条 直线 (且 在 面 a外 )满 足题 意． 第 3变 从线线垂直到线面垂直 例 4 如 图 4，在 直 三 棱 柱 ABC—A1B-c 中 ， ACB一90。， BAC一30。，BC一1，AAl一,／g，M 是 CC 的 中点．求 证 ：AB _LA M． 分析 (1)由线 面垂 直 证线 线 垂 直 较麻 烦 ；(2)由 三垂 线定 理 ，要 证 AB _LA M ，因 B1 C1上平面 A C，所 以 可证 得 AC _LA M ，而 AC _LA M 可 以 在 平 面 ACC A 内 去 证 明 ；(3)可 以 考 虑 建 立 空 间 直 角 坐 标 系． C 图 4 图 5 题根研究 证 明 如 图 5．在矩 形 ACC A 中 ，连 接 AC ． 因为 一 一 ，器 一去一 ， 所以Rt△A[ ∽ Rt△M A1， C一 MAl C1， 所 以 + G(1-： ~／IC1+ M 】G一9O。 所 以 A M _LAC ． 所 以 。ClJ_B．C1，又 B-G _LA Cl，( nA G—CI， 所 以 B C _L面 ACC Al，由i 垂线 定理 知 AB】}AI M ． 链接练习参考答案 1．提示：如图7，设AHj_口于点H．由 ABC= ABD，则点 H 在 CBD 的平分线上；同理，点 H也在ZEBD 的平分线上．所以H在这两条角平分 线的交点上，即为点B，所以ABj_a． 圈7 2．提示：由线面垂直的判定定理可知：要证明AEj一面 PBC，只 需在面PBC中找到2条相交直线与AE垂直，其中AE上PC 是已知的，那么另一条直线可猜测 AEj_BC 因为 P Aj一面 ABC,所以PAj-BC因为AB是O0的直径，所以BC上AC， ACfiPA=A，所以BCj一面 PAC，又因为AEc面PAC,所以 BC_上_AE，又 E上PC，而PC~BC=C，所以AE上面 PBC． 3．提示：如图8．假设 H是ASBC的垂 s 心，连接 BH，SCj_BH．因为 H是点 A在面SBC内的射影，AH上面SBC， 所以 sCj_AB(三垂线定理)．又 5_Aj_ A 一 个秃头的男人坐在理发店里．发型师问：“有什么可以帮你吗?”那个人解释说：“我本来去做头发移植，但实在太痛 了．如果你能够让我的头发看起来像你的一样，而且没有任何痛苦，我将付给你 5000美元．”“没问题．”发型师说，然后他 很快帮 自己剃了个光头． 。 B 图 8 C 罐 维普资讯 http://www.cqvip.com