2.4 指数与指数函数

nullnull 要点梳理 1.根式 （1）根式的概念 如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这 个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做 ___________,其中n＞1且n∈N*.式子 叫做_____, 这里n叫做_________，a叫做___________. §2.4 指数与指数 a的n次方根根式根指数被开方数基础知识 自主学习null（2）根式的性质 ①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____ 示. ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为 相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示, 负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根 可以合写为________（a＞0）. ③ =______. anull④当n为奇数时， =____; 当n为偶数时， =_______________. ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂： （n∈N*）； ②零指数幂：a0=____（a≠0）； ③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；a1null④正分数指数幂： =_______（a>0，m、n∈N*， 且n>1）； ⑤负分数指数幂： = = (a>0,m、n ∈N*,且n>1). ⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂 _____________. （2）有理数指数幂的性质 ①aras= ______(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s= ______(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r= _______(a>0,b>0,r∈Q). ar+sarsarbr0没有意义null3.指数函数的图象与性质 R(0,+∞)(0,1)y>1y>10d1>a1>b1, ∴b0且a≠1 解析 ∴a=2. Cnull 题型一 指数幂的化简与求值 【例1】计算下列各式：题型分类 深度剖析null 先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运 算性质进行计算. 解 思维启迪null 根式运算或根式与指数式混合运算时,将 根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不 强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根 据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指 数，也不能既有分母又含有负指数. 探究提高null知能迁移1 null解null题型二 指数函数的性质 【例2】(12分)设函数f(x)= 为奇函数. 求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性. 由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值; 第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.思维启迪null解 (1)方法一 依题意，函数f（x）的定义域为R， ∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）， 2分 ∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1. 6分 方法二 ∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(0)=0，即 ∴a=1. 6分 （2）由(1)知， 设x1f(x1),∴f(x)在R上是增函数. 12分 (1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函 数,则有f(0)=0,即可求得a=1. （2）由x10，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0] 为减区间. 当a=-1时，同理可得f(x)在（-∞，0］上是增函数， 在［0，+∞）上是减函数. null题型三 指数函数的图象及应用 【例3】已知函数 (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值. 思维启迪 化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值null解 （1）由已知可得 其图象由两部分组成： 一部分是： 另一部分是：y=3x (x<0) y=3x+1 (x<-1). 向左平移 1个单位向左平移 1个单位null图象如图： (2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数， 在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 在作函数图象时,首先要研究函数与某一 基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成. 探究提高null知能迁移3 若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a>0,且a≠ 1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是______. 解析 数形结合. 当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意. 当01，x→-∞时,y→0;当a>1时， a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快； 当00,a≠1)的图象和性质与a的取值 有关，要特别注意区分a>1与01,b<0 B.a>1,b>0 C.00 D.00,即b<0.从而D正确. 答案 Dnull3.已知函数y=4x-3×2x+3,当其值域为[1,7]时,x的取 值范围是 （ ） A.[2，4] B.(-∞，0] C.(0，1]∪[2，4] D.(-∞，0]∪[1，2] 解析 y=(2x)2-3×2x+3 ∴2x∈[-1，1]∪[2，4]， ∴x∈(-∞，0]∪[1，2]. Dnull4.定义运算：a*b= 如1*2=1,则函数f(x) =2x *2-x的值域为 （ ） A.R B.(0,+∞) C.(0，1] D.[1，+∞) 解析 f（x）=2x *2-x= ∴f（x）在(-∞，0]上是增函数， 在(0，+∞)上是减函数， ∴01,而 在（1,+∞)上 单调递减，故 在(-∞,+∞)上单调递 减，且无限趋于0，故无最小值. Anull6.函数 的部分图象大致是如图所 示的四个图象中的一个，根据你的判断,a可能的取 值是 （ ） A. B. C.2 D.4 null解析 函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正 值，则排除④，故图象只能是③，再根据图象先增 后减的特征可知2a-3>1,即a>2,符合条件的只有D选 项，故选D. 答案 Dnull二、填空题 7. 若f(x)=a-x与g(x)=ax-a (a>0且a≠1)的图象关于直 线x=1对称，则a=____. 解析 g（x）上的点P（a，1）关于直线x=1的对称 点P′(2-a,1)应在f(x)=a-x上， ∴1=aa-2.∴a-2=0,即a=2. 2null8.设函数f(x)=a-|x| (a>0且a≠1),若f(2)=4，则f(-2) 与f(1)的大小关系是__________. 解析 由f(2)=a-2=4,解得a= ∴f(x)=2|x|,∴f(-2)=4>2=f(1). f(-2)>f(1)null9.(2009·江苏)已知 函数f(x)=ax,若实数 m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为______. 解析 ∴函数f(x)=ax在R上是减函数. 又∵f(m)>f(n),∴m0对x∈R恒成立. ∴Δ=（m+1）2-4（m+4）<0. ∴m2-2m-15<0.∴-30且a≠1)在x∈[-1,1]上的 最大值为14，求a的值. 解 令ax=t,∴t>0，则y=t2+2t-1=(t+1)2-2,其对称轴 为t=-1.该二次函数在［-1，+∞）上是增函数. ①若a>1，∵x∈［-1，1］，∴t=ax∈ 故当t=a,即x=1时，ymax=a2+2a-1=14, 解得a=3(a=-5舍去).null②若0